Funções
Trajectória de Projéctil
DI/FCT/UNL
1º Semestre 2004/2005
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Trajectória Óptima de Projéctil
• O cálculo de uma trajectória pode ser feito por simulação de forma
semelhante à da queda de um corpo (será visto mais à frente).
• Podendo-se calcular várias trajectórias, coloca-se muitas vezes a
questão de saber qual a “melhor” de entre elas.
• Naturalmente a noção de melhor tem de ser precisada (maior
alcance, maior velocidade no solo, mais alta???).
• Vamos determinar qual a trajectória com maior alcance.
Entrada
Velocidade Inicial
Coeficiente de Atrito
Resultados
Trajectória
“Óptima”
de Projéctil
Alcance Máximo
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Trajectória Óptima de Projéctil
• A forma mais simples de determinar a melhor trajectória, é testar
as várias possíveis e escolher a melhor.
• Sendo necessário calcular várias trajectórias, é conveniente
abstrair todo o cálculo da trajectória numa função, cujos
detalhes de implementação podem ser estudados posteriormente.
• Esta forma de proceder, tem muitas vantagens, já que permite:
– Estruturar um programa nos seus componentes básicos
– Reutilizar esses componentes básicos noutros programas
• Vamos pois considerar uma função, alcance, que corresponde ao
alcance de um projéctil lançado inicialmente com velocidade vi e
ângulo de disparo, alfa, num meio com coeficiente de atrito, ka
alcance(vi, alfa, ka)
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Programas e Funções
A utilização desta função torna o programa trivial:
% inicialização de variáveis
entra vi;
entra ka;
dist  0;
% ciclo de geração e teste
para alfa de 0 a 90 fazer
x  alcance(vi,alfa,ka); % x evita 2
se x > dist então
% chamadas de
dist  x;
% alcance!
fim se; se alcance(vi,alfa,ka) > dist
fim para;
então dist  alcance(vi,alfa,ka)
% apresentação de resultados
sai dist
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Especificação da Função
A função que foi abstraída, alcance, deverá determinar, com
base na situação inicial (velocidade e ângulo inicial do
projéctil), e para um determinado coeficiente de atrito, a
distância percorrida, pelo projéctil.
Existe pois uma correspondência óbvia entre funções e
programas
Entrada
Velocidade Inicial
Ângulo Inicial
Coeficiente deAtrito
Resultados
Algoritmo de
Trajectória
de Projéctil
Distância percorrida
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Tipos de Dados da Função Alcance
Os valores iniciais de vi, alfa e ka são dados como parâmetros de
entrada da função (dt pode ser fixado).
A partir de vi e alfa, são calculados os valores iniciais das
velocidades, vx e vy. Como posição inicial arbitra-se o ponto (0,0).
Se se pretenderem gráficos para a posição (em coordenadas x, y) é
conveniente manter as posições por onde passa o projéctil num
conjunto de vectores T, X, Y. Caso contrário serão representados
por variáveis t, x e y respectivamente.
Os valores das velocidades e das acelerações ao longo do tempo,
não se pretendendo calcular os seus gráficos podem ser
representados por variáveis vx e vy, ax e ay que representam os
valores correntes destas grandezas.
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Trajectória de Projéctil - Bases Físicas
• A trajectória de um projéctil é uma generalização da queda de
corpos em que se têm de considerar 2 dimensões para o
movimento vertical (y) e horizontal (x) e não apenas vertical.
• Todas as grandezas de interesse para o movimento, posição,
velocidade e aceleração, devem pois ser definidas nestas duas
dimensões.
