5. Função de uma Variável Aleatória
Seja X uma v.a. definida sobre o modelo (, F , P), e g(X) uma
função da variável aleatória X. A quantidade obtida pelo mapeamento
da v.a. X por uma função Y  g (X ) é ainda uma variável aleatória.
Então qual é a PDF e a p.d.f. de Y, FY ( y) e fY ( y) ?
P(Y  B)  P( X  g 1( B)).


FY ( y)  P(Y  y)  Pg ( X )  y   P X  g 1 (, y] .
y
aX  b
X2
X nis
1
X
log X
Y  g( X )
|X |
X
eX
| X | U ( x)
1
Exemplo 5.1: Seja X uma v.a. com FDP FX (x) e f.d.p. f X (x)
Determine a FY ( y) e fY ( y)
se Y  aX  b
Se a  0.
y b 

 y b 
FY ( y)  PY  y   PaX  b  y   P X 
  FX 
.
a 

 a 
1  y b
fY ( y )  f X 
.
a  a 
Se
a  0,
y b

FY ( y )  PY ( )  y   PaX ( )  b  y   P X ( ) 

a 

 y b
1  y b
 1  FX 
,
fY ( y )   f X 
.
a


a  a 
fY ( y ) 
1
 y b
fX 
.
|a |  a 
2

Y X .
Exemplo 5.2:
Se y  0, então o evento
X
2
Se y  0, da figura, o evento

 y  ,
e portanto FY ( y)  0, y  0.
{Y  y}  {X 2  y}
é equivalente a
{x1  X ( )  x2 }.
então
Y  X2
y
FY ( y )  Px1  X  x2   FX ( x2 )  FX ( x1 )
 FX ( y )  FX ( y ),
Diferenciando, obtém-se
y  0.
x1


 1
f X ( y )  f X ( y ) ,

fY ( y)   2 y

0,

Se X é uma v.a. gaussiana com f.d.p. f X ( x ) 
fY ( y ) 

FY ( y)  PY  y   P X 2  y .
2
1
e  y / 2U ( y ).
2y
X
x2
y  0,
outrosvalores.
1
 x2 / 2
e
, Então
2
(v.a. Chi-square com n = 1)
3
 X  c,

Y  g ( X )   0,
 X  c,

X  c,
Exemplo 5.3: seja
g (X )
 c  X  c,
X   c.
c
X
c
Neste caso tem-se
Para y = 0
Para
P(Y  0)  P(c  X  c)  FX (c)  FX (c).
y  0, tem-se
x  c, e
Y  X  c então
FY ( y)  PY  y   P( X  c  y)  P X  y  c   FX ( y  c),
Para y  0, tem-se x  c, e
Y ( )  X  c
y  0.
então
FY ( y)  PY  y   P( X  c  y)  P X  y  c   FX ( y  c),
y  0.
Diferenciando:
 f X ( y  c),
fY ( y )  
 f X ( y  c),
y  0,
FX (x)
FY (x)
y  0.
x
(b)
(c)
y
4
Exemplo 5.4: Retificador de meia onda
 x, x  0,
Y  g ( X ); g ( x)  
0, x  0.
Para y = 0,
X
P(Y  0)  P( X  0)  FX (0).
Se y  0, então
Assim
Y
Y  X,
FY ( y)  PY  y   P X  y   FX ( y).
Diferenciando:
 f X ( y ),
fY ( y )  
 0,
y  0,
y  0,
 f X ( y )U ( y ).
Procedimento geral: Dado Y  g ( X ), esboça-se o gráfico de y=g(x)
e determina-se os intervalos de variação de y, por exemplo a  y  b.
Calcula-se então a FDP e a f.d.p. da v.a. X para os intervalos.
y  a,
a  y  b,
y  b,
FY ( y)  0
FY ( y)  Pg ( X )  y ,
FY ( y)  1,
fY ( y) 
dFY ( y )
,
dy
 a  y  b.
5
Se Y  g ( X ) é uma função contínua é fácil estabelecer um procedimento direto para obter fY (y), visto que, se g (x ) é diferente de zero
para um número finito de pontos, então g(x) apresenta um número
finito de máximos e mínimos, e eventualmente torna-se monotônica
quando | x | .
Considere um ponto genérico y sobre o eixo y e um incremento y
como mostrado na figura.
g (x )
y  y
y
x1 x1  x1
x2  x2 x2
Como determinar
Calcula-se, então
fY ( y)
x3 x3  x3
x
para Y  g ( X ), se g () é contínua ?
Py  Y  y  y 

y  y
y
fY (u)du  fY ( y)  y.
6
Mas o evento y  Y  y  y pode ser expresso em termos de X.
Para isso deve observar que a equação y=g(x) tem 3 soluções: x1, x2 , x3
Dessa forma quando y  Y  y  y, a variável aleatória X poderia
assumir qualquer um dos três eventos mutuamente exclusivos.
{x1  X  x1  x1}, {x2  x2  X  x2 } or {x3  X  x3  x3} .
Então a probabilidade do evento y  Y
 y  y,
é igual a:
Py  Y  y  y  P{x1  X  x1  x1}
 P{x 2  x2  X  x2 }  P{x3  X  x3  x3 } .
Dado que y e xi , são pequenos pode-se fazer a aproximação:
f Y ( y)y  f X ( x1 )x1  f X ( x2 )(x2 )  f X ( x3 )x3 ,
| xi |
1
fY ( y )   f X ( xi )

