Corpos em queda livre
Galileo, o primeiro físico moderno, estudou a queda dos corpos
Refutou as hipóteses de Aristóteles
1
Através de experiências, Galileu mostrou que os corpos caem com a
mesma velocidade, independentemente de sua massa
Exemplos de corpos em queda livre 
2
Corpos em queda livre
Mas... devemos notar que em
geral, há outras forças actuando no
corpo considerado, o que pode
frustrar uma experiência se não
formos suficientemente cuidadosos
a
resistência
do ar!!
Força de atrito do ar!!!!
3
Corpos em queda livre
Vector aceleração da gravidade


g

g
O vector g aponta para baixo em
direcção ao centro da Terra
Valor da aceleração da gravidade
perto da superfície da Terra
g  9.8 m/s 2
Para estudar um corpo em queda livre, consideramos que :
• a aceleração g é constante durante o intervalo do movimento e direccionada
para baixo
• o efeito da resistência do ar é desprezável
4
Corpos em queda livre
y

v0

g

g


g   gey

ey
As equações obtidas para partículas em movimento com aceleração constante
(MRUV) são aplicáveis ao corpo em queda livre. Assim
v  v0  at
1 2
x  x0  v0t  at
2


v  v0  gt
y  y0  v0t 
1 2
gt
2
5
y
Exemplo 10. Uma pedra é arremessada verticalmente para cima no
ponto A do terraço de um edifício com uma velocidade inicial de 20.0
m/s. O prédio tem 50.0 m de altura. Determine: a) o tempo no qual a
pedra atinge a sua altura máxima, b) a altura máxima acima do
terraço e c) o tempo no qual a pedra retorna ao nível do arremessador.
a) o tempo no qual a pedra atinge a sua altura máxima
Quando a pedra atinge a altura máxima ela pára e
v  v0  gt
então v=0 no ponto máximo
Substituindo o valor de v na equação fica
0  v0  gt

v0  gt

v0 20.0 m/s
t 
 2.04 s
2
g 9.8 m/s
b) a altura máxima acima do terraço
1
y0  0
t  2.04 s
y  y0  v0t  gt 2
2
Substituindo na equação fica
1
y  (20 m/s)(2.04 s)  (9.8 m/s 2 )( 2.04 s) 2  20.4 m
2
c) o tempo no qual a pedra retorna ao nível do arremessador
1
 t 0
1 2
1
y  y0  v0t  gt 2
0  v0t  gt  (v0  gt)t 
2
y0  0
y0
2
2
t  4.08 s
6
Movimento em duas dimensões
Anteriormente estudamos uma partícula que se desloca em linha recta
Agora estudaremos o movimento de uma partícula no plano xy
A trajectória é o lugar geométrico dos pontos do espaço ocupados pelo corpo (planeta,
cometa, foguete, carro, etc.) que se movimenta
Qualquer ponto da trajectória pode ser descrito pelo vector posição. É definido em
termos de coordenadas cartesianas por
A posição da partícula P na trajectória é descrita
y
pelo vector posição
P
Trajectória s
y

ey 
ex

r
x

r



r  xex  yey
x
7
Vector posição da partícula
y

ey 
ex

r3 
r2

r1
x
8
Vector deslocamento

r
Quando uma partícula se desloca do ponto A para o ponto B no intervalo
de tempo
t  t f  t i
y
B 

rf
r
A

ri

ey 
ex
o vector posição passa de
x

ri
A partícula se deslocou de
para

rf
  
r  rf  ri
9
Velocidade média


r x  y 
vm 

ex 
ey
t t
t



vm  vmx ex  vmy ey
ou
Velocidade instantânea



r dr dx  dy 
v  lim

 ex  e y
t 0
t dt dt
dt

v v
ou



v  v x ex  v y e y
é a velocidade escalar
10
Aceleração média


v m
v x  v y 
am 

ex 
ey
t
t
t
ou



am  amx ex  amy ey
Aceleração instantânea

dv y
 dv
dvx 
a

ex 
e y
dt
dt
dt
ou
ou

2 
 dv
d r
a

dt
dt 2



a  a x ex  a y e y
a aceleração resulta de qualquer variação do vector velocidade
quer seja do módulo, da direcção ou do sentido de

v
11
MOVIMENTO DE UM PROJÉCTIL
A bola faz uma trajectória
curva
Para analisar este movimento consideraremos que
• a aceleração g é constante durante o intervalo do movimento e direccionada para
baixo
• o efeito da resistência do ar é desprezável
Com estas suposições a trajectória do projéctil é sempre uma parábola
12
Fotografia estroboscópica de bolas de ping-pong
A fotografia estroboscópica
regista
a
trajectória
de
objectos em movimento
A Figura mostra que a trajectória
da bola é uma parábola
13

v0
Analisamos o movimento
dimensões separadamente
em
cada
uma
das
Componentes da velocidade inicial

v0

ey



v0  v0 xex  v0 y ey
cos 0 
0

ex
v0 x
v0
sin 0 
As componentes iniciais
são
v0 x  v0 cos 0
v0 y
v0
x e y da velocidade
v0 y  v0 sin 0
14
Duas esferas largadas simultaneamente
15
Fotografia estroboscópica de duas esferas largadas simultaneamente
As duas esferas são jogadas sob
a acção da gravidade
A esfera rosa é solta  v0y = 0
(queda livre)
A esfera amarela tem velocidade
inicial horizontal v0x
A cada instante as esferas têm a
mesma altura
As duas esferas chegam ao
mesmo tempo no solo
16
Exemplo:
Quando um avião em deslocamento horizontal com velocidade constante
deixa cair um pacote com medicamentos para refugiados em terra, a
trajectória do pacote vista pelo piloto é igual à trajectória vista pelos
refugiados?
Não. O piloto verá o pacote descrever
uma trajectória rectilínea vertical:
Os refugiados verão o pacote descrever um
movimento horizontal uniforme e um vertical
uniformemente acelerado, a visão será de uma
trajectória parabólica:
17
Visão do piloto e visão dos refugiados
18
Diagrama do movimento de um projéctil
g
Movimento uniformemente variado
Movimento rectilíneo uniforme
19
Exemplo do movimento de um projéctil
20
EQUAÇÕES DE MOVIMENTO DO PROJÉCTIL
Movimento rectilíneo uniforme na horizontal (MRU)
Componente horizontal da velocidade
v x  v0 x  v0 cos 0  constante
Componente horizontal da posição
x  x0 x  v0 x t  x0 x  v0 cos 0 t
Movimento uniformemente variado na vertical (MRUV)
Componente vertical da velocidade
Componente vertical da posição
v y  voy  gt  v0 sin 0  gt
y  y0  v0 y t 
1 2
1
gt  y0  v0 sin 0t  gt 2
2
2
21
Alcance e altura máxima dum projéctil
ALTURA MÁXIMA
vy  0
O tempo para atingir a altura máxima y=h
(quando v y  0 ) :

v0
v y  v0 y  gt
v y  v0 y  gth  v0 sin  0  gth
0  v0 sin  0  gt h 
gt h  v0 sin  0 
0
v0 sin  0
th 
g
Substituindo th na outra expressão
y  y0  v0 sin  0t 
1 2
1
gt  h  v0 sin  0t h  gt h2 
2
2
 v0 sin  0  1  v0 sin  0  v0 sin  0 2
  g 
 
h  v0 sin  0 
2g
 g  2  g 
2

(y=h e y0=0)
v02 sin 2  0
h
2g
22
ALCANCE
v0 y  0

v0
R é o alcance - distância horizontal
percorrida pela partícula até chegar à
altura inicial
O movimento é simétrico 
a partícula
leva um tempo th para subir e o mesmo
tempo th para cair ao mesmo nível
Portanto o tempo para percorrer R é
t  2th  2 v0 sin  0
g
0
x  x0 x  v0 x t  x0 x  v0 cos 0 t
R  v0 x (2th )  v0cos0 (2th )
 2v0 sin  0 

R  v0 cos  0 
g



v02 sin 20
R
g
23
Um projéctil lançado da origem com uma velocidade escalar inicial de
para vários ângulos  0
50 m/s
Alcance máximo Rmáx
R
v2
0
g
sin 2 0
sin 20 é máximo quando for  1
O que acontece quando
 0  45 o
20   / 2
Rmax 
v 20
g
Os ângulos complementares (somam 90 graus) dão origem ao mesmo valor de R
24