MÉTRICA EM ESPAÇOS DE CURVATURA CONSTANTE •métrica de uma projeção estereográfica sobre um plano P1 R P2 P1 P2 (projetado sobre o plano) r’ (r’,) transformação de coordenadas: r , 2 R cot g 2 esféricas: ds2=R2d2+R2sin2d2 ds 2 1 r 1 4 R 2 ,2 2 dr ,2 r , 2 d 2 1. perímetro de um círculo geodésico r’ é fixo dr’→0 r , d ds r ,2 1 4R2 r, 2 r , C ds d r ,2 r,2 1 4 R2 2 1 4 R 2 0 2. área de um círculo geodésico dA g r , r , g dr d , r, ,2 r, r , A d dr r,2 r,2 1 4 R2 2 0 1 4 R2 0 Como para uma superfície esférica: ds2 1 r ,2 1 4 2 dr ,2 1 2 R r , 2 d 2 métrica de um plano em coordenadas polares deformação que uma esfera deve sofrer para tranformar-se num plano ou vice-versa. ds2 1 r 1 4 ,2 2 dr ,2 r , 2 d 2 reescrevendo x1=r’cos x2=r’sin 1 2 2 ds [ dx dx 1 2] 2 2 2 [1 4 ( x1 x2 )] 2 Métrica válida para superfície de curvatura constante de qualquer sinal Forma generalizada a um no de dimensões n 1 2 2 2 ds [ dx dx ... dx 1 2 n] 2 2 2 2 [1 4 ( x1 x2 ... xn )] 2 Métricas 3D para espaço de Ҝ constante Em coordenadas esféricas : x1=r sin cos x2=r sin sin x3=r cos 1 ds [1 K r x1 2 x3 x2 2 2 2 2 2 2 [ dr r sin d r d ] r2 2 4 ] Forma + comum da métrica na cosmologia : 2 da 2 2 2 2 ds2 a (sin d d ) 2 1 Ka Nota: a não é o raio próprio. a r r2 1 K 4 Ex. caso 2D Coordenadas (a,) r 2 da 2 2 ds2 a d 1 a 2 a R r = raio próprio medido sobre a superfície voltando a superfície 3D... Cálculo do raio próprio 2 da ds2 a 2 (sin2 d 2 d 2 ) 2 1 Ka Fixando os ângulos e : a, r ds 0 da 1 Ka 2 ds da 1 Ka 2 APLICAÇÃO : HIPER-ESFERA Definição: espaços de curvatura positiva e constante 2 da 2 2 2 2 ds2 a (sin d d ) 2 1 Ka a •raio próprio de uma esfera geodésica r 0 com K > 0 e constante da 1 arcsin( a ) 1 Ka 2 • área (de uma esfera de raio a dentro deste espaço) 2 0 0 dA gaa g g da d d a 2 d sin d 4a 2 a( r ) 1 sin( r ) A área de uma esfera de raio próprio espaço de Ҝ > 0 e constante: r imersa em um 4 A( r ) sin2 ( r ) •r cresce: • quando área máxima quando r r Amin 0 1 2 Amax 4 O volume de uma esfera de raio a dentro de um espaço Ҝ > 0 e constante para uma métrica ortogonal : dV g11 g22 g33 dx1dx2dx3 2 a V d sind 0 0 0 a 2da 1 a 2 4 2 arcsin( a ) a 1 a 3/ 2 Vmáx volume engloba todo o espaço de Ҝ > 0 e constante: Vmax volume finito ! 2 2 3/ 2 espaço de Ҝ > 0 e constante é finito mas sem bordas... Entretanto... Espaço de Ҝ 0 e constante são infinitos Ex.: uma esfera de volume V(a) dentro de um espaço de curvatura negativa V (a ) 2 a 0 0 0 d si nd 2 3/ 2 a Quando a→∞ V(a) →∞ a2 1 a2 1 a2 ln( a 1 a2 ) Espaços deste tipo são ditos espaços infinitos Se Ҝ=0 , o volume de uma esfera em um espaço euclidiano é: V(a)=(4/3)a3 Tb quando a→∞ V(a) →∞ Espaços Riemannianos Definição: sempre que ds2 for representado por uma forma diferencial qualdrática MÉTRICA RIEMANNIANA Ex. para uma superfície ds 2 2 2 2 g dx dx Adx Bdx dx Cdx 1 1 2 2 , 1 A, B e C f ( x1 , x 2 ) Característica importante: métrica riemanniana é localmente euclidiana !! Demonstração: nas viz. De um ponto P0, A0, B0 e C0 são números: ds2 A0 dx12 B0 dx1dx2 C 0 dx22 2 B B0 2 0 dx2 A0 dx1 dx2 C 0 4 A 2 A 0 0 Fazendo: x1, A0 x1 B0 x2 2 A0 2 B x 2, C 0 0 2 A0 ds2=dx’1+dx’2 1/ 2 x2 Nas viz. De ponto sobre uma superfície Riemanniana a métrica pode ser aproximada como uma métrica euclidiana Através de medidas de ângulos, perímetros ou áreas sobre uma dada superfície podemos medir a Ҝ Ir até as galáxias mais distantes e fazer medidas por triangulação (!!!!??) Número de galáxias num dado volume Galáxias uniformemente distribuídas: aumentando o raio aumenta o no de galáxias Se raio → 2raio: K=0: N → 8N k=+1: N < 8N k=-1: N > 8N Modelos cosmológicos R(t) esférica hiperbólica
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