Variáveis Aleatórias
O cálculo de probabilidades é mais expedito quando a cada acontecimento
corresponde um número.
Uma variável aleatória, X(.) é uma função que a cada
acontecimento do espaço de resultados, faz corresponder um
valor real, x = X(w).
Variáveis aleatórias discretas
O contradomínio é um conjunto finito ou infinito numerável.
Variáveis aleatórias contínuas
O contradomínio é um conjunto infinito não numerável.
Variáveis Aleatórias
Tempo que um tentilhão se demora numa árvore de Clethra arborea
W = {t: t > 0}
X(W) = {xi: xi > 0}
Temperatura média diária no Parque Florestal da Macela a três altitudes
W = {(t1, t2, t3): 0 < ti < 25}
Y(W) = {ti: ti = max(t1, t2, t3)}
Z(W) = {ti : ti = min(t1, t2, t3)}
Larvas de Mythimna unipuncta (lagarta das pastagens) capturadas ao acaso,
parasitadas por Apanteles militaris (himenóptero parasitóide), por nemátodos, ou
saudáveis
W = {(A, N, S): A+N+S = 1 ⋀ 0 ≤ A, N, S ≤ 1}
Y(W) = {A+N (parasitadas)}
Z(W) = {S (saudáveis)}
Variáveis Aleatórias
Vigor de Clethra arborea
W = {Morta, Pouco, Razoável, Bom, Excelente}
X(W) = {1, 2, 3, 4, 5}
Gosto pela matemática
W = {Nenhum, Pouco, Algum, Gande, Muito Grande}
X(W) = {1, 2, 3, 4, 5}
Género
W = {Masculino, Feminino}
X(W) = {0, 1}
Variáveis Aleatórias
Variáveis aleatórias bidimensionais
Uma VA diz-se bidimensional se for uma função que a cada elemento de W faz
corresponder um elemento de ℝ2.
O par ordenado (x, y)  ℝ2,
A = {w  W : [X(w), Y(w)] = (x, y)}
Generalizando, podem considerar-se variáveis aleatórias n-dimensionais.
Exemplo: captura aleatória de um tritão-de-crista num charco.
X - comprimento total do tritão.
Y - comprimento da cabeça do mesmo tritão.
Z - sexo do tritão capturado.
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Função de Probabilidade
Lançamento de um dado
W = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
X - número da face virada para cima
P(X=1) = 1/6
P(X=2) = 1/6
f(x) = P(X=x),
função de probabilidade de X
Domínio em ℝ e conjunto chegada [0,1]
X
x=1
x=2
x=3
x=4
x=5
x=6
f(x)
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Se f(x) é uma Função de Probabilidade de uma VA discreta
X, que assume valores x1, x2, ..., xn, então a função f(x) é
definida por
f(x) =
{
P(X=x) se X = x
0
se X ≠ x
É uma função de probabilidade de uma VA discreta X,
qualquer função f(.) com domínio em ℝ e conjunto chegada
em [0,1], que satisfaça as seguintes propriedades:
a) 0≤ f(x) ≤ 1
"x ℝ
n
n
b) Se n é finito então S f(xi) = 1; Se n é infinito então S f(xi) ----> 1
i=1
i=1
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Variável aleatória X - Número de amostras de 1 m2 até que apareça uma
lagarta da pastagem.
x = 1, 2, 3, ..., n, ...
P(X = x) = P
N, N, N, ... , L - A amostragem pára quando surge a primeira lagarta.
p é a probabilidade de aparecer uma lagarta
{
1-p é a probabilidade de não aparecer lagarta
P(X = x) = (1-p) x-1. p
Calcular as probabilidades se p = 0,2
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Função de distribuição
Qual a probabilidade de X assumir um conjunto de valores?
