5. Função de uma Variável Aleatória Seja X uma v.a. definida sobre o modelo (, F , P), e g(X) uma função da variável aleatória X. A quantidade obtida pelo mapeamento da v.a. X por uma função Y g (X ) é ainda uma variável aleatória. Então qual é a PDF e a p.d.f. de Y, FY ( y) e fY ( y) ? P(Y B) P( X g 1( B)). FY ( y) P(Y y) Pg ( X ) y P X g 1 (, y] . y aX b X2 X nis 1 X log X Y g( X ) |X | X eX | X | U ( x) 1 Exemplo 5.1: Seja X uma v.a. com FDP FX (x) e f.d.p. f X (x) Determine a FY ( y) e fY ( y) se Y aX b Se a 0. y b y b FY ( y) PY y PaX b y P X FX . a a 1 y b fY ( y ) f X . a a Se a 0, y b FY ( y ) PY ( ) y PaX ( ) b y P X ( ) a y b 1 y b 1 FX , fY ( y ) f X . a a a fY ( y ) 1 y b fX . |a | a 2 Y X . Exemplo 5.2: Se y 0, então o evento X 2 Se y 0, da figura, o evento y , e portanto FY ( y) 0, y 0. {Y y} {X 2 y} é equivalente a {x1 X ( ) x2 }. então Y X2 y FY ( y ) Px1 X x2 FX ( x2 ) FX ( x1 ) FX ( y ) FX ( y ), Diferenciando, obtém-se y 0. x1 1 f X ( y ) f X ( y ) , fY ( y) 2 y 0, Se X é uma v.a. gaussiana com f.d.p. f X ( x ) fY ( y ) FY ( y) PY y P X 2 y . 2 1 e y / 2U ( y ). 2y X x2 y 0, outrosvalores. 1 x2 / 2 e , Então 2 (v.a. Chi-square com n = 1) 3 X c, Y g ( X ) 0, X c, X c, Exemplo 5.3: seja g (X ) c X c, X c. c X c Neste caso tem-se Para y = 0 Para P(Y 0) P(c X c) FX (c) FX (c). y 0, tem-se x c, e Y X c então FY ( y) PY y P( X c y) P X y c FX ( y c), Para y 0, tem-se x c, e Y ( ) X c y 0. então FY ( y) PY y P( X c y) P X y c FX ( y c), y 0. Diferenciando: f X ( y c), fY ( y ) f X ( y c), y 0, FX (x) FY (x) y 0. x (b) (c) y 4 Exemplo 5.4: Retificador de meia onda x, x 0, Y g ( X ); g ( x) 0, x 0. Para y = 0, X P(Y 0) P( X 0) FX (0). Se y 0, então Assim Y Y X, FY ( y) PY y P X y FX ( y). Diferenciando: f X ( y ), fY ( y ) 0, y 0, y 0, f X ( y )U ( y ). Procedimento geral: Dado Y g ( X ), esboça-se o gráfico de y=g(x) e determina-se os intervalos de variação de y, por exemplo a y b. Calcula-se então a FDP e a f.d.p. da v.a. X para os intervalos. y a, a y b, y b, FY ( y) 0 FY ( y) Pg ( X ) y , FY ( y) 1, fY ( y) dFY ( y ) , dy a y b. 5 Se Y g ( X ) é uma função contínua é fácil estabelecer um procedimento direto para obter fY (y), visto que, se g (x ) é diferente de zero para um número finito de pontos, então g(x) apresenta um número finito de máximos e mínimos, e eventualmente torna-se monotônica quando | x | . Considere um ponto genérico y sobre o eixo y e um incremento y como mostrado na figura. g (x ) y y y x1 x1 x1 x2 x2 x2 Como determinar Calcula-se, então fY ( y) x3 x3 x3 x para Y g ( X ), se g () é contínua ? Py Y y y y y y fY (u)du fY ( y) y. 6 Mas o evento y Y y y pode ser expresso em termos de X. Para isso deve observar que a equação y=g(x) tem 3 soluções: x1, x2 , x3 Dessa forma quando y Y y y, a variável aleatória X poderia assumir qualquer um dos três eventos mutuamente exclusivos. {x1 X x1 x1}, {x2 x2 X x2 } or {x3 X x3 