O Método de Jacobi Aplicado a Matrizes
Simétricas
Pós-Graduação – INPE
CMC-203-0
Aluno: Carlos Felipe S. Freire
Professor: Dr. Mario Ricci
Maio/2006
O Método de Jacobi
Aplicabilidade:
Método numérico aplicado na Diagonalização
de Matrizes Reais e Simétricas
O Método de Jacobi
Definição da Transformação de Diagonalização:
A=
a 11
a 12
..
..
..
..
a1 n
1
0
0
0
0
..
0
a 21
a 22
..
..
..
..
..
0
2
0
0
0
..
0
..
..
..
..
..
..
..
0
0
..
0
0
..
0
..
..
..
a ij
..
..
..
0
0
0
..
0
..
0
..
..
..
..
..
..
..
0
0
0
0
 ij
..
0
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
a n1
..
..
..
..
..
a nn
0
0
0
0
0
..
 nn
T-1.A.T
= A’
• A – Matriz Original
• T – Matriz de Transformação (composta pelos Autovetores de A)
• A’ – Matriz Diagonalizada
• Autovalores de A = Autovalores de A’
Matriz Simétrica
a ij  a ji ,  i  j
O Método de Jacobi
Metodologia:
O Método de Jacobi consiste em aplicar à matriz A simétrica,
sucessivas rotações de tal forma a anular todos os elementos
posicionados fora da diagonal principal. Desta forma, os elementos
restantes na diagonal principal serão exatamente os autovalores de A.
Assim sendo temos:
1
A k  1  U k  1 .U
T  U 1 .....U
1
k
k  1.
.U
1
k 1
U k .U
..... U 1 .A.U
1
1
.....U
k  1.
U k .U
k 1
k 1
T – Matriz de Transformação composta pelos Autovetores de A
O Método de Jacobi
a 11
a 12
..
..
..
..
a1 n
U k  1 .U k .U k 1 ..... U 1 .A.U
1
1
1
1
1
.....U
k 1.
U k .U k  1
1
 0
 0
 0
 0
..
 0
 0
2
 0
 0
 0
..
 0
a 21
a 22
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
 0
 0
..
 0
 0
..
 0
..
..
..
a ij
..
..
..
 0
 0
 0
..
 0
..
 0
..
..
..
..
..
..
..
 0
 0
 0
 0
 ij
..
 0
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
a n1
..
..
..
..
..
a nn
 0
 0
 0
 0
 0
..
 nn
Processo gradativo e convergente
A k  a ii   i
Temos que:
2
n
n
  a 
k
ij
i 1
 Somatório de todos o elementos da Matriz Ak
j 1
n
 a 
2

k
ii
i 1
Somatório de todos o elementos da diagonal Principal da
Matriz Ak
Assim, para a Matriz Ak não nula temos:
n
n
  a 
k
ij
i 1
j 1
2
n

 a 
k
ii
i 1
2
 0  lim
k
A k  diag (  1 ,  2 ,....  n )
O Método de Jacobi
a 11
a 12
..
..
..
..
a1 n
U k  1 .U k .U k 1 ..... U 1 .A.U
1
1
1
1
1
.....U
k 1.
U k .U k  1
1
 0
 0
 0
 0
..
 0
 0
2
 0
 0
 0
..
 0
a 21
a 22
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
 0
 0
..
 0
 0
..
 0
..
..
..
a ij
..
..
..
 0
 0
 0
..
 0
..
 0
..
..
..
..
..
..
..
 0
 0
 0
 0
 ij
..
 0
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
a n1
..
..
..
..
..
a nn
 0
 0
 0
 0
 0
..
 nn
Processo gradativo e convergente
Critério de Convergência:
2
2
n
 a    a 
n
i 1
k 1
ii
k
ii
i 1
O Método de Jacobi
Definindo a Matriz U k  1 :
Se considerarmos a matriz
exceto que:
U k 1
Linha i - coluna i = cos
coluna j = sin
Linha j - coluna i = sin
coluna j = -cos
como sendo a Matriz Identidade,
U k 1 =
i
j
1
0
0
0
0
..
0
0
1
0
0
0
..
0
0
0
cos 
0
sin 
..
0
0
0
0
..
0
..
0
0
0
sin 
0
 cos 
..
0
..
..
..
..
..
..
..
0
0
0
0
0
..
1
Nota-se que : U k  1  U k 1 1
i
j
O Método de Jacobi
Definindo o valor de  :
A operação de pré-multiplicar e pós-multiplicar Ak por Uk+1
não irá afetar os valores dos elementos desta matriz, a menos
daqueles posicionados nas linhas i e j e nas nas colunas i e j.
 k 1 
a ij
Observando apenas os valores de:
 k 1 
, a ii
 k 1) 
, a jj
Após as multiplicações de Ak por Uk+1 temos:
 k 1 
 a ii cos   a jj sin   2 .a ij sin  . cos 
 k 1 
 a ii sin   a jj cos   2 .a ij sin  . cos 
 k 1 
 a ii  a jj . sin  . cos   a ij
a ii
a jj
a ij

k 
2
k 
2
k 
k 

k 
2
k 
2
k 
k 
k 
cos
2
 . sin  
2
O Método de Jacobi
Definindo o valor de  :
 k 1 
a ij
Fazendo:
0
Temos:
 k 1 
a ii
 k 1 
a jj
k 
 a ii
k 
 a ii
1  cos 2
2
1  cos 2
2
k 
 a jj
k 
 a jj
1  cos 2
2
1  cos 2
2
k 
 a ij sin 2
k 
 a ij sin 2
O Método de Jacobi
Definindo o valor de  :
Manipulando as expressões anteriores temos:



tan 2  2 a ij / a ii  a jj ,  
k
k
tan 2 
Fazendo:
Temos:
k
sin  

4
q  a ii  a jj
p
q
2 . cos  . p  q

1 q /
2
1
@: a k  a k
ii
jj
4
p
p
2
cos  
 
2
p q
2
2

2 .a ij . q 
a ii  a jj
O Método de Jacobi
n
n, Kmax,A,
1,2, 3
Begin
TI
cos  
2
sin  
1
V
F
2
F
cos  
sin  
p 
a ij   2
1 
1
2

V




q
p q
2
2
2 . cos  .
UI
a ii  a ij
p q
2
ij
i =1, 2,…n-1
j =i+1, i+2,…n
#
n
a
2 
2
ii
i =1, 2,…n
i 1
T  T.U
1
A  U .A.U
2
a
2 .a ii .q
1
p
K=1,2,…Kmax
n
i 1 j 1
q  a ii  a jj
q  1
2
ii
i 1
n
S 
1
a
1 
2
F
k , 2 , S , n,
u ii  cos  , u ij  sin 
 1 ,  2 ,.....  n ,
u ji  sin  , u jj  cos 
A, T
1
2
 3
V
K , 1, 2
 i  a ii
#
1   2
#
O Método de Jacobi
BIBLIOGRAFIA:
Applied Numerical Methods
Brice Carnahan
H.A.Luther
James O. Wilkes