• Por exemplo, a velocidade, pode ser decomposta nas suas duas
componentes (regra do paralelograo)
v
vy
θ
v2 = vx2 + vy2 ; Θ = atan(vy/vx)
vx = v  cos Θ ; vy = v  sin Θ
vx
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Trajectória de Projéctil - Bases Físicas
• Na horizontal, só existe uma causa de aceleração, provocada
pelo atrito, que consideramos proporcional, e oposta, à
velocidade:
ax = - ka  vx
• Na vertical, há que considerar a aceleração da gravidade para
além da provocada pelo atrito. Temos pois, como na queda dos
corpos:
ay = - ka  vy - g
Condições iniciais
• Tipicamente, estamos interessados em determinar a trajectória de
um projéctil quando a este é lançado com uma determinada
velocidade inicial vi num ângulo θ0
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Aceleração, Velocidade e Posição
Tal como no problema da queda dos corpos, podemos considerar
as seguintes aproximações (em cada uma das dimensões):
x(t+dt)  x(t) + vx(t)  dt
vx(t+dt)  vx(t) + ax(t)  dt
y(t+dt)  y(t) + vy(t)  dt
vy(t+dt)  vy(t) + ay(t)  dt
sendo a aceleração do projéctil dada por:
ax = - ka  vx
ay = - ka  vy - g
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Estrutura do Algoritmo
Estamos agora em condições de especificar o algoritmo para
simulação da trajectória de um projéctil, que como
habitualmente pode ser decomposto em 3 “componentes”
1. Inicialização de Variáveis
2. Ciclo de Simulação da Queda
3. Apresentação de Resultados
Entrada
Velocidade Inicial
Ângulo Inicial
Coeficiente deAtrito
Resultados
Algoritmo de
Trajectória
de Projéctil
Distância percorrida
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1. Inicialização de Variáveis
função alcance(vi, alfa, ka)
% vi, alfa e ka são dados de entrada
% alcance é o valor final
alfa  alfa*2/360;
dt 0.01;
g  9.8;
t  0;
x  0;
y  0;
vx  vicos(alfa);
vy  visin(alfa);
ax  -kavx ;
ay  -kavy - g;
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
Ângulo em Radianos
Intervalo de tempo
Aceleração da Gravidade
Valor iniciais do tempo
Valor iniciais do x
Valor iniciais do y
valores correntes de vx e vy
inicializados com vi
valores correntes de ax e ay
inicializados com vs iniciais
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2. Ciclo de Simulação
• Os valores da posição, velocidade e aceleração vão sendo
calculados nas sucessivas iterações do ciclo de simulação.
enquanto y >= 0 fazer
t  t + dt;
x  x + vxdt;
y  y + vydt;
vx  vx + axdt;
vy  vy + aydt;
ax  -kavx;
ay  -kavy - g;
fim enquanto;
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3. Apresentação de Resultados
• O resultado que se pretende apresentar é o alcance do projéctil.
• Como a função está definida com o nome alcance, deverá ser
atribuído a uma “variável” com esse nome o valor final de x,
que representa o alcance do projéctil.
alcance  x
• Na realidade, não existe nenhuma variável com esse nome (a
variável existe no programa que chama a função). A atribuição
acima é apenas a forma de apresentar o resultado.
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Algoritmo Completo – Programa Principal
% Inicialização de Variáveis
entra vi;
entra ka;
dist  0;
% Ciclo de Geração e Teste
para alfa de 0 a 90 fazer
x  alcance (vi,alfa,ka);
se x > dist então
dist  x;
fim se;
fim para;
% Apresentação de Resultados
sai dist
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Algoritmo Completo – Função Alcance
função alcance(vi, alfa,
alfa  alfa*2/360;
dt 0.01;
g  9.8;
t  0; x  0; y  0;
vx  vicos(alfa);
vy  visin(alfa);
ax  -kavx ;
ay  -kavy - g;
enquanto y >= 0 fazer
t  t + dt;
x  x + vxdt;
y
vx  vx + axdt; vy
ax  -kavx;
ay
fim enquanto;
alcance  x;
fim função;
ka)
% Ângulo em Radianos
% Intervalo de tempo
% Aceleração da Gravidade
% Valores iniciais de t, x e y
% Valores correntes de vx e vy
% inicializados com vi
% valores correntes de ax e ay
% inicializados com vs iniciais
 y + vydt;
 vy + aydt;
 -kavy - g;
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Programa Octave
• Em Octave, o programa e a função são muito semelhantes aos
apresentados em pseudo-código.
• No entanto eles devem ser escritos em dois ficheiros m (“m
files”) distintos, que devem residir na mesma directoria (a
menos que se utilizem instruções de alteração da directