AULA: 10-16
Principais Modelos Contínuos
Prof. Víctor Hugo Lachos Dávila
Variável Aleatória Contínua:
• Assume valores num intervalo de números reais.
• Não é possível listar, individualmente, todos os possíveis
valores de uma v.a. contínua.
• Associamos probabilidades a intervalos de valores da
variável.
Infinitos valores de X
P(X=x)
Variável aleatória
contínua (funcão
densidade de
probabilidade,f.d.p.)
f(x)
Variável
aleatória
discreta (f.p.)
1 2
3 4 5 6
x
2
Propriedades dos Modelos Contínuos
Uma v.a. X contínua é caracterizada por sua função
densidade de probabilidade f(x) (f.d.p) com as propriedades:
(i) A área sob a curva de densidade é 1, isto é,
(ii) f(x)  0, para todo x;

f ( x )dx  1
R
(iii) P(a  X  b) = área sob a curva da densidade f(x) e
acima do eixo x, entre os pontos a e b;
(iv) P(X = x0) = 0, para x0 fixo.
Assim,
P(a < X < b) = P(a  X < b)
b
= P(a < X  b) = P(a  X  b)=  f ( x )dx
a
3
MÉDIA E VARIÂNCIA (v.a. continuas)
Valor Esperado (média): Dada a v. a. X, o valor
esperado ou esperança matemática de X é dada por
E(X)   xf ( x)dx

Notação: μ  E(X)
Variância: É o valor esperado da v.a. (X – E(X))2, ou
seja,
Var(X)   (x -  ) f ( x)dx  E ( X )  ( E ( X ))
2
2
2

Notação: 
2
 Var (X)
4
Exemplo 1
A duração, em anos, de uma lâmpada especial é uma variável
aleatória contínua com função densidade dada por:
f(x) 
ce
2 x
0
, x0
, c.c
f(x)  ce
2 x
I ( 0 ,  ) ( x)
Notacão usual
1.Encontre o valor da constante c:Das propiredades vistas temos que
c>0 e
0
 f(w)dw  1
R

 0dw   ce
-
2 w
dw  1
c2
0
2.Encontre a função de distribuição(f.d.a): c: Da definição temos que
x
F(x)  P(X  x) 
 f(w)dw
-
Claro que para x<0, F(x)=0,
pois a função densidade é
nula e para x≥0, temos
5
Continuação exemplo 1
x
F(x) 
 2e
2 w
dw  1  e
2 x
.
ou F(x) 
0
,x  0
0
1 - 2e
2 x
, x0
3. Calcule a probabilidade da lampada durar até 2 anos: Calculamos
F(2)  1  e
2 ( 2 )
 0,98
4. Calcule o valor esperado da duração em anos da lampada:

0
E(X) 
 wf ( w)dw 
R
 w0dw   2we

2 w
dw  0.5
0
IMPORTANTE: Integral por partes e Teorema de L’hospital
b

a
b
f ( x)d ( g ( x))  f ( x) g ( x) |a   g ( x)d ( f ( x))
b
a
6
1. Modelo Uniforme
Uma variável aleatória contínua X tem distribuição uniforme com
parâmetros  e  se sua função de densidade de probabilidade é dada
por:
 1
,

f (x)     

 0,
  x 
c .c
Notação: X~U( , ))
A função de distribuição acumulada é dado por:


x
F ( x)  



E(X ) 
0


1
 
2
x0
  x 
x 
, Var ( X ) 


2
12
7
Exemplo: A dureza X de uma peça de aço pode ser pensada como
sendo uma variável aleatória uniforme no intervalo (50,70) da
escala Rockwel. Qual é a probabilidade de que uma peça tenha
dureza entre 55 e 60?
Solução: Seja X: dureza de uma peça de aço, X~U(50,70)
 1

,
f ( x )   20
 0 ,
50  x  70
Portanto,
c .c
60
P ( 55  X  60 ) 
1
 20
dx 
5
20
55
Também,
E(X )   
70  50
2
 60

