ESTATÍSTICA APLICADA
Capítulo 6
Estimativas e Tamanho
de Amostras
Prof. Paulo Renato de Morais
Introdução à Estimação
Estimadores
1. Variáveis aleatórias usadas para estimar
um parâmetro populacional

Média amostral, proporção amostral,
mediana amostral
2. Exemplo: Média amostral`x é um
estimador da média populacional m

Se`x = 50, então 50 é a estimativa de m
3. Base teórica é a distribuição amostral
Propriedades da Distribuição
Amostral da Média
1. Não-viciada

Média da distribuição igual à média
populacional
2. Eficiente

Média amostral aproxima-se mais da média
populacional do que qualquer outro estimador
não-viciado
3. Consistente

Quando tamanho da amostra cresce, variação
da média amostral decresce
Não-Viciada
P(`X)
Não-viciada
Viciada
C
A
m
`X
Eficiente
P(`X) Distribuição
amostral da
média
B
Distribuição
amostral da
mediana
A
m
`X
Consistente
P(`X)
Amostra
maior
B
Amostra
menor
A
m
`X
Processo de Estimação
População
Amostra Aleatória
Média, m, é
desconhecida
MédiaJ
J`X = 50
J
J
J
J J
Amostra
J
J
J J
Tenho 95% de
confiança que
m está entre 42
e 58.
Parâmetros Desconhecidos da
População são Estimados
Estimar parâmetro
populacional...
Média
m
com estatística
amostral
`x
Proporção
p
Variância
s
Diferenças
2
m1 - m 2
p^
s
2
`x1 -`x2
Métodos de Estimação
Estimação
Estimação
por Ponto
Estimação
por Intervalo
Estimação por Ponto
Estimação por Ponto
1. Proporciona um único valor

Baseada em observações de 1 amostra
2. Não dá informação sobre quão perto o
valor está do parâmetro populacional
desconhecido
3. Exemplo: Média amostral`x = 50 é
estimativa por ponto da média populacional
desconhecida
Estimação por Intervalo
Estimação por Intervalo
1. Proporciona intervalo de valores

Baseada em observações de 1 amostra
2. Dá informação sobre proximidade do
parâmetro populacional desconhecido

Afirmação em termos de probabilidade
 Saber a proximidade exata requer conhecer o
parâmetro populacional desconhecido
3. Exemplo: média populacional desconhecida
está entre 42 e 58 com 95% de confiança
Elementos Chaves da
Estimação por Intervalo
Uma probabilidade que o parâmetro populacional
esteja em algum lugar dentro do intervalo.
Estatística
amostral
(estimativa
por ponto)
Intervalo de
confiança
Limite de
confiança
(inferior)
Limite de
confiança
(superior)
Limites de Confiança para a
Média Populacional
Parâmetro =
Estatística ± Erro
(1) m  X  Erro
(2) Erro  X  m ou  X  m
(3) Z 
X m
sx

(4) Erro  Zs x
(5) m  X  Zs x
© 1984-1994
T/Maker Co.
Erro
sx
Nível de Confiança
1. Probabilidade que o parâmetro
populacional desconhecido esteja
dentro do intervalo
2. Denotado por (1 - a) %

a é a probabilidade que o parâmetro não
esteja no intervalo
3. Valores típicos são: 99%, 95%, 90%
Intervalos e
Nível de Confiança
Distribuição
Amostral da a/2
Média
_
sx
1-a
a/2
m`x = m
_
X
(1 - a) % dos
intervalos
contêm m.
Intervalos
vão de
X - Zs`X a
`X + Zs`X
a % não.
Número grande de intervalos
Fatores que Afetam o
Comprimento do Intervalo
1. Dispersão dos dados

Medida por s
Intervalos vão de
`X - Zs`X a`X + Zs`X
2. Tamanho da amostra

s`X = s / n
3. Nível de confiança
(1 - a)

Afeta Z
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Intervalo de Confiança para
Estimar a Média (Amostra Grande)
Intervalo de Confiança para a
Média (Amostra Grande)
1. Hipóteses:



Tamanho da amostra no mínimo 30 (n  30)
Amostragem aleatória
Se o desvio padrão populacional é
desconhecido, use o desvio padrão amostral
2. Intervalo de Confiança:
X  Za / 2 
s
n
 m  X  Za / 2 
s
n
Exemplo de Estimação da
Média (Amostra Grande)
A média de uma amostra aleatória com
n = 36 é`X = 50. Construa um intervalo
com 95% de confiança para m se s = 12.
Exemplo de Estimação da
Média (Amostra Grande)
A média de uma amostra aleatória com
n = 36 é`X = 50. Construa um intervalo
com 95% de confiança para m se s = 12.
X  Za / 2 
50  1,96 
s
n
12
36
 m  X  Za / 2 
 m  50  1,96 
46,08  m  53,92
s
n
12
36
Questão
Você é um inspetor de
qualidade. O s para garrafas
de 2 litros é 0,05 litros. Uma
amostra aleatória de 100
garrafas forneceu`X = 1,99
litros. Qual é o intervalo com
90% de confiança para a
média verdadeira da
quantidade em garrafas de 2
litros?
22
liter
liter
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Solução do Intervalo de Confiança
X  Za / 2 
1,99  1,645 
s
n
0,05
 m  X  Za / 2 
s
 m  1,99  1,645 
100
1,982  m  1,998
n
0,05
100
Achando o Tamanho da Amostra
Achando o Tamanho da Amostra
para Estimar m
(1)
(2)
Z
Xm
sx

Erro
sx
Erro  Zs x  Z
Z s
2
(3) n 
2
Erro
2
Eu não quero
amostra muito
grande nem
muito pequena!
s
n
Exemplo de Tamanho da Amostra
Que tamanho de amostra é necessário para
se estar com 90% de confiança de se estar
correto dentro de  5? Um estudo piloto
mostrou que o desvio padrão é 45.
Exemplo de Tamanho da Amostra
Que tamanho de amostra é necessário para
se estar com 90% de confiança de se estar
correto dentro de  5? Um estudo piloto
mostrou que o desvio padrão é 45.
2
n
(Za / 2 ) s
Erro
2
2

1, 645
2
5
2
 45
2
 219 , 2  220
Questão
Você trabalha em Recursos
Humanos. Você deseja saber o
gasto médio dos empregados
com saúde. Você quer ter uma
confiança de 95% que a média
amostral esteja dentro de ± $50.
Um estudo piloto mostrou que
s é $400. Que tamanho de
amostra você usará?
Solução do Tamanho da Amostra
2
n 
(Za / 2 ) s
Erro
2
2

1,96  400
50
2
2
2
 245 ,86  246
Correção para População Finita
Correção para População Finita
1. Usada quando tamanho da amostra é
grande comparada ao tamanho da
população

Se n/N > 0,05, use o fator de correção
Correção para População Finita
1. Usada quando tamanho da amostra é grande
comparada ao tamanho da população

Se n/N > 0,05, use o fator de correção
2. Fator de correção:
Nn
N
3. Intervalo de confiança para média com fator:
X  t a / 2, n 1 

S
n
Nn
N
 m  X  t a / 2, n 1 
S
n
Diminui o comprimento do intervalo de confiança
Nn
N
Intervalo de Confiança para
Estimar a Média
(Amostra Pequena)
Intervalo de Confiança para a
Média (Amostra Pequena)
1. Hipóteses:



Tamanho da amostra menor que 30 (n < 30)
População distribuída normalmente
Desvio padrão populacional desconhecido
2. Usa distribuição t de Student
Intervalo de Confiança para a
Média (Amostra Pequena)
1. Hipóteses:



Tamanho da amostra menor que 30 (n < 30)
População distribuída normalmente
Desvio padrão populacional desconhecido
2. Usa distribuição t de Student
3. Intervalo de confiança:
X  t a / 2, n 1 
S
n
 m  X  t a / 2, n 1 
S
n
Distribuição t de Student
Normal
Padrão
Forma de sino
t (gl = 13)
Simétrica
Cauda mais
‘longa’
0
Z
t
Tabela da t de Student
Suponha:
n=3
gl = n - 1 = 2
a = 0,10
a/2 = 0,05
a/2
v
t.10
t.05
t.025
1
3.078 6.314 12.706
2
1.886 2.920 4.303
3
1.638 2.353 3.182
0,05
0
Valores de t
2,920
t
Graus de Liberdade (gl)
1. Número de observações que podem
variar após a estatística amostral ser
calculada
2. Exemplo:
Soma de 3 números é 6
X1 =
X2 =
X3 =
Soma = 6
Graus de Liberdade (gl)
1. Número de observações que podem
variar após a estatística amostral ser
calculada
2. Exemplo:
Soma de 3 números é 6
X1 = 1 (Ou outro número)
X2 = 2 (Ou outro número)
X3 = 3 (Não pode variar)
Soma = 6
Graus de liberdade
= n -1
= 3 -1
=2
Exemplo de Estimação da
Média (Amostra Pequena)
Uma amostra aleatória com n = 25 tem
x = 50 e s = 8. Construa um intervalo com
95% de confiança para m.
Exemplo de Estimação da
Média (Amostra Pequena)
Uma amostra aleatória com n = 25 tem
x = 50 e s = 8. Construa um intervalo com
95% de confiança para m.
X  t a / 2,n1 
50  2,0639 
S
n
8
25
 m  X  t a / 2,n1 
S
 m  50  2,0639 
46,69  m  53,30
n
8
25
Questão
Você é um analista
estudando o tempo de
manufatura de um produto.
Os seguintes tempos foram
medidos (em min.): 3,6; 4,2;
4,0; 3,5; 3,8; 3,1.
Qual é o intervalo com 90%
de confiança para o tempo
médio de manufatura?
Solução do Intervalo de Confiança
`X = 3,7
S = 0,38987
n = 6, gl = n - 1 = 6 - 1 = 5
S / n = 0,38987 / 6 = 0,1592
t0,05;5 = 2,0150
3,7 - (2,015)(0,1592)  m  3,7 + (2,015)(0,1592)
3,379  m  4,021
Intervalo de Confiança para
uma Proporção
Dados Qualitativos
1. Variáveis aleatórias qualitativas são
classificadas por um atributo

p.e., qualidade (perfeita, defeituosa)
2. As medidas refletem no em cada categoria
3. Escala nominal ou ordinal
4. Exemplos:


As duas peças fabricadas encaixam ou não?
A dimensão da peça está dentro do
especificado ou não?
Proporções
1. Envolve variáveis qualitativas
2. Fração ou % da população na categoria
3. Se houver apenas dois resultados possíveis,
distribuição binomial

Possui ou não possui a característica
Proporções
1. Envolve variáveis qualitativas
2. Fração ou % da população na categoria
3. Se houver apenas dois resultados
possíveis, distribuição binomial
Possui ou não possui a característica
^
4. Proporção amostral (p)

p̂ 
x
n

número de sucessos
tamanho da amostra
Distribuição Amostral
da Proporção
1.
Aproximada por
distribuição normal
n pˆ  3 n pˆ (1  pˆ )
exclui 0 ou n
2.
Média
Desvio padrão
s
pˆ

^
P(P )
.3
.2
.1
.0
^
P
.0
m P  p
3.
Distribuição Amostral
p (1  p )
n
.2
.4
.6
m P  p
.8
1.0
Intervalo de Confiança para a
Proporção
1. Hipóteses:



Dois resultados possíveis
População segue distribuição binomial
Aproximação pela Normal pode ser usada

n pˆ  3 n pˆ (1  pˆ )
não inclui 0 ou n
2. Intervalo de confiança:
z
p
a
2 
  (1  p
)
p
n
z
pp
a
2

p  (1  p )
n
Exemplo de Estimação da
Proporção
Uma amostra aleatória de 400 alunos mostrou
que 32 fizeram pós-graduação. Construa um
intervalo com 95% de confiança para p.
Exemplo de Estimação da
Proporção
Uma amostra aleatória de 400 alunos mostrou
que 32 fizeram pós-graduação. Construa um
intervalo com 95% de confiança para p.
p̂  Za / 2 
0,08  1,96 
p̂  (1  p̂)
n
0,08  (1  0,08)
 p  p̂  Za / 2 
 p  0,08  1,96 
400
p̂  (1  p̂)
n
0,08  (1  0,08)
400
0,053  p  0,107
Questão
Você é responsável por
anúncios no jornal. Você quer
encontrar a % de erros. De
200 anúncios, 35 tinham erros.
Qual é o intervalo com 90% de
confiança para a proporção de
erros?
Solução do Intervalo de Confiança
p̂  Z a / 2 
0 ,175  1, 645 
p̂  (1  p̂ )
n
0 ,175  0 ,825
 p  p̂  Z a / 2 
p̂  (1  p̂ )
 p  0 ,175  1, 645 
200
0 ,1308  p  0 , 2192
n
0 ,175  0 ,825
200
Tamanho da Amostra para Estimar
a Proporção p
Tamanho da Amostra para Estimar
a Proporção p
1. Quando se conhece uma estimativa p̂
2
n
( Z a / 2 ) p̂ (1  p̂ )
Erro
2
p̂
2. Quando não se conhece uma estimativa p̂
n 
(Za / 2 )
4  Erro
2
2
Exemplo de Tamanho da Amostra
para Estimar a Proporção p
Que tamanho de amostra é necessário para
se estimar a proporção de motoristas que
falam ao celular enquanto dirigem com 95%
de confiança de se estar correto dentro de
uma margem de erro de  3%?
A) Suponha que um estudo piloto mostrou
que 18% dos motoristas falam ao celular.
B) Suponha que não se tem qualquer
informação sobre essa proporção.
Exemplo de Tamanho da Amostra
para Estimar a Proporção p
A)
2
n
( Z a / 2 ) p̂ (1  p̂ )
Erro
2
2

1,96  0 ,18  0 ,82
0 , 03
2
 630 , 02  631
B)
n
(Za / 2 )
4  Erro
2
2

1,96
2
4  0 , 03
2
 1 . 067 ,11  1 . 068
Intervalo de Confiança para a
Variância
Intervalo de Confiança para a
Variância
1. Hipóteses:


Amostragem aleatória
População segue distribuição normal
2. Usa a distribuição qui-quadrado
3. Intervalo de confiança:
(n  1) s
2
2
 a / 2, n 1
2
s 
(n  1) s
2
2
1 a / 2, n 1
Exemplo de Estimação da
Variância
Uma amostra aleatória com n = 25 tem
s2 = 8. Construa um intervalo com 95%
de confiança para s2.
Exemplo de Estimação da
Variância
Uma amostra aleatória com n = 25 tem
s2 = 8. Construa um intervalo com 95%
de confiança para s2.
( n  1) s
2
2
 a / 2, n 1
( 25  1) 8
s
2
s
2
39,364
4,88  s

( n  1) s
2
2
1 a / 2, n 1

( 25  1) 8
12,401
2
 15,48
Questão
Você é um analista
estudando o tempo de
manufatura de um produto.
Os seguintes tempos foram
medidos (em min.): 3,6; 4,2;
4,0; 3,5; 3,8; 3,1.
Qual é o intervalo com 90%
de confiança para a
variância do tempo de
manufatura?
Solução do Intervalo de Confiança
`X = 3,7
S = 0,38987
S2 = 0,152
n = 6, gl = n - 1 = 6 - 1 = 5
20,05;5 = 11,071
20,95;5 = 1,145
5 (0,152)/11,071  s2  5 (0,152)/1,145
0,06865  s2  0,66376
 0,26201  s  0,81471