MOVIMENTO EM DUAS DIMENSÕES
x
 Vetor posição
 Vetor deslocamento
 Velocidade
 Aceleração
y
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Movimento em duas dimensões
Anteriormente estudamos uma partícula que se desloca em linha reta
Agora estudaremos o movimento de uma partícula no plano xy
A partícula descreve uma trajetória  que é o lugar geométrico dos pontos
do espaço ocupados por ela, a medida que se movimenta.
A posição da partícula P na trajetória é
y
P
descrita pelo vetor posição

r
Trajetória s
y

ey 
ex

r
x
x



r  xex  yey
2
Vetor posição da partícula
y

ey 
ex

r3 
r2

r1
x
3

r
Vetor deslocamento
Quando uma partícula se desloca do ponto A para o ponto B no intervalo
de tempo
t  t f  t i
y
B 

rf
r
A

ri

ey 
ex
o vetor posição passa de
x


ri para r f
A partícula se deslocou de
  
r  rf  ri
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Velocidade média


r x  y 
vm 

ex 
ey
t t
t



vm  vmx ex  vmy ey
ou
Velocidade instantânea



r dr dx  dy 
v  lim

 ex  e y
t 0
t dt dt
dt

v v
ou



v  v x ex  v y e y
é a velocidade escalar
5
Aceleração média


v m
v x  v y 
am 

ex 
ey
t
t
t
ou



am  amx ex  amy ey
Aceleração instantânea

dv y
 dv
dvx 
a

ex 
e y
dt
dt
dt
ou
ou

2 
 dv
d r
a

dt
dt 2



a  a x ex  a y e y
a aceleração resulta de qualquer variação do vetor velocidade
quer seja do módulo ou da direção de

v
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Exemplos de movimentos em duas dimensões
Movimento de um Projétil
Movimento circular
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Exemplo 1. Um ponto na trajetória de uma partícula é dada pelas equações (em
unidades SI):
x(t) = 0.2 t2 + 5.0 t + 0.5 m
y(t) = -1.0 t2 + 10.0 t + 2.0 m
a) Calcular o vetor deslocamento da
partícula
 

r  r (6)  r (3)
b) Calcular a velocidade e a
aceleração da partícula.
Resolução
a) em t = 3 s :
x(3) =17 m e y(3) =23 m
em t = 6 s :
x(6) =38 m e y(6) =26 m
 





r  r (6)  r (3)  (38 m ex  26 m e y )  (17 m ex  23 m e y ) 


(21 ex  3e y ) m
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b)
As componentes do vetor velocidade são:
dx d
v x   (0.2t 2  5.0t  0.5)  0.4t  5.0 m/s
dt dt
dy d
v y   (1.0t 2  10t  2.0)   2.0t  10 m/s
dt dt
A velocidade em t =3 s:
dx
 6.2 m/s
dt
dy
 4.0 m/s
dt

v  (6.2 iˆ  4.0 ˆj ) m/s
Aceleração:
dvx
d

( 0.4 t  5.0)  0.4 m/s 2
dt
dt
dv y
d
 2.0 t  10    2.0 m/s 2
ay

dt
dt
ax 



a  (0.4 ex  2.0 e y ) m/s2
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O módulo da aceleração:

2
2
a  a  a x  a y  4.2  2.0 m/s 2
Ângulo do vetor aceleração:
tg  
ay
ax

 2.0
  5.0
0.4
    79 o
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