Variáveis aleatórias
Uma variável aleatória, X, é uma função que
associa um valor numérico aos possíveis
resultados de um experimento probabilístico.
1
Variável aleatória

“Uma variável aleatória é uma função que associa números aos
eventos do espaço amostral.

X = número de coroas em 2 lançamentos de uma moeda;
 = {(cara, cara), (cara, coroa), {coroa, cara), (coroa, coroa)}
X:
0
1
2
x
2
Exemplos de variáveis aleatórias

Vida útil (em horas) de um televisor;

Número de peças com defeito em um lote produzido;

Número de veículos que passam num pedágio num
determinado dia;

Numero de Caras no lançamento de 3 moedas
3
Variáveis aleatórias
Uma variável aleatória, X, é uma função que
associa um valor numérico aos possíveis
resultados de um experimento probabilístico.
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Tipos de variáveis aleatórias
1. Uma variável aleatória é DISCRETA se o número de
resultados possíveis é finito ou pode ser contado.
Ex: número de mulheres em uma sala de aula;
2. Uma variável aleatória é CONTÍNUA se o número de
resultados possíveis não pode ser listado.
Ex: Tempo que uma lâmpada demora para queimar;
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Variáveis aleatórias
variável aleatória
discreta
os possíveis resultados
estão contidos em um
conjunto finito ou
enumerável
0 1 2 3 4 ...
número de defeitos em ...
contínua
os possíveis resultados
abrangem todo um intervalo
de números reais
0
tempo de resposta de ...
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Modelos de Distribuição de
Probabilidade
Distribuição Binomial: modelo probabilístico para
variáveis aleatórias discretas
Distribuição Normal: modelo probabilístico para
variáveis aleatórias contínuas
7
Experimento binomial

consiste de n ensaios;

cada ensaio tem somente dois resultados: “sucesso” /
“fracasso”;

os ensaios são independentes, com P(sucesso) = p
(0 < p < 1 constante ao longo dos ensaios);
====> X = número de sucesso nos n ensaios
8
Exemplos

Número de caras em 3 lançamentos de uma moeda;

Número de itens defeituosos numa amostra de 15 peças
de uma linha de produção (supondo amostragem
aleatória de uma população muito grande).
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Cálculo das probabilidades em
experimentos binomiais
EXEMPLO 1
Seja:
X = número de caras em 3 lançamentos de uma moeda
com P(cara) = p;
X = {0, 1, 2, 3}
P(X=1)=?
10
Cálculo das probabilidades em
experimentos binomiais
Seja:
Cara = C
Coroa = K
X
X
X
X
=
=
=
=
0
1
2
3
se
se
se
se
ocorrer
ocorrer
ocorrer
ocorrer
KKK;
CKK, KCK ou KKC;
CCK, CKC ou KCC;
CCC;
11
Cálculo das probabilidades em
experimentos binomiais
P(X = 1) =P(CKK)+P(KCK)+P(KKC)
Como:
P(CKK)=P(KCK)=P(KKC)=p(1-p)2
P(X = 1) = 3 p (1 - p)2
12
Cálculo das probabilidades em
experimentos binomiais
Analogamente pode-se obter P(X=0), P(X=2), P(X=3)
P(X=0)= (1-p)3
P(X=0)= 1 p0(1-p)3
P(X=1)= 3p(1-p)2
P(X=1)= 3 p1(1-p)2
P(X=2)= 3p(1-p)2
P(X=2)= 3 p2(1-p)1
P(X=3)= 3p3
P(X=3)= 1 p3(1-p)0
Número de maneiras distintas
de se obter “x” caras em 3
lançamentos de moedas
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Cálculo das probabilidades em
experimentos binomiais
De uma maneira geral:
 n
n!
  
 x  x!(n  x)!
No nosso caso em particular n = 3:
 3
3!
  
 x  x!( x  1)!
14
Cálculo das probabilidades em
experimentos binomiais
 3 x
n x
P( X  x)    p 1  p 
 x
Considere p=0,5 e use a formula acima para calcular
P(X=1)
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O modelo binomial
Para um “n” qualquer
 n x
n x
P( X  x)    p 1  p 
 x
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Tente adivinhar as respostas
1. Qual é o 11o dígito depois do ponto decimal de um número irracional e?
(a) 2
(b) 7
(c) 4
(d) 5
e = 2.718281828459045
2. Qual foi o Índice Dow Jones em 27 de fevereiro de 1993?
(a) 3.265
(b) 3.174
(c) 3.285
(d) 3.327
3. Quantos jovens do Sri Lanka estudaram em universidades norteamericanas entre 1990 e 1991?
(a) 2.320
(b) 2.350
(c) 2.360
(d) 2.240
4. Quantos transplantes de rins foram feitos em 1991?
(a) 2.946
(b) 8.972
(c) 9.943
(d) 7.341
5. Quantos verbetes há no dicionário Aurélio?
(a) 60.000
(b) 80.000
(c) 75.000
(d) 83.000
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Resultados do teste
As respostas corretas são:
1. d
2. a
3. b
4. c
5. b
Conte o número de questões a que você respondeu
corretamente. Chamemos esse número de x.
Que tipo de experimento acabamos de realizar?
Quais são os valores de n, p e q?
n=5, p=0,25, q= 0,75
Quais são os valores possíveis de x? X={1,2,3,4,5}
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Probabilidades binomiais
Calcule a probabilidade de alguém não acertar nenhuma questão,
exatamente uma, duas, três, quatro ou todas as cinco questões do teste.
 5
0
5
P( X  0)    0,25 0,75  0,237
 0
 5
1
4
P( X  1)    0,25 0,75  0,396
1
 5
2
3
P( X  2)    0,25 0,75  0,264
 2
P(X=3) = 0,088
P(X=4) = 0,015
Verifique que a
soma das
probabilidades e
igual a 1
P(X=5) = 0,001
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Probabilidades binomiais
Calcule a probabilidade de alguém não acertar nenhuma questão,
exatamente uma, duas, três, quatro ou todas as cinco questões do teste.
 5  1   4 
P( X  0)       
 0  5   5 
0
5
0
5
5!
1  4
P( X  0) 
     0,237
0!(5  0)!  5   5 
P(X=0)=0,237
P(X=1)= 0,396
P(X=2)= 0,264
P(3) = 0,088
P(4) = 0,015
P(5) = 0,001
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Probabilidades binomiais
Esperança e variância!!!!
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Média ou Esperança Matemática

Média
n
  E( x )   pi x i 


 xf ( x )dx
i 1

Caso a Variável aleatória X tenha distribuição Binomial:
E(X) = np
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Variancia

Caso a Variável aleatória X tenha distribuição Binomial:
var(X) = npq
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Exercicios
Sabe-se que 90% dos pacientes submetidos a uma determinada
cirurgia sobrevivem. Se onze pacientes realizarem a cirurgia,
qual é a probabilidade que
a) todos sobrevivam;
b) ninguém sobreviva;
c) nove ou mais sobrevivam;
d) no mínimo oito sobrevivam?
Quais são as pressupostos que você assumiu para poder usar
distribuição binomial?
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