1/137
Modelagem
Estatística
Variáveis Aleatórias
2/137
Variável
Característica que pode ser observada (ou
mensurada)
nos elementos da população,
devendo ter um e apenas um resultado para
cada elemento observado.
3/137
Variáveis
Qualitativas - O resultado da variável é uma
resposta não numérica.
 Exemplo:
sexo, grau de instrução etc.
Quantitativas - O resultado é um número.
 Exemplo:
idade, altura etc.
4/137
Variável Aleatória
Quando os resultados de uma variável são
determinados pelo acaso, trata-se de uma
variável aleatória.
“Uma variável aleatória é uma função com valores
numéricos, cujo valor é determinado por fatores de
chance.”
Stevenson, W. (Estatística aplicada à administração)
5/137
Exemplos
Selecionando-se uma pessoa de um município
através de sorteio, o peso é uma variável
aleatória.
Sorteando-se uma empresa de um setor, o
número de funcionários é uma variável
aleatória.
6/137
Exemplo
Lança-se uma moeda e verifica-se a face obtida
(cara ou coroa).
Face obtida - variável qualitativa - não é uma
variável aleatória.
Número de caras - variável aleatória associada
à variável qualitativa estudada.
7/137
Distribuição de
Probabilidades
A distribuição de probabilidades, ou modelo
probabilístico, indica, para uma variável
aleatória, quais são os resultados que podem
ocorrer e qual é a probabilidade de cada
resultado acontecer.
8/137
Exercício
Lança-se uma moeda e anota-se a face obtida.
Construir a distribuição de probabilidades para a
variável aleatória número de caras.
9/137
Distribuição de
Probabilidades
Resultados
Possíveis
0
1
Total
Probabilidade
0,5
0,5
1
10/137
Distribuição de
Probabilidades
k
P(X=k)
0
1
0,5
0,5
Total
0,50
0,50
0
1
1
11/137
Exercício
Considerando-se que 2 moedas tenham sido
lançadas, construir a distribuição de probabilidades
para a variável aleatória número de caras.
12/137
Probabilidade
Regra da Multiplicação
A probabilidade de que dois eventos
independentes ocorram é igual à multiplicação
das probabilidades individuais.
P(A e B) = P(A
B) = P(A) x P(B)
13/137
Probabilidade
Evento - Qualquer situação ou resultado que
nos interessa.
Dois eventos são independentes se a ocorrência
de um não alterar a probabilidade de ocorrência
do outro.
14/137
Exercício
Considerando-se que 2 moedas tenham sido
lançadas, construir a distribuição de probabilidades
para a variável aleatória número de caras.
15/137
Exercício
Resultados
possíveis
Coroa Coroa
Cara Coroa
Coroa Cara
Cara Cara
1o lanç. 2o lanç.
Resultados
numéricos
0
1
1
2
Probabilidade
0,5 x 0,5 = 0,25
0,5 x 0,5 = 0,25
0,5 x 0,5 = 0,25
0,5 x 0,5 = 0,25
16/137
Diagrama
de Árvore
2o lançamento
0,5
cara
1o lançamento
0,5
P = 0,25
cara
0,5
0,5
coroa P = 0,25
0,5
cara
0,5
coroa P = 0,25
P = 0,25
coroa
17/137
Distribuição de
Probabilidades
Resultados
Possíveis
0
1
2
Total
Probabilidade
0,25
0,50
0,25
1
18/137
Probabilidade
Regra da Adição
A probabilidade de que um entre dois eventos
mutuamente excludentes ocorra é igual à
soma das probabilidades individuais.
P(A ou B) = P(A U B) = P(A) + P(B)
19/137
Probabilidade
Dois eventos são mutuamente excludentes, ou
exclusivos, se a ocorrência de um impedir a
ocorrência do outro.
 Exemplo:
No problema anterior, havia basicamente 4
resultados possíveis (KK, CK, KC e CC). Estas
quatro situações são excludentes, isto é, somente
