MOVIMENTO OSCILATÓRIO
Estamos familiarizados com diversos tipos de movimentos oscilatórios periódicos
Outros exemplos de movimento oscilatório
Electrões vibram em torno do núcleo
frequência alta: ~1014 - 1017 Hz
Os núcleos das moléculas vibram frequência
intermediária: ~1011 - 1013 Hz
Vibrações das moléculas de água
Num sólido os átomos vibram em torno da sua
posição de equilíbrio
MOVIMENTO PERIÓDICO
O movimento periódico é o movimento dum corpo que se repete regularmente
O corpo volta a uma dada posição depois dum certo intervalo de tempo fixo
O MOVIMENTO HARMÓNICO SIMPLES (MHS)
É um tipo especial de movimento periódico e acontece quando a força que age sobre
a partícula
 é proporcional ao deslocamento da partícula em relação a posição de
equilíbrio
 e é dirigida sempre para a posição de equilíbrio
MOVIMENTO DO SISTEMA MASSA-MOLA
Um bloco de massa m é ligado a uma mola
O bloco se desloca numa superfície horizontal
sem atrito
Quando a mola não está esticada nem
comprimida, o bloco está na posição de
equilíbrio x = 0
Vimos anteriormente que pela Lei de Hooke que
Fs  kx
k é a constante elástica
Fs
 força restauradora
x 
deslocamento
A força restauradora está sempre dirigida
para o ponto de equilíbrio  é sempre oposta
ao deslocamento
O movimento do sistema massa-mola é um movimento harmónico simples
•
O bloco é deslocado para a direita de
x=0
– A posição é positiva
A força restauradora é dirigida para a
esquerda
•
•
•
•
•
•
O bloco está na posição de equilíbrio
x=0
A mola não está nem esticada nem
comprimida
A força é 0
O bloco é deslocado para a esquerda
de x = 0
– A posição é negativa
A força restauradora é dirigida para a
direita
ACELERAÇÃO
De acordo com a segunda lei de Newton
k
Fs  ma  -kx  ma  a   x
m
A aceleração é proporcional ao deslocamento do bloco
O sentido da aceleração é oposto ao sentido do deslocamento
Num corpo que se mova com um movimento harmónico simples, a aceleração é
proporcional ao seu deslocamento mas tem um sentido oposto ao deslocamento
A aceleração não é constante  as equações cinemáticas não podem ser aplicadas
Se o bloco é largado de uma posição x = A, então a aceleração inicial é
O bloco continua até x = - A onde a sua aceleração é
Quando o bloco passa pelo ponto de equilíbrio,
k
a A
m
a0
k
a A
m
MOVIMENTO DO BLOCO
O bloco continua a oscilar entre –A e +A
A força é conservativa
Na ausência de atrito, o movimento continua para sempre
Sistemas reais estão sujeitos a atrito, portanto não oscilam indefinidamente !
REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA DO MOVIMENTO HARMÓNICO SIMPLES
Tratamos o bloco como sendo uma partícula
Escolhemos que a oscilação ocorre ao longo do eixo
Aceleração 
 a   x
2
d 2x
k
a 2  x
dt
m
ou
x

Definimos
2 
k
m
d 2x
2



x
2
dt
Precisamos de uma função que satisfaça a equação diferencial de segunda ordem
Procuramos uma função x(t) cuja segunda derivada é a mesma que a função original
2
com um sinal negativo e multiplicada por 
AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SEN E COS RESPEITAM ESTES REQUISITOS !
Podemos construir uma solução com uma ou ambas as funções
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
A seguinte função cos é uma solução da equação
xt   A cost   
onde
A,  e 
são constantes
A é a amplitude do movimento esta é
a posição máxima da partícula quer na
direcção positiva quer negativa
 é a frequência angular
Unidade rad/s

é a fase (constante) ou o
ângulo de fase inicial
 0
•
Se a partícula está em x = A para t = 0, então
•
A fase do movimento é a quantidade
•
x(t) é períodica e o seu valor é o mesmo cada vez
que t aumenta de 2 radianos
t   
EXPERIÊNCIA
A caneta ligada ao corpo oscilante desenha
uma curva sinusoidal no papel que está em
movimento
Verifica-se assim a curva co-seno, considerada anteriormente
DEFINIÇÕES
•
O período, T, é o intervalo de tempo
necessário para que a partícula faça um ciclo
completo do seu movimento
Os valores de x e v da partícula no instante t
são iguais aos valores de x e v em t + T
T
•

O inverso do período chama-se frequência
A frequência representa o nº de oscilações executadas pela partícula por unidade
de tempo
1 
ƒ 
T 2
•
2
A unidade é o ciclo por segundo = hertz (Hz)
EQUAÇÕES DO MOVIMENTO NO MHS
x (t )  A cos ( t   )
dx
v
  A sin ( t   )
dt
d 2x
a  2   2 A cos ( t   )
dt
k
vmax   A 
A
m
k
2
amax   A  A
m
Exemplo
x (t )  A cos ( t   )
dx
  A sin ( t   )
dt
d 2x
a  2   2 A cos ( t   )
dt
v
As condições iniciais em t = 0 são
x (0)= A
v (0) = 0
Isto implica  = 0
Extremos da aceleração : ± 2A
Extremos da velocidade : ± 2 A
ENERGIA NO MHS
Energia do sistema massa-mola
•
Energia cinética
K  12 mv2  12 m A sint   
2
K  12 kA2 sin 2 t   
•
Energia Potencial
U  12 kx2  12 k  A cost   
2
U  12 kA2 cos 2 t   
•
Energia Mecânica
EM  K  U  12 kA2
OSCILAÇÕES AMORTECIDAS
Nos sistemas realistas, estão presentes o ATRITO
indefinidamente
 o movimento não oscila
Neste caso, a energia mecânica do sistema diminui no tempo e o movimento é
conhecido como movimento amortecido
Um exemplo de movimento amortecido
A força de atrito pode ser expressa como
Fatrito  bv
b é o coeficiente de amortecimento
A equação do movimento amortecido é
F  ma  kx  bv
d 2x
dx
m 2  kx  b
dt
dt

um objecto está ligado a uma mola e
submerso num líquido viscoso
OSCILAÇÕES FORÇADAS
É possível compensar a perda de energia de um sistema
amortecido aplicando uma força externa
F  F0 cos f t
A equação do movimento
oscilações forçadas é
amortecido
d 2x
dx
m 2  kx  b  F0 cos  f t
dt
dt
para
F
A amplitude de uma oscilação forçada é
A

F0 m
2
f

 02  4 2 2f
2
 onde  0 é a frequência angular
natural do oscilador
 onde  f é a frequência angular da
força aplicada no oscilador
RESSONÂNCIA
Quando a frequência angular da força aplicada é igual à frequência angular natural
(
 f  0 ) ocorre um aumento na amplitude A
A

F0 m
2
f

 02  4 2 2f
Exemplo
2
Tacoma bridge

Amáximo
Chama-se RESSONÂNCIA a esse
aumento espectacular na amplitude