Probabilidade que seja necessário fazer até 5 amostras para
encontrar uma larva:
P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) =
5
= S f(xi)
i=1
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Função de distribuição, F(.) de uma VA
F(x) = P(X ≤ x)
Tem conjunto de chegada em [0,1] e
a) 0 ≤ F(x) ≤ 1 ,
"x ℝ
b) F(x2) ≥ F(x1),
" x1, x2 com x2 > x1
c)
lim F(x) = 0
x-∞
e
lim F(x) = 1
x+∞
d) P( x1 < X < x2) = F(x2) - F(x1) , " x1, x2 com x2 > x1
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Função de distribuição
Gráfico em degrau
O caso do lançamento do dado
Probabilidade
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0
1
2
3
4
5
6
Valores de X
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Distribuição Binomial
Provas de Bernoulli
{
p
probabilidade de sucesso
q=1-p
probabilidade de insucesso
x sucessos em n provas
f(x) = P(X=x) = nCx px.q n-x
Distribuição de Poisson
X pode tomar os valores 0, 1, 2, 3, ....
f(x) = P(X=x) = lx.e-l/x!
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Função de probabilidade conjunta da VA (X, Y)
f(x,y) = P(X=x, Y=y)
1. 0 ≤ f(x, y) ≤ 1
" (x,y)  ℝ2
n m
2. = S S f(xi, yj) = 1
i=1 j=1
Função de probabilidade marginal
m
de X, fX(x) = S f(x, yj)
j=1
n
de Y, fY(y) = S f(xi,y)
i=1
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Função de probabilidade conjunta da VA (X, Y)
Tem
Não tem
Cancro
Cancro
Fumador
0,5
0,2
0,7
Não
0,1
0,2
0,3
0,6
0,4
1
X
Fumador
Função de probabilidade marginal de Y
Função de probabilidade marginal de X
Y
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Variáveis aleatórias independentes
X e Y são variáveis aleatórias discretas
Se os acontecimentos X = x e Y = y são independentes para todo o x e todo o y,
então X e Y são variáveis aleatórias independentes
P(X=x, Y=y) = P(X=x) . P(Y=y)
f(x,y) = f1(x) . f2(y)
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
ESPERANÇA MATEMÁTICA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA
DISCRETA
n
E(X) = x1P(X=1) + ... + xnP(X=xn) = S xiP(X=xi)
i=1
P(X=xi) = f(xi)
n
E(X) = x1f(x1) + ... + xnf(xn) = S xif(xi)
i=1
Quando as probabilidades são todas iguais
E(X) = (x1 + x2 + ... + xn)/n
mx = esperança de X ou média de X
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
1. Se c é uma constante
E(cX) = cE(X)
2.
E(X±Y) = E(X) ± E(Y)
3. X e Y independentes
E(XY) = E(X) . E(Y)
4. E(c) = c
5. E[g(X)] = S [g(x) . f(x)]
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
A VARIÂNCIA
Var (X) = E[(X-m)2]
sx 2
sx 2 = E[(X-m)2] = S (xi-m)2 f(xi)
sx 2 = E[(X-m)2] = E(X2) - [E(X)]2
1. Se c é constante
Var (cX) = c2 Var(X)
2. X e Y são independentes
Var (X±Y) = Var(X) + Var(Y)
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
A VARIÂNCIA
3. Var (c) = 0
4. Variável aleatória padronizada
X* = (X-m)/s
E(X*) = 0
Var(X*) = 1
5. X e Y não são independentes
Var (X±Y) = Var(X) + Var(Y) ± 2 Cov (X,Y)
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Covariância
Cov (X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = E[(X-mx)(Y-my)]
n n
E(XY) = S S [xi . yj . f(xi, yj)]
i=1 j=1
Se X e Y forem independentes, então Cov (X, Y) = 0
Coeficiente de correlação linear
_______________
rxy = Cov(X,Y) / √ Var(X) . Var(Y) = sxy / (sx sy)
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Momentos
O momento central de ordem r de uma variável aleatória
mr = E[(X-m)r]
r = 0, 1, 2, ...
A Variância é o segundo momento central
n
mr = S (xi-m)r f(xi)
i=1
O momento de ordem r em relação à origem
mr' = E[(X)r]
r = 0, 1, 2, ...