2

( 70  50 )
2
 33 ,3
12
8
2. Modelo Exponencial
Uma variável aleatória contínua X tem distribuição exponencial com
parâmetro , se sua função de densidade é dado por
1 x
 e ,
f (x)   

 0,
x  0
c .c
Notação: X~Ex().
A função de distribuição acumulada é dado por:
x


1  e  ,
F ( x)  

0

Pode-se mostrar:
x 0
c .c
E ( X )   , Var ( X )  
2
9
Exemplo: Certo tipo de fusível tem duração de vida que segue uma
distribuição exponencial com tempo médio de vida de 100 horas.
Cada peça tem um custo de 10,0 unidades monetárias (u.m) e se
durar menos de 20 horas, existe um custo adicional de 8.0 u.m.
(a) Qual é a probabilidade de uma durar mais de 150 horas?
(b) Determinar o custo esperado.
Solução: Se X: tempo de duração de uma peça, do enunciado tem-se
que: E(X)=100 horas e X~Ex(100). Ou seja,
x


1  e 100 ,
F ( x)  

0

x0
c .c
( a ) P ( X  150 )  1  P ( X  150 )  1  (1  e

150
100
)e
1, 5
 0 , 223
10
(b) Seja C o custo total de uma peça.
 10 ,
C  
10  8 ,
se x  200
se
x  200
O custo total esperado é: E(C)=10P(C=10)+18P(C=18)
P ( C  10 )  P ( X  200 )  1  P ( X  200 )  1  F ( 200 )  e
P ( C  18 )  P ( X  200 )  F ( 200 )  1  e
E ( C )  10  e
2
 18  (1  e
2
2
2
)  16 ,918 u .m
11
4. Modelo Normal
Exemplo : Observamos o peso, em kg, de 1500 pessoas adultas
selecionadas ao acaso em uma população.
O histograma por densidade é o seguinte:
D e n s id a d e
0 .0 4
0 .0 3
0 .0 2
0 .0 1
0 .0 0
30
40
50
60
70
80
90
1 00
Peso
12
A análise do histograma indica que:
- a distribuição dos valores é aproximadamente simétrica
em torno de 70kg;
- a maioria dos valores (88%) encontra-se no intervalo
(55;85);
- existe uma pequena proporção de valores abaixo de 48kg
(1,2%) e acima de 92kg (1%).
13
Vamos definir a variável aleatória
X: peso, em kg, de uma pessoa adulta
escolhida ao acaso da população.
Como se distribuem os valores da variável aleatória X, isto é,
qual a distribuição de probabilidades de X ?
D e n s id a d e
0 .0 3 0
0 .0 1 5
0 .0 0 0
30
40
50
60
70
80
90
10 0
P es o
A curva contínua da figura denomina-se curva Normal.
14
A distribuição Normal é uma das mais importantes
distribuições contínuas de probabilidade pois:
•
Muitos fenômenos aleatórios comportam-se de forma
próxima a essa distribuição. Exemplos:
1. altura
2. pressão sangüínea
3. etc.
• Pode ser utilizada para calcular, de forma aproximada,
probabilidades para outras distribuições, como por
exemplo, para a distribuição Binomial.
15
O Modelo Normal
Uma variável aleatória contínua X tem distribuição normal com média
 e variância  2 , se sua função de densidade é dada por:
f ( x) 
1
2 
e
 x 


  
2
, x R
Notação : X ~ N (  ,  ).
2
16
Distribuições
normais
com médias diferentes e
variâncias iguais.
Distribuições
normais
com médias iguais e
variâncias diferentes
17
Propriedades da distribuição normal
( a ) E ( X )   , Var ( X )  
2
(b) A distribuição é simétrica ao redor de sua média.
(c) A área total sob curva é igual a um portanto, cada metade da curva
tem 0,5 da área total.
(d)
P(    X     )
 0 , 6896
P (   2  X    2 )  0 , 9546
P (   3  X    3 )  0 , 9973
18
A função de distribuição acumulada de uma v.a
x
F ( x) 


X ~ N (  ,  ).
2
2

1
1t  
exp   
 dt
 2   
2 


19
Distribuição normal padrão ou reduzida
Se Z é uma variável aleatória normal com média zero e variância um,
então Z é chamado de uma v.a. normal padrão ou reduzida e sua f.d.p
é dada por:
f (z) 
1
2

e
z
2
2
, zR
A função de distribuição acumulada de uma v.a Z~N(0,1) d
z
 ( z)  P (Z  z) 


1
2
exp(  0 , 5 t ) dt
2
20
Uso da Tabela Normal
z
 ( z)  P (Z  z) 


1
2
exp(  0 , 5 t ) dt
2
Observação:
( i ) P ( Z   z )   (  z )  1  P ( Z  z )  1   ( z ),  z  0
( ii ) P (  z  Z  z )  2 P ( Z  z )  1  2  ( z )  1
( iii ) P ( a  Z  b )   ( b )   ( a ),  a , b  R
21
Distribuição normal: valores de P(Z≤z)=Φ(z), z≥0
z
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
0,00
0,500000
0,539828
0,579260
0,617911
0,655422
0,691462
0,725747
0,758036
0,788145
0,815940
0,841345
0,864334
0,884930
0,903199
0,919243
0,933193
0,945201
0,955435
0,964070
0,971284
0,977250
0,982136
0,986097
0,989276
0,991802
0,993790
0,995339
0,996533
0,997445
0,998134
0,998650
0,999032
0,999313
0,999517
0,999663
0,999767
0,999841
0,999892
0,999928
0,999952
0,01
0,503989
0,543795
0,583166
0,621719
0,659097
0,694974
0,729069
0,761148
0,791030
0,818589
0,843752
0,866500
0,886860
0,904902
0,920730
0,934478
0,946301
0,956367
0,964852
0,971933
0,977784
0,982571
0,986447
0,989556
0,992024
0,993963
0,995473
0,996636
0,997523
0,998193
0,998694
0,999064
0,999336
0,999533
0,999675
0,999776
0,999847
0,999896
0,999930
0,999954
0,02
0,507978
0,547758
0,587064
0,625516
0,662757
0,698468
0,732371
0,764238
0,793892
0,821214
0,846136
0,868643
0,888767
0,906582
0,922196
0,935744
0,947384
0,957284
0,965621
0,972571
0,978308
0,982997
0,986791
0,989830
0,992240
0,994132
0,995603
0,996736
0,997599
0,998250
0,998736
0,999096
0,999359
0,999550
0,999687
0,999784
0,999853
0,999900
0,999933
0,999956
0,03
0,511966
0,551717
0,590954
0,629300
0,666402
0,701944
0,735653
0,767305
0,796731
0,823814
0,848495
0,870762
0,890651
0,908241
0,923641
0,936992
0,948449
0,958185
0,966375
0,973197
0,978822
0,983414
0,987126
0,990097
0,992451
0,994297
0,995731
0,996833
0,997673
0,998305
0,998777
0,999126
0,999381
0,999566
0,999698
0,999792
0,999858
0,999904
0,999936
0,999958
0,04
0,515953
0,555670
0,594835
0,633072
0,670031
0,705401
0,738914
0,770350
0,799546
0,826391
0,850830
0,872857
0,892512
0,909877
0,925066
0,938220
0,949497
0,959071
0,967116
0,973810
0,979325
0,983823
0,987455
0,990358
0,992656
0,994457
0,995855
0,996928
0,997744
0,998359
0,998817
0,999155
0,999402
0,999581
0,999709
0,999800
0,999864
0,999908
0,999938
0,999959
0,05
0,519939
0,559618
0,598706
0,636831
0,673645
0,708840
0,742154
0,773373
0,802337
0,828944
0,853141
0,874928
0,894350
0,911492
0,926471
0,939429
0,950529
0,959941
0,967843
0,974412
0,979818
0,984222
0,987776
0,990613
0,992857
0,994614
0,995975
0,997020
0,997814
0,998411
0,998856
0,999184
0,999423
0,999596
0,999720
0,999807
0,999869
0,999912
0,999941
0,999961
0,06
0,523922
0,563559
0,602568
0,640576
0,677242
0,712260
0,745373
0,776373
0,805106
0,831472
0,855428
0,876976
0,896165
0,913085
0,927855
0,940620
0,951543
0,960796
0,968557
0,975002
0,980301
0,984614
0,988089
0,990863
0,993053
0,994766
0,996093
0,997110
0,997882
0,998462
0,998893
0,999211
0,999443
0,999610
0,999730
0,999815
0,999874
0,999915
0,999943
0,999963
0,07
0,527903
0,567495
0,606420
0,644309
0,680822
0,715661
0,748571
0,779350
0,807850
0,833977
0,857690
0,878999
0,897958
0,914656
0,929219
0,941792
0,952540
0,961636
0,969258
0,975581
0,980774
0,984997
0,988396
0,991106
0,993244
0,994915
0,996207
0,997197
0,997948
0,998511
0,998930
0,999238
0,999462
0,999624
0,999740
0,999821
0,999879
0,999918
0,999946
0,999964
22
Exemplo: Seja Z~N(0,1), determinar:
(a)
(b)
(c)
(d)
P(Z<1,80)
P(0,80<Z<1.40)
P(Z<-0,57)
O valor de k tal que: P(Z<k)=0,05.
Solução: da tabela normal padrão tem-se:
( a ) P ( Z  1,80 )   (1,80 )  0,964070
(b) P(0,80  Z  1,40)   (1,40) -  (0,80)  0,91924 - 0,78814  0,1311
( c ) P ( Z   0 ,57 )  1  P ( Z  0 ,57 )  1  0 , 715661  0,284339.
( d ) P ( Z  k )  0 , 05  k   1, 64
23
Teorema (Transformação linear de uma variável normal)
Se X é uma v.a. normal com média  e variância
2, então a variável aleatória Y=a+bX tem
distribuição normal com média y =a+b e
variância   b  .
2
2
2
Y
Uma conseqüência do teorema anterior é a variável
 X   
Z  
 ~ N ( 0 ,1)



Exemplo: Se X~N(90,100). Determinar:
(a) P(70< X < 100)
(b) P(|X-90|<30)
(c) O valor de a tal que: P(90-2a <X< 90+2a)=0,99
24
( a ) P ( 70  X  100 )  P (
70  90

X 

10

100  90
)  P (  2  Z  1) 
10
 P ( Z  1)  P ( Z   2 )  P ( Z  1)  (1  P ( Z  2 )) 
 0,841345  (1  0 ,97725 )  0 , 718595
( b ) P (| X  90 | 30 )  P (  30  X  90  30 )  P ( 
30
10

X  90
10

30
)
10
 P (  3  Z  3 )  2 P ( Z  3 )  1  2  0.998650 - 1  0,9973
 2 a X  90 2 a 
( c ) P ( 90  2 a  X  90  2 a )  P (  2 a  X  90  2 a )  P  



10
10 
 10
 2 P (Z 
a
5

a
)  1  0 ,99  P ( Z 
a
)  0 ,995
5
 2 ,57  a  12 ,85
5
25
Exemplo: O tempo gasto no exame vestibular de uma universidade
tem distribuição normal com média 120 minutos e desvio padrão
15 minutos.
(a) Sorteando-se um aluno ao acaso, qual é probabilidade dele
terminar o exame antes de 100 minutos?
X: tempo gasto no exame vestibular.
2
X ~ N (120 ,15 ).
100  120 

P ( X  100 )  P  Z 
  P ( Z   1, 33 )
15


 1  P ( Z  1,33 )
 1   (1, 33 )  1  0,908241  0,091769
26
(b) Qual deve ser o tempo de prova de modo que permita o 95% dos
vestibulandos terminem no prazo estipulado?
P ( X  x )  0 ,95
x  120 

P ( X  x)  P Z 
  0 ,95
15


z=? , tal que (z)=0,95
Da tabela z= 1,64
x  120  1, 64  15  152 , 6
(c) Qual o intervalo central de tempo, tal que 80% dos estudantes
gastam para completar o exame?
27
x 2  120 
 x1  120
P ( x1  X  x 2 )  0 ,80  P 
Z 
  0 . 80
15
 15

z=? , tal que (z)=0,90
Da tabela z= 1,28
x1  120
15
x 2  120
15
  1, 28  x1  120  15  1, 28  x1  100 ,8 min .
 1, 28  x 2  120  15  1, 28  x 2  139 , 2 min .
28
Teorema( Combinação Linear de variáveis aleatórias normais)
Sejam X 1 ,  , X n , n variáveis aleatórias independentes onde Xi ~N(i, i2), para
i=1,...,n. Sejam a 1 ,  , a n constantes reais. Seja a variável aleatória Y uma
combinação linear das variáveis aleatórias normais. Isto é
Y  a1 X 1    a n X
n
Então a variável aleatória Y tem distribuição normal com média
 Y  a1  1    a n  n 
n

ai  i
i 1
e variância

2
Y
 a 
2
1
2
1
  a 
2
n
n
2
n


ai 
2
2
i
i 1
29
Exemplo: Uma companhia embala em cada caixa 5 pires e 5 xícaras. Os
pesos dos pires distribuem-se normalmente com média de 190 g e
desvio padrão 100 g. Os pesos das xícaras também são normais com
média 170 g e desvio padrão 12,25 g. O peso da embalagem é
praticamente constante e igual a 100 g.
(a) Qual é a probabilidade da caixa pesar menos de 2000 g?
Solução. Sejam,
Pi : peso do i - ésimo
pires;
X i : peso do i - ésima
xícara;
E : peso da embalagem;
C : peso da caixa
completa.
5
C  P1  P2    P5  X 1  X 2    X 5  E 
   

  

peso dos pires
peso das xícaras

i 1
5
Pi 

X
i
 E
i 1
30
Tem-se interesse: P(C < 2000)=? Do problema temos:
Pi ~ N (190 ,10 ), X i ~ N (170 ,12 , 25 ) i  1,  ,5
2
2
Do teorema
anterior 5C distribui-se normalmente com média
5
C 

E ( Pi ) 
i 1

E(Xi)  E
i 1
 5  190  5  170  100  1900 g
e variância
5

2
C

5
 Var ( P )   Var ( X
i
i 1
i
)  Var ( E ) 
i 1
 5  10  5  12 , 25  0  1250 g
2
2
2
2000  1900 

P ( C  2000 )  P  Z 

1250


 P ( Z  2 ,83 )  0,997673
31
(b) Qual é a probabilidade de uma xícara pesar mais que um pires
numa escolha ao acaso?
Seja X: peso de uma xícara; P: peso de um pires. P(X > P)=P(X – P >0)=?
Seja Y  X  P ~ N (  Y ;  Y )
2
onde
 Y   X   P  170  190   20 ;
 Y2  
2
X

2
P
 10
2
 12 , 25
2
 250 .
Logo,
P (Y  0 )  1  P (Y  0 )
0  (  20 ) 

 1  P Z 

250


 1  P ( Z  1, 26 )  1  0,896165
 0,103835.
32
Corolário (Propriedade reprodutiva da distribuição normal)
Sejam X 1 ,  , X n , n variáveis aleatórias independentes onde Xi ~N(, 2), para
i=1,...,n. Então a variável aleatória
n
Y  X1   X
n


X
i
i 1
tem distribuição normal com média n e variância
n  , isto é, Y ~ N ( n  , n  )
2
2
n

Y 
X i  n
i 1
n

X 
 /
~ N ( 0 ,1).
n
Exemplo: o peso de uma caixa de peças é uma variável aleatória normal
com média de 65 kg e desvio padrão de 4 kg. Um carregamento de 120
caixas de peças é feito. Qual é a probabilidade que a carga pesar
entre 7.893 kg e 7.910 kg?
33
X i : peso da i - ésima caixa  X i ~ N ( 65 ,16 ), i  1,  ,120
120
Y : peso da carga
Y 

X
i
~ N (120  65 ,120  16 )
i 1
Y ~ N ( 7800 ,1920 )
7910  7800 
 7893  7800
P ( 7893  Y  7910 )  P 
 Z 

