1.2 Movimento em duas dimensões
Anteriormente estudamos uma partícula que se desloca em linha recta
Agora estudaremos o movimento de uma partícula no plano xy
A trajectória é o lugar geométrico dos pontos do espaço ocupados pelo corpo (planeta,
cometa, foguete, carro, etc.) que se movimenta
Qualquer ponto da trajectória pode ser descrito pelo vector posição. É definido em
termos de coordenadas cartesianas por



r  xex  ye y
y
P
Trajectória s

ey 
ex

r
A posição da partícula P na trajectória é descrita
pelo vector posição

r
x
1
Vector deslocamento

r
Quando uma partícula se desloca do ponto A para o ponto B no intervalo
de tempo
t  t f  t i
o vector posição passa de

ri
para

rf
y

ey 
ex
A partícula se deslocou de

rf
B

r
A

ri
x
  
r  rf  ri
2
Semelhante ao caso unidimensional
Velocidade média


r x  y 
vm 

ex 
ey
t t
t



vm  vm x ex  vmy e y
ou
Velocidade instantânea



r dr dx  dy 
v  lim

 ex  e y
t 0
t dt dt
dt

v v
ou



v  v x ex  v y e y
é a velocidade escalar
3
Aceleração média


v m
v x  v y 
am 

ex 
ey
t
t
t
ou



am  am x ex  amy e y
Aceleração instantânea

dv y
 dv
dvx 
a

ex 
e y
dt
dt
dt
ou
ou

2 
 dv
d r
a

dt
dt 2



a  a x ex  a y e y
a aceleração resulta de qualquer variação do vector velocidade
quer seja do módulo, da direcção ou do sentido de

v
4
MOVIMENTO DE UM PROJÉCTIL
A bola faz uma trajectória
curva
Para analisar este movimento consideraremos que
• a aceleração g é constante durante o intervalo do movimento e direccionada para
baixo
• o efeito da resistência do ar é desprezável
Com estas suposições a trajectória do projéctil é sempre uma parábola
5
Fotografia estroboscópica de bolas de ping-pong
A fotografia estroboscópica
regista
a
trajectória
de
objectos em movimento
A Figura mostra que a trajectória
da bola é uma parábola
6

v0
Analisamos o movimento
dimensões separadamente
em
cada
uma
das
Componentes da velocidade inicial

v0

ey



v0  v0 xex  v0 y ey
cos 0 
0

ex
v0 x
v0
sin 0 
As componentes iniciais
são
v0 x  v0 cos 0
v0 y
v0
x e y da velocidade
v0 y  v0 sin 0
7
Fotografia estroboscópica de duas esferas largadas simultaneamente
As duas esferas são jogadas sob
a acção da gravidade
A esfera rosa é solta  v0y = 0
(queda livre)
A esfera amarela tem velocidade
inicial horizontal v0x
A cada instante as esferas têm a
mesma altura
As duas esferas chegam ao
mesmo tempo no solo
8
Diagrama do movimento de um projéctil
Movimento uniformemente variado
Movimento rectilíneo uniforme
9
EQUAÇÕES DE MOVIMENTO DO PROJÉCTIL
Movimento rectilíneo uniforme na horizontal
Componente horizontal da velocidade
v x  v0 x  v0 cos 0  constante
Componente horizontal da posição
x  x0 x  v0 x t  x0 x  v0 cos 0 t
Movimento uniformemente variado na vertical
Componente vertical da velocidade
Componente vertical da posição
v y  voy  gt  v0 sin 0  gt
y  y0  v0 y t 
1 2
1
gt  y0  v0 sin 0t  gt 2
2
2
10
Alcance e altura máxima dum projéctil
ALTURA MÁXIMA
v0 y  0
O tempo para atingir a altura máxima
h (quando v y  0) :

v0
v y  v0 y  gt  v0 sen  0  gt
0  v0 y  gt  v0 sen  0  gt
v0 y v0 sin  0
th 

g
g
0
Substituindo th em
1 2
y  y0  v0 sin  0t  gt
2
obtemos
1 2 v0 sin  0 
h  v0 sin  0t h  gt h 
2
2g
2

v02 sin 2  0
h
2g
11
ALCANCE
v0 y  0

v0
R é o alcance - distância horizontal
percorrida pela partícula até chegar à
altura inicial
O movimento é simétrico 
a partícula
leva um tempo th para subir e o mesmo
tempo th para cair ao mesmo nível
Portanto o tempo para percorrer R é
t  2th  2 v0 sin  0
g
0
x  x0 x  v0 x t  x0 x  v0 cos 0 t
R  v0 x (2th )  v0cos0 (2th )
 2v0 sin  0 

R  v0 cos  0 
g



v02 sin 20
R
g
Um projéctil lançado da origem com uma velocidade escalar inicial de
para vários ângulos  0
50 m/s
Alcance máximo Rmáx
R
v2
0
g
sin 2 0
sin 20 é máximo quando for  1
O que acontece quando
 0  45 o
20   / 2
Rmax 
v 20
g
Os ângulos complementares (somam 90 graus) dão origem ao mesmo valor de R
13
Exemplo 11. Um canhão atira esferas com velocidade v0 = 100 m/s. a) Determine o
alcance máximo da esfera. b) Mostre que existem dois ângulos possíveis para atingir um
alvo à uma distância d = 800 m, menor que a distância máxima.
a) Determine o alcance máximo da esfera
2
v0
(100 m/s) 2

 1020 m
Rmax=
2
g
9.8 m/s
b) Mostre que existem dois ângulos possíveis para atingir um alvo à uma distância d =
800 m, menor que a distância máxima
R
v sin 2 0
g
2
0
2
, mas
v0
 RMáx
g
assim
sin 2 0 
R
800 m

 0.784
RMáx 1020m
sin2 01  52o   01  26o
e o ângulo complementar
 02  90o -26o  64o
. Substituindo, fica
R  RMáx sin2 0