uma delas poderá ocorrer.
20/137
Exercício
Resultados
possíveis
Coroa Coroa
Cara Coroa
Coroa Cara
Cara Cara
1o lanç. 2o lanç.
Resultados
numéricos
0
1
1
2
Probabilidade
0,5 x 0,5 = 0,25
0,5 x 0,5 = 0,25
0,5 x 0,5 = 0,25
0,5 x 0,5 = 0,25
Soma = 1
21/137
Distribuição de
Probabilidades
k
P(X=k)
0
1
2
0,25
0,50
0,25
Total
1
0,50
0,25
0
0,25
1
2
22/137
Exercício
Um grande lote de peças possui 60% dos itens
com algum tipo de defeito. Construir a
distribuição de probabilidades para a variável
aleatória número de itens com defeito dentre 2
sorteados aleatoriamente.
23/137
Exercício
Resultados
possíveis
Bom
Bom
Def.
Def.
Bom
Def.
Bom
Def.
1o item 2o item
Resultados
numéricos
0
1
1
2
Probabilidade
0,4 x 0,4 = 0,16
0,4 x 0,6 = 0,24
0,6 x 0,4 = 0,24
0,6 x 0,6 = 0,36
24/137
Exercício
k
P(X=k)
0
1
2
0,16
0,48
0,36
Total
1
0,48
0,36
0,16
0
1
2
25/137
Exercício
Um grande lote de peças possui 60% dos itens
com algum tipo de defeito. Construir a
distribuição de probabilidades para a variável
aleatória número de itens com defeito dentre 3
sorteados aleatoriamente.
26/137
Exercício
Res. poss. Res. num.
BBB
0
BBD
1
BDB
1
DBB
1
BDD
2
DBD
2
DDB
2
DDD
3
Probabilidade
0,4 x 0,4 x 0,4 = 0,064
0,4 x 0,4 x 0,6 = 0,096
0,4 x 0,6 x 0,4 = 0,096
0,6 x 0,4 x 0,4 = 0,096
0,4 x 0,6 x 0,6 = 0,144
0,6 x 0,4 x 0,6 = 0,144
0,6 x 0,6 x 0,4 = 0,144
0,6 x 0,6 x 0,6 = 0,216
27/137
Exercício
k
P(X=k)
0
1
2
3
0,064
0,288
0,432
0,216
Total
0,432
0,288
0,216
0,064
1
0
1
2
3
28/137
Valor Esperado
O valor esperado, ou esperança, ou média, de
uma distribuição de probabilidades corresponde
à média dos resultados da variável aleatória
quando o número de observações for muito
grande.
29/137
Valor Esperado
X
P(X)
x1
x2
...
xn
p1
p2
...
pn
Total
1
E(X) = x =  (xi.pi)
30/137
Variância
X
P(X)
x1
x2
...
xn
p1
p2
...
pn
Total
1
E(X) = x =  (xi.pi)
VAR(X) = x =  pi.(xi-x)2
31/137
Exercício - 1
Um grande lote de peças possui 60% dos itens
com algum tipo de defeito. Calcular o número
esperado de itens com defeito dentre 3
sorteados aleatoriamente e o desvio padrão.
32/137
Exercício
k
P(X=k)
0
1
2
3
0,064
0,288
0,432
0,216
Total
1
x =  itens
x =  item
33/137
Probabilidade
Regra da Multiplicação
A probabilidade de que dois eventos não
independentes ocorram é igual à multiplicação
das probabilidades individuais.
ProbabilidaP(A e B) = P(A B) = P(A) x P(B / A)
de condicional
34/137
Probabilidade
Condicional
P(B / A) - probabilidade do evento B ocorrer
dado que o evento A tenha ocorrido.
35/137
Exemplo
Um lote com 20 peças contém 4 defeituosas. Se
forem retiradas duas peças do lote, qual é a
probabilidade de serem retiradas:
 a)
duas peças boas?
 b)
duas peças defeituosas?
36/137
Exemplo
B - Peça Boa
D - Peça Defeituosa
16
P(B) =
20
4
P(D) =
20
37/137
Exemplo
Se a primeira peça for:
Boa
P(B/B) = 15 / 19
P(D/B) = 4 / 19
Defeituosa
P(B/D) = 16 / 19
P(D/D) = 3 / 19
38/137
Exemplo
16
a) P(BB) =
20
15
= 0,6316 ou 63,16%
19
4
a) P(DD) =
20
3
19
= 0,0316 ou 3,16%
39/137
Probabilidade
Regra da Adição
A probabilidade de que pelo menos um entre
dois eventos não excludentes ocorra é igual a:
P(A ou B) = P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A
B)
40/137
Exemplo
A Petrobrás perfura um poço quando acha que
há probabilidade de ao menos 40 % de encontrar
