O Método de Jacobi Aplicado a Matrizes Simétricas Pós-Graduação – INPE CMC-203-0 Aluno: Carlos Felipe S. Freire Professor: Dr. Mario Ricci Maio/2006 O Método de Jacobi Aplicabilidade: Método numérico aplicado na Diagonalização de Matrizes Reais e Simétricas O Método de Jacobi Definição da Transformação de Diagonalização: A= a 11 a 12 .. .. .. .. a1 n 1 0 0 0 0 .. 0 a 21 a 22 .. .. .. .. .. 0 2 0 0 0 .. 0 .. .. .. .. .. .. .. 0 0 .. 0 0 .. 0 .. .. .. a ij .. .. .. 0 0 0 .. 0 .. 0 .. .. .. .. .. .. .. 0 0 0 0 ij .. 0 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. a n1 .. .. .. .. .. a nn 0 0 0 0 0 .. nn T-1.A.T = A’ • A – Matriz Original • T – Matriz de Transformação (composta pelos Autovetores de A) • A’ – Matriz Diagonalizada • Autovalores de A = Autovalores de A’ Matriz Simétrica a ij a ji , i j O Método de Jacobi Metodologia: O Método de Jacobi consiste em aplicar à matriz A simétrica, sucessivas rotações de tal forma a anular todos os elementos posicionados fora da diagonal principal. Desta forma, os elementos restantes na diagonal principal serão exatamente os autovalores de A. Assim sendo temos: 1 A k 1 U k 1 .U T U 1 .....U 1 k k 1. .U 1 k 1 U k .U ..... U 1 .A.U 1 1 .....U k 1. U k .U k 1 k 1 T – Matriz de Transformação composta pelos Autovetores de A O Método de Jacobi a 11 a 12 .. .. .. .. a1 n U k 1 .U k .U k 1 ..... U 1 .A.U 1 1 1 1 1 .....U k 1. U k .U k 1 1 0 0 0 0 .. 0 0 2 0 0 0 .. 0 a 21 a 22 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 0 0 .. 0 0 .. 0 .. .. .. a ij .. .. .. 0 0 0 .. 0 .. 0 .. .. .. .. .. .. .. 0 0 0 0 ij .. 0 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. a n1 .. .. .. .. .. a nn 0 0 0 0 0 .. nn Processo gradativo e convergente A k a ii i Temos que: 2 n n a k ij i 1 Somatório de todos o elementos da Matriz Ak j 1 n a 2 k ii i 1 Somatório de todos o elementos da diagonal Principal da Matriz Ak Assim, para a Matriz Ak não nula temos: n n a k ij i 1 j 1 2 n a k ii i 1 2 0 lim k A k diag ( 1 , 2 ,.... n ) O Método de Jacobi a 11 a 12 .. .. .. .. a1 n U k 1 .U k .U k 1 ..... U 1 .A.U 1 1 1 1 1 .....U k 1. U k .U k 1 1 0 0 0 0 .. 0 0 2 0 0 0 .. 0 a 21 a 22 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 0 0 .. 0 0 .. 0 .. .. .. a ij .. .. .. 0 0 0 .. 0 .. 0 .. .. .. .. .. .. .. 0 0 0 0 ij .. 0 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. a n1 .. .. .. .. .. a nn 0 0 0 0 0 .. nn Processo gradativo e convergente Critério de Convergência: 2 2 n a a n i 1 k 1 ii k ii i 1 O Método de Jacobi Definindo a Matriz U k 1 : Se considerarmos a matriz exceto que: U k 1 Linha i - coluna i = cos coluna j = sin Linha j - coluna i = sin coluna j = -cos como sendo a Matriz Identidade, U k 1 = i j 1 0 0 0 0 .. 0 0 1 0 0 0 .. 0 0 0 cos 0 sin .. 0 0 0 0 .. 0 .. 0 0 0 sin 0 cos .. 0 .. .. .. .. .. .. .. 0 0 0 0 0 .. 1 Nota-se que : U k 1 U k 1 1 i j O Método de Jacobi Definindo o valor de : A operação de pré-multiplicar e pós-multiplicar Ak por Uk+1 não irá afetar os valores dos elementos desta matriz, a menos daqueles posicionados nas linhas i e j e nas nas colunas i e j. k 1 a ij Observando apenas os valores de: k 1 , a ii k 1) , a jj Após as multiplicações de Ak por Uk+1 temos: k 1 a ii cos a jj sin 2 .a ij sin . cos k 1 a ii sin a jj cos 2 .a ij sin . cos k 1 a ii a jj . sin . cos a ij a ii a jj a ij k 2 k 2 k k k 2 k 2 k k k cos 2 . sin 2 O Método de Jacobi Definindo o valor de : k 1 a ij Fazendo: 0 Temos: k 1 a ii k 1 a jj k a ii k a ii 1 cos 2 2 1 cos 2 2 k a jj k a jj 1 cos 2 2 1 cos 2 2 k a ij sin 2 k a ij sin 2 O Método de Jacobi Definindo o valor de : Manipulando as expressões anteriores temos: tan 2 2 a ij / a ii a jj , k k tan 2 Fazendo: Temos: k sin 4 q a ii a jj p q 2 . cos . p q 1 q / 2 1 @: a k a k ii jj 4 p p 2 cos 2 p q 2 2 2 .a ij . q a ii a jj O Método de Jacobi n n, Kmax,A, 1,2, 3 Begin TI cos 2 sin 1 V F 2 F cos sin p a ij 2 1 1 2 V q p q 2 2 2 . cos . UI a ii a ij p q 2 ij i =1, 2,…n-1 j =i+1, i+2,…n # n a 2 2 ii i =1, 2,…n i 1 T T.U 1 A U .A.U 2 a 2 .a ii .q 1 p K=1,2,…Kmax n i 1 j 1 q a ii a jj q 1 2 ii i 1 n S 1 a 1 2 F k , 2 , S , n, u ii cos , u ij sin 1 , 2 ,..... n , u ji sin , u jj cos A, T 1 2 3 V K , 1, 2 i a ii # 1 2 # O Método de Jacobi BIBLIOGRAFIA: Applied Numerical Methods Brice Carnahan H.A.Luther James O. Wilkes
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