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Prova de Bernoulli
Experiência aleatória
A, sucesso, com probabilidade p
Ā, insucesso, com probabilidade q =1 - p
W = {A, Ā}
Sucessão de provas de Bernoulli
1- Dois resultados possíveis e exclusivos;
2- p é constante em todas as provas;
3 - As provas são independentes.
Função de probabilidade
P(X=x) = f(x) = px (1-p)1-x , x = 0, 1
E(X) = p
Var (X) = pq
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
amostrar
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
A distribuição binomial
Conjunto finito de objectos que possuem determinada
qualidade com probabilidade p
Baseia-se numa sucessão de provas de Bernoulli
X - número de sucessos em n provas de Bernoulli
X  b (x; n; p)
Função de probabilidade
f(x) = P(X=x) = nCx px.qn-x
x = 0, 1, 2, ..., n
n e p são os parâmetros
E(X) = np
Var (X) = npq
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
A distribuição multinomial
Mais de dois resultados possíveis em n provas.
1. k resultados possíveis mutuamente exclusivos;
2. Cada um com uma probabilidade associada;
3. As provas são independentes.
Xi - número de vezes em n, em que ocorre Ai
Acontecimentos A1, A2, ..., Ak , com probabilidades p1, p2, ... , pk
P(X1=n1, X2=n2, ..., Xk=nk) =
[n!/(n1! n2! ... nk!)].(p1n1 p2n2 ... pknk)
Onde n e pi são os parâmetros
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
A distribuição binomial negativa
Provas de Bernoulli
X- número de provas a realizar até se obterem k sucessos
x - número de provas
k - número de sucessos
Uma vez que a experiência termina com o kº sucesso, então há (k-1) sucessos em
(x-1) provas.
P(sucesso) = p
X  bn (x; k; p)
P(X = x) = x-1Ck-1 pk.qx-k
E(X) = k/p
Var (X) = k(1-p)/p2
x = k, k+1, ...
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
A variável aleatória binomial
corresponde
a
uma
repetição de n provas de
Bernoulli.
Atenção !!
Na V.A. binomial x é o
número de sucessos em n
provas (n é fixo).
Na V.A. binomial negativa x
é o número de provas e k é
o número de sucessos (k é
fixo).
Bioestatística
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
A distribuição geométrica ou de Pascal
Provas de Bernoulli
X - número de provas a realizar até se obter um sucesso
P(sucesso) = p
P(X=x) = (1-p)x-1 p
E(X) = 1/p
Var (X) = (1-p)/p2
É um caso particular da distribuição binomial negativa
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
A Distribuição hipergeométrica
Amostragem sem reposição
X - número de sucessos ocorridos em n extracções sem reposição.
X  h (x; M; n; p)
M - Número total de objectos;
p - Probabilidade de sucesso;
n - Número de extracções.
P(X=x) = [MpCx . M(1-p)Cn-x] / MCn
x = 0, 1, 2, ..., n
E(X) = np
Var (X) = npq(M-n)/(M-1)
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
A Distribuição de Poisson
X pode tomar os valores 0, 1, 2, 3, ....
f(x; l) = P(X=x) = lx.e-l / x!
O processo de Poisson
Ocorrência de um acontecimento num intervalo de tempo ou de espaço.
1) Número de ocorrências em intervalos não sobrepostos são v.a. independentes;
2) O número de ocorrências depende da dimensão do intervalo e não da sua
posição;
3) A probabilidade de se verificarem duas ou mais ocorrências é negligenciável.
E(X) = l
Var(X) = l
A distribuição binomial converge para a distribuição de Poisson quando
n
e
p0
com l = npq
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Na v.a. binomial consideravase a ocorrência de sucessos
(Ex: amostras com lagarta das
pastagens) e de insucessos
(Ex: amostras sem lagarta das
pastagens).
Na v.a. de Poisson considerase
a
ocorrência
de
acontecimentos em intervalos
de espaço ou de tempo.
Ex: qual é a probabilidade de
ter amostras com 0, 1, 2, 3, ... ,
n lagartas da pastagem.
Atenção !!
Bioestatística