petróleo. Ela perfura 2 poços, aos quais atribui
as probabilidades de 40 % e 50 %. Qual é a
probabilidade de que pelo menos um poço
produza petróleo?
41/137
Exemplo
P(A) = 0,4
P(B) = 0,5
P(A e B) = 0,4 . 0,5 = 0,2
P(A ou B) = 0,4 + 0,5 - 0,2 = 0,7
42/137
Exemplo
Resultados
possíveis
Probabilidade
Produz
Produz
Não
Não
0,4 x 0,5 = 0,2
0,4 x 0,5 = 0,2
0,6 x 0,5 = 0,3
0,6 x 0,5 = 0,3
poço A
Não
Produz
Produz
Não
poço B
0,7
43/137
MODELOS PROBABILÍSTICOS
44/137
Modelos
Probabilísticos
Em problemas práticos, normalmente não é
necessário deduzir as probabilidades de
ocorrência, pois existem alguns modelos
probabilísticos que se aplicam a várias
situações práticas, fornecendo a regra de
determinação das probabilidades.
45/137
Modelos
Probabilísticos
O problema não é “como se
deduzem os valores?”, mas
sim “como se usam as
distribuições para resolver
problemas?”
William J. Stevenson
46/137
Exercício Anterior
Lança-se uma moeda e anota-se a face obtida.
Construir a distribuição de probabilidades para a
variável aleatória número de caras.
47/137
Distribuição de
Probabilidades
k
P(X=k)
0
1
0,5
0,5
Total
0,50
0,50
0
1
1
48/137
Distribuição de
Bernoulli
A distribuição de Bernoulli apresenta apenas
dois resultados possíveis (sim ou não), com
probabilidade de sucesso igual a “p”.
49/137
Distribuição de
Bernoulli
k
P(X=k)
0
1
(1-p)
p
Total
1
E(X) = x = p
VAR(X) = p.(1-p)
50/137
Distribuição Binomial
51/137
Distribuição
Binomial
O modelo binomial pressupõe:
São efetuados n experimentos iguais e independentes.
Cada um dos experimentos tem apenas 2 resultados
possíveis e excludentes (sim e não).
Consequentemente, a probabilidade de sim (p) para
cada experimento é constante.
A variável aleatória de interesse é o número de sim
obtidos nos n experimentos.
52/137
Distribuição
Binomial
Para identificar uma distribuição
bastam os parâmetros n e p.
binomial,
53/137
Exercício Anterior
Um grande lote de peças possui 60% dos itens
com algum tipo de defeito. Construir a
distribuição de probabilidades para a variável
aleatória número de itens com defeito dentre 3
sorteados aleatoriamente.
54/137
Exercício Anterior
Res. poss. Res. num.
BBB
0
BBD
1
BDB
1
DBB
1
BDD
2
DBD
2
DDB
2
DDD
3
Probabilidade
0,4 x 0,4 x 0,4 = 0,064
0,4 x 0,4 x 0,6 = 0,096
0,4 x 0,6 x 0,4 = 0,096
0,6 x 0,4 x 0,4 = 0,096
0,4 x 0,6 x 0,6 = 0,144
0,6 x 0,4 x 0,6 = 0,144
0,6 x 0,6 x 0,4 = 0,144
0,6 x 0,6 x 0,6 = 0,216
55/137
Exercício Anterior
k
P(X=k)
0
1
2
3
0,064
0,288
0,432
0,216
Total
0,432
0,288
0,216
0,064
1
0
1
2
3
56/137
Distribuição
Binomial
O exemplo apresentado pode ser representado
por uma distribuição binomial.
n=3
p = 0,6 (item com defeito = sim)
(Deseja-se o número de itens com defeito)
57/137
Equação da
Binomial
n k
P(X=k) =
p .(1- p)(n-k)
k
( )
n!
n
=
k
k! (n-k)!
( )
58/137
Distribuição
Binomial
k
P(X=k)
0
1
...
n
P(X=0)
P(X=1)
...
P(X=n)
Total
1
E(X) = x = np
VAR(X) = n.p.(1-p)
59/137
Exemplo
n=3
p = 0,6
3
P(X=k) =
0,6k.(1- 0,6)(3-k)
k
( )
P(X=0) = 3 0,60.(1- 0,6)(3-0) = 1.0,60.0,43 = 0,064
0
( )
3!
3
=
=1
0
0! (3-0)!
( )
1
60/137
Exemplo
n=3
p = 0,6
3
P(X=k) =
0,6k.(1- 0,6)(3-k)
k
( )
P(X=1) = 3 0,61.(1- 0,6)(3-1) = 3.0,61.0,42 = 0,288
1
( )
3!
3
=
=3
1
1! (3-1)!
( )
61/137
Exemplo
n=3
p = 0,6
3
P(X=k) =
0,6k.(1- 0,6)(3-k)
k
( )