x3} . Então a probabilidade do evento y Y y y, é igual a: Py Y y y P{x1 X x1 x1} P{x 2 x2 X x2 } P{x3 X x3 x3 } . Dado que y e xi , são pequenos pode-se fazer a aproximação: f Y ( y)y f X ( x1 )x1 f X ( x2 )(x2 ) f X ( x3 )x3 , | xi | 1 fY ( y ) f X ( xi ) f X ( xi ) y i i y / xi fY ( y ) i 1 f X ( xi ) dy / dx x i i x1 0, x2 0, x3 0, y 0, 1 f X ( xi ). g ( xi ) 7 Exemplo: Se Y X 2 ,então para todo y 0, x1 y e x2 y representam as duas soluções para cada y. Note que a solução é somente função de y . Solução. Observando a figura: 2 y 0, x1 y , dy 2 x então dx YX y x2 y . dy 2 y dx x xi x1 Fig. 5.5 X x2 fY ( y ) 0 1 f X ( y ) f X ( y ) , y 0, fY ( y ) 2 y 0, outrosvalores. y 0, 8 Exemplo 5.5: Dado que Y 1 , e que X é uma v.a. com f.d.p f X (x), X Encontre fY ( y ). Solução: Para qualquer y, x1 1 / y é solução única e, dy 1 2 dx x então, dy 1 2 y , 2 dx x x1 1 / y fY ( y ) 1 1 f . X 2 y y Em particular, se X é uma v.a. com distribuição de Cauchy com parâmetro , isto é: / f X ( x) 2 , x . 2 x A a f.d.p da v.a.Y 1 / X , pode ser escrita como: fY ( y ) 1 / (1 / ) / , 2 2 2 2 2 y (1 / y ) (1 / ) y y . Que representa uma v.a. de Cauchy com parâmetro 1 / . 9 Exemplo 5.6: Suponha que f X ( x) 2 x / 2 , 0 x ,e que Y sen X . Determine fY ( y ). Solução: Como X tem probabilidade zero de estar fora do intervalo (0, ), y sin x tem, também, probabilidade zero ser ser encontrado fora do intervalo (0,1). Certamente fY ( y ) 0 fora deste intervalo. Para qualquer 0 y 1, a equação y sin x tem um número infinito de soluções , x1, x2 , x3 ,, onde x1 sin1 y é a solução principal. Usando a simetria x2 x1 f ( x) X dy cos x 1 sin 2 x 1 y 2 dx (a) dy 1 y2 . dx x xi fY ( y ) i x y x1 x1 x2 x x3 (b) 1 1 y y sin x Portanto para 0 y 1, x3 2 f X ( xi ). 10 Agora para o caso em que f X ( x) 2 x / 2 , 0 x , apenas duas soluções interessam, como pode ser visto na figura anterior. Então exceto para f X ( x1 ) e f X ( x2 ) f ( y) Y f X ( x1 ) f X ( x3 ) f X ( x4 ) 0 fY ( y ) 1 1 y 2 f X ( x1 ) 2 x1 2 x2 2 2 2 1 y f X ( x2 ) 1 2 , 2( x1 x1 ) 2 1 y 2 2 1 y 0, ot herwise. | dy / dx |x x1 f X ( x1 ) y 1 y tan x /2 1 y , x f X (x) x1 tan y 2 y x1 / 2 1 dy d tan x sec 2 x 1 tan 2 x 1 y 2 dx dx 1 1/ fY ( y ) 0 y 1, Exemplo 5.7: Seja Y tan X onde X é uma v.a. uniformemente distribuída em / 2, / 2 .. Determine fY ( y ). Solução: 2 /2 /2 fY ( y ) y , x 1 1 y2 y 11 Funções de variáveis aleatórias discretas Suponha que X é uma v.a. discreta, com P( X xi ) pi , x x1, x2 ,, xi , e Y g ( X ). Y é ainda uma v.a. do tipo discreta, de modo que se x xi , yi g ( xi ), e P(Y yi ) P( X xi ) pi , y y1, y2 ,, yi , Exemple 5.8: Suponha que tem uma distribuição de Poisson, então yi P( X k ) e k k! , k 0,1,2, Se Y X 1. Determine a f.d.p. da v.a. Y. Solução: X toma valores 0,1,2,, k , , tal que Y assume somente os valores 1,3,, k 2 1, então 2 P(Y k 2 1) P( X k ) j k2 1 j 1 P(Y j ) P X j 1 e , j 1,3,, k 2 1,. ( j 1)! 12