1920
1920


 P ( 2 ,12  Z  2 , 51 )   ( 2 , 51 )   ( 2 ,12 )
 0 , 493963  0 , 482997
 0 , 010966
34
Aproximação da Binomial pela Normal
Exemplo: Estudo do Sindicato de Bancários indica que cerca de 30%
dos funcionários de banco têm problemas de estresse, provenientes
das condições de trabalho. Numa amostra de 200 bancários, qual seria
a probabilidade de pelo menos 50 com essa doença?
o
X : N de bancários
com o problema
200
P ( X  50 ) 

k  50
(
200
k
)( 0 ,3 ) ( 0 , 7 )
 X ~ B ( 200 , 0 ,3 )
200  k
 0 ,948
k
Resultado muito trabalhos: 151 termos para somar
A aproximação pela Normal é baseada no Teorema Limite Central. Em
geral quanto mais simétrica for a f.p. da Binomial, melhor será a
aproximacão.
35
Distribuição Binomial n = 10 p = 0,2
36
Distribuição Binomial n = 20 p = 0,2
37
Distribuição Binomial n = 50 p = 0,2
Para p fixado, a medida que n cresce, os
histogramas vão se tornando mais simétricos e
com a forma da curva Normal. Tal aproximação
será mais rápida para p  0 . 5
38
Idéia Básica
X ~ b(n ; p)

E(X) = np
Var(X) = np(1 – p)
Aproximar a distribuição de probabilidades de X pela distribuição
de probabilidades de uma variável aleatória Y tal que
Y ~ N( y, y2)
Portanto,
com
y = n p
e
y2 = n p (1 – p).
• P( a  X  b)  P(a  Y  b)
• P( X  a)  P(Y  a)
• P( X  b)  P(Y  b)
sendo Y ~ N(np ; np(1 – p) ).
39
No Exemplo anterior temos que:
X ~ B ( 200 , 0 ,3 ), com E ( X )  np  60 e Var ( X )  np (1  p )  42
Logo temos que Y ~ N ( 60 , 42 ) , desta forma
P ( X  50 )  P (Y  50 )  P (
Y  60
42

50  60
)  P ( Z   1,54 )  0 ,938
42
Probabilidade exata = 0,948 (usando a distribuição binomial).
Note que estamos aproximando uma distribuição discreta por uma
contínua onde as probabilidades pontuais são zero, assim para melhorar
tal aproximação alguns autores preferem usar a correção de
continuidade
40
Correção de Continuidade
Para melhorar a aproximação, usamos a correção por continuidade no
cálculo com a Normal como segue:
P ( X  50 )  P (Y  49 ,5 )  P (
Y  60

49 ,5  60
42
P ( X  50 )  P (Y  50 ,5 )  P (
Y  60
)  P ( Z  -1.62 )  0 ,9478
42

50 ,5  60
42
)  P ( Z   1 . 46 )  0 ,9292
42
Para probabilidade pontuais, criamos um intervalo artificial:
P ( X  50 )  P ( 49 ,5  Y  50 ,5 )  P (
49 ,5  60
42

Y  60
42

50 ,5  60
)  0 , 0182
42
Probabilidade exata = 00190 (usando a distribuição binomial).
41
Exemplo: Um sistema é formado por 100 componentes, cada um dos
quais com confiabilidade (probabilidade de funcionar adequadamente
num certo período) igual a 0,9. Se esses componentes funcionarem de
forma independente um do outro e se o sistema funcionar
adequadamente enquanto pelo menos 87 componentes estiverem
funcionando, qual é a confiabilidade do sistema?
X : número de componentes que funcionam adequadamente dos 100
X ~ b(100; 0,9)
n = 100 p = 0,9

E(X) = np = 1000,9 = 90
Var(X) = np(1 – p) = 100  0,9  0,1 = 9
Confiabilidade do sistema: P(X  87)=??
P(X  87)  P(Y  87)  P(Y  86,5)
 P(
Y  90
9

86 , 5  90
Y ~ N(90 ; 9)
)  P ( Z   1 . 16 )   (1,16 )  0 . 876976
3
Probabilidade exata = 0.8761232 (usando a distribuição binomial).
42