P(X=2) = 3 0,62.(1- 0,6)(3-2) = 3.0,62.0,41 = 0,432
2
( )
3!
3
=
=3
2
2! (3-2)!
( )
62/137
Exemplo
n=3
p = 0,6
3
P(X=k) =
0,6k.(1- 0,6)(3-k)
k
( )
P(X=3) = 3 0,63.(1- 0,6)(3-3) = 1.0,63.0,40 = 0,216
3
( )
3!
3
=
=1
3
3! (3-3)!
( )
1
63/137
Exercício
k
P(X=k)
0
1
2
3
0,064
0,288
0,432
0,216
Total
0,432
0,288
0,216
0,064
1
0
1
2
3
64/137
Distribuição
Acumulada
k
P(X=k)
Prob. Acumulada
0
1
2
3
0,064
0,288
0,432
0,216
0,064
0,352
0,784
1,000
Total
1
-
65/137
Exercício 2
Considerando a mesma situação do exemplo
anterior,
construir
a
distribuição
de
probabilidades para o caso de 5 itens.
n=5
p = 0,6
66/137
Exercício
k
0
1
2
3
4
5
Total
P(X=k)
0,01024
0,07680
0,23040
0,34560
0,25920
0,07776
1
Probab. Acumul.
0,01024
0,08704
0,31744
0,66304
0,92224
1,00000
-
67/137
Tabela Binomial
As probabilidades para algumas binomiais
podem ser encontradas em tabelas nos livros de
estatística.
Também podem ser utilizados softwares.
68/137
Exercício 3
 Em um grande lote, sabe-se que 10 % da peças
são defeituosas. Qual é a probabilidade de, ao
se retirarem 6 peças ao acaso:
 a)
Apenas uma ser defeituosa?
0,3543
 b) No máximo uma ser defeituosa?
0,8857
 c) Pelo menos duas serem defeituosas? 0,1143
69/137
Exercício 4
Os produtos de uma empresa sofrem inspeção de
qualidade, através de uma amostra com 12 peças,
antes de serem enviados aos consumidores, podendo
ser classificados em A (de ótima qualidade), B (bons) e
C (de 2ª categoria). Se 70 % de um grande lote forem
do tipo A, 20 % forem do tipo B e o restante for do tipo
C, qual é a probabilidade de que a amostra apresente
no máximo 5 peças tipo B ou C?
0,8822
70/137
Exercício 5
Sabe-se que 1% dos produtos fabricados por uma
empresa apresentam problemas de qualidade. Dois
clientes encomendam um grande lote cada um, mas as
remessas têm que passar pela inspeção de qualidade no
recebimento. O cliente A seleciona ao acaso 10 produtos
e o lote é aceito se não existir nenhuma peça com
problema de qualidade. O cliente B toma uma amostra
com 20 produtos e aceita o lote se no máximo 1 peça
apresentar problemas de qualidade. Qual é a
probabilidade dos dois lotes serem aceitos pelos clientes?
71/137
Exercício
p=
Cliente A
n=
P(X=0) =
Cliente B
n=
P(X=0) + P(X=1) =
P(A e B) = = 0,8891 ou 88,91%
72/137
Distribuição
Multinomial
73/137
Distribuição
Multinomial
O modelo multinomial é uma generalização do binomial:
São efetuados n experimentos iguais e independentes.
Cada um dos experimentos tem mais de 2 resultados
possíveis e excludentes (k resultados).
A probabilidade de sim para o resultado “k” (pk) (i=1, 2,
...) em todos os experimentos é constante.
A variável aleatória de interesse é o número de sim em
cada categoria.
74/137
Distribuição
Multinomial
n!
P(X=x1, x2, ..., xk) =
x1! x2!... xk!
n = x1 + x2 + ... + xk
p1x1 p2x2 ...pkxk
75/137
VARIÁVEIS
CONTÍNUAS
76/137
Exemplo
Um jogo de azar é realizado da seguinte forma:
toma-se um círculo e divide-se-o em duas partes
iguais, 1 e 2. Sobre o centro do círculo, é fixado
um ponteiro, o qual é girado e anota-se o
número do setor onde a ponta do ponteiro parou.
77/137
Exemplo
2
1
Construir a
distribuição de
probabilidades
para o número
obtido neste
experimento.
78/137
Distribuição de
Probabilidades
k
P(X=k)
1
2
0,5
0,5
Total
0,50
0,50
1
1
2
79/137
Exemplo