f X ( xi )
y
i
i y / xi
fY ( y )  
i
1
f X ( xi ) 
dy / dx x
i

i
x1  0, x2  0, x3  0,
y  0,
1
f X ( xi ).
g ( xi )
7
Exemplo: Se Y  X 2 ,então para todo y  0, x1   y e x2   y
representam as duas soluções para cada y. Note que a solução é somente
função de y . Solução. Observando a figura:
2
y  0,
x1   y ,
dy
 2 x então
dx
YX
y
x2   y .
dy
2 y
dx x xi
x1
Fig. 5.5
X
x2
fY ( y )  0
 1
f X ( y )  f X ( y ) ,
y  0,

fY ( y )   2 y

0,
outrosvalores.

y  0,


8
Exemplo 5.5: Dado que Y  1 , e que X é uma v.a. com f.d.p f X (x),
X
Encontre fY ( y ).
Solução: Para qualquer y, x1  1 / y é solução única e,
dy
1
 2
dx
x
então,
dy
1
2


y
,
2
dx x x1 1 / y
fY ( y ) 
1
1
f
.
X
2

y
 y
Em particular, se X é uma v.a. com distribuição de Cauchy com
parâmetro  , isto é:
 /
f X ( x)  2
,    x   .
2
 x
A a f.d.p da v.a.Y  1 / X , pode ser escrita como:
fY ( y ) 
1
 /
(1 /  ) / 

,
2
2
2
2
2
y   (1 / y )
(1 /  )  y
   y  .
Que representa uma v.a. de Cauchy com parâmetro 1 /  .
9
Exemplo 5.6: Suponha que f X ( x)  2 x /  2 , 0  x   ,e que Y  sen X .
Determine fY ( y ).
Solução: Como X tem probabilidade zero de estar fora do intervalo
(0, ), y  sin x tem, também, probabilidade zero ser ser encontrado
fora do intervalo (0,1). Certamente fY ( y )  0 fora deste intervalo.
Para qualquer 0  y  1, a equação y  sin x tem um número infinito
de soluções , x1, x2 , x3 ,, onde x1  sin1 y é a solução principal.
Usando a simetria x2    x1
f ( x)
X
dy
 cos x  1  sin 2 x  1  y 2
dx
(a)
dy
 1  y2 .
dx x xi
fY ( y ) 

i  
x
y
x1
x1
x2

x
x3
(b)
1
1 y

y  sin x
Portanto para 0  y  1,

x3
2
f X ( xi ).
10
Agora para o caso em que f X ( x)  2 x /  2 , 0  x   , apenas duas
soluções interessam, como pode ser visto na figura anterior. Então
exceto para f X ( x1 ) e f X ( x2 )
f ( y)
Y
f X ( x1 )  f X ( x3 )  f X ( x4 )    0
fY ( y ) 
1
1 y
2
 f X ( x1 ) 
 2 x1 2 x2 
 2  2 
2
 
1 y  
f X ( x2 )  
1
2

,
2( x1    x1 ) 
2

  1  y
2
2
 1 y

0,

ot herwise.
| dy / dx |x  x1
f X ( x1 ) 
y
1
y  tan x
 /2
1 y
,
x
f X (x)
x1  tan y
2
y
x1  / 2
1
dy d tan x

 sec 2 x  1  tan 2 x  1  y 2
dx dx
1
1/ 
fY ( y ) 

0  y  1,
Exemplo 5.7: Seja Y  tan X onde X é uma v.a.
uniformemente distribuída em   / 2,  / 2 ..
Determine fY ( y ). Solução:
2
 /2
 /2
fY ( y ) 
   y  ,
x
1
1  y2
y
11
Funções de variáveis aleatórias discretas
Suponha que X é uma v.a. discreta, com P( X  xi )  pi , x  x1, x2 ,, xi ,
e
Y  g ( X ). Y é ainda uma v.a. do tipo discreta, de modo que se
x  xi , yi  g ( xi ), e
P(Y  yi )  P( X  xi )  pi , y  y1, y2 ,, yi ,
Exemple 5.8: Suponha que tem uma distribuição
de Poisson, então
yi
P( X  k )  e

k
k!
, k  0,1,2,
Se Y  X  1. Determine a f.d.p. da v.a. Y.
Solução: X toma valores 0,1,2,, k , , tal que Y assume
somente os valores 1,3,, k 2  1, então
2
P(Y  k 2  1)  P( X  k )

j  k2 1

j 1

P(Y  j )  P X  j  1  e
, j  1,3,, k 2  1,.
( j  1)!
12