Considerar a mesma situação, só que o círculo
é dividido em quatro partes iguais. Construir a
distribuição de probabilidades para o número
obtido neste experimento.
80/137
Exemplo
2
3
1
4
Construir
a
distribuição de
probabilidades
para o número
obtido
neste
experimento.
81/137
Distribuição de
Probabilidades
k
P(X=k)
1
2
3
4
0,25
0,25
0,25
0,25
Total
1
1
2
3
4
82/137
Exemplo
2
1
3
8
4
7
5
6
Construir
a
distribuição de
probabilidades
para o número
obtido
neste
experimento.
0,125
1
2
3
5
6
Número obtido
7
0,125
0,125
0,125
4
0,125
0,125
0,125
0,125
83/137
Histograma
8
84/137
Exemplo
3
2
1
16
4
15
14
5
6
13
12
7
8
9
10
11
Construir
a
distribuição de
probabilidades
para o número
obtido
neste
experimento.
85/137
Histograma
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
Número obtido
86/137
Dúvida...
Qual é o número máximo de setores que se
consegue em um círculo?
Resp: Infinitos
87/137
Variável Contínua
Como existem infinitos resultados possíveis, o
número obtido no experimento, temos uma
situação próxima à da variável contínua.
Como ficaria o histograma?
88/137
Histograma?
1
8
Área = 1
89/137
Dúvida...
Qual é a probabilidade dessa variável aleatória
contínua assumir um determinado valor (10, por
exemplo)?
Resposta: A probabilidade de uma variável
aleatória contínua assumir exatamente um
determinado valor é zero.
90/137
Probabilidades...
As probabilidades não podem mais ser
calculadas através de equações do tipo P(X=k) =
FÓRMULA.
Para identificar uma distribuição contínua, existe
a função densidade de probabilidade, que é
uma equação do tipo y=f(x).
91/137
Função da
Densidade de
Probabilidade
A função densidade de probabilidade está
relacionada com a probabilidade da variável
aleatória contínua assumir algum resultado
possível.
92/137
Função Densidade
de Probabilidade
f(x)
variável aleatória
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Variável Contínua
O estudo de uma variável aleatória contínua é
análogo ao das variáveis discretas.
A distribuição de probabilidades indica, para
uma variável aleatória, quais são os resultados
que podem ocorrer e qual é a probabilidade de
cada resultado acontecer.
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Variável Contínua
Características
A área sob a função densidade é 1.
f(x)
área = 1 (ou 100%)
variável aleatória
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Variável Contínua
Características
A probabilidade da variável aleatória assumir um
valor determinado é zero, pois existem infinitos
resultados possíveis.
As probabilidades sempre
intervalos de valores.
se
referem
a
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Características
f(x)
X
k
P(X=k) = 0
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Variável Contínua
Características
A probabilidade da variável aleatória assumir um
valor em um intervalo é igual à área sob a
função densidade naquele intervalo.
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Características
P(a<X<b)
f(x)
a
b
P(a < X < b) = área amarela
X
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Exercício
Sobre o centro de um círculo, é fixado um
ponteiro, o qual é girado e anota-se o ângulo
formado pelo ponteiro com o eixo horizontal,
como na figura a seguir.
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Exercício

Definir a função
densidade de
probabilidades
para o ângulo ()
obtido neste
experimento.
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Exercício
f(x)
1
360
Área = 1
0o
360o
X
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Exercício
Qual é a probabilidade de se obter um ângulo
entre 30o e 60o?
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Exercício
f(x)
área =
60 - 30
360 - 0
=
1
= 0,0833
12
P(30o < X < 60o)
0o 30o 60o
360o
X
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Distribuição
Uniforme
f(x)
1

f(x) =

1


X
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Distribuição
Uniforme
f(x)

a

b
P(a < X < b) =
b-a

X
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Distribuição
Normal
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Função
Densidade
1
f ( x) 
 2
 - média
 - desvio padrão
1 x 2
 (
)
e 2 
108/137
Distribuição
Normal
f(x)
1
f ( x) 
 2

X
1 x 2
 (
)
e 2 
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Características
Variável
identificada
pela média e
pelo desvio
padrão.


X
110/137
Média e
Desvio Padrão
=1
=2
=3
=4

X
111/137
Média e
Desvio Padrão
=3
1
2
3
X
112/137
Características
Simetria
em
relação à
média.
50%

X
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Características
A área sob a curva entre a média e um ponto qualquer
é função da distância padronizada entre a média e
aquele ponto.
Distância padronizada - distância expressa em função
do número de desvios padrões (distância dividida pelo
desvio padrão).
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Exemplo
área = 68,3%
-
 +
115/137
Exemplo
área = 95,4%
-2

+2
116/137
Exemplo
área = 99,7%
-3

+3
117/137
Características
As áreas referem-se a probabilidades.
P(X<a)
 a
X
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Normal
Padronizada
O cálculo de áreas sob a curva normal é
consideravelmente complexo.
Por isso, é conveniente trabalhar com valores
padronizados.
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Normal
Padronizada
Para padronizar uma variável normal, toma-se a
média como ponto de referência e o desvio
padrão como medida de afastamento.
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Normal
Padronizada
X-
Z=

Z - variável normal padronizada
X - variável normal
 - média
 - desvio padrão
121/137
Normal
Padronizada
= 1
= 0
Z
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Normal
Padronizada

-2 -
-2
-1
 + +2
0
1
2
X
Z
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Exemplo
O peso de uma peça é normalmente distribuído
com média de 500 gramas e desvio padrão de 5
gramas.
Encontrar os valores padronizados relativos aos
pesos: 485g, 490g, 495g, 500g, 505g, 510g e
515g.
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Exemplo
X = 510 g
X-
Z=

=
510 - 500
5
10
=
5
=2
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Exemplo
= 5

485
-3
490
-2
495
-1
500
0
505
1
510
2
515
3
X
Z
126/137
Exemplo
P(X<510) = P(Z<2)
= 5
500
0
510
2
X
Z
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Exercício
Com base na tabela da normal padronizada,
calcular:
a) P(Z < -1)
0,158655
-1
0
Z
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Exercício
b) P(Z > 1)
0,158655
0
+1
Z
129/137
Exercício
c) P(Z < 1)
0,841345
0
1
Z
130/137
Exercício
c) P(-1 < Z < 1)
1- 0, 158655 - 0,158655 = 0,68269
-1 0
1
Z
131/137
Exercício
c) P(-2 < Z < 2)
1 - 0, 022750 - 0,022750 = 0,9545
-2 0
2
Z
132/137
Exercício
c) P(-3 < Z < 3)
1- 0,001350 - 0,001350 = 0,9973
-3 0
3
Z
133/137
Exercício 6
Supondo que a vida útil dos pneus de
caminhões seja normal, com média de 50.000
Km e desvio padrão de 1.000 Km, qual é a
probabilidade de um pneu, escolhido ao acaso,
apresentar vida útil de:
a) menos de 49.000 Km?
0,158655
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Exercício 6
Supondo que a vida útil dos pneus de
caminhões seja normal, com média de 50.000
Km e desvio padrão de 1.000 Km, qual é a
probabilidade de um pneu, escolhido ao acaso,
apresentar vida útil de:
b) mais de 51.000 Km?
0,158655
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Exercício 6
Supondo que a vida útil dos pneus de
caminhões seja normal, com média de 50.000
Km e desvio padrão de 1.000 Km, qual é a
probabilidade de um pneu, escolhido ao acaso,
apresentar vida útil de:
c) entre 49.000 Km e 51.000 Km?
0,68269
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Exercício 6
Supondo que a vida útil dos pneus de
caminhões seja normal, com média de 50.000
Km e desvio padrão de 1.000 Km, qual é a
probabilidade de um pneu, escolhido ao acaso,
apresentar vida útil de:
d) entre 48.000 Km e 52.000 Km?
0,9545
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Exercício 6
Supondo que a vida útil dos pneus de
caminhões seja normal, com média de 50.000
Km e desvio padrão de 1.000 Km, qual é a
probabilidade de um pneu, escolhido ao acaso,
apresentar vida útil de:
e) entre 47.000 Km e 53.000 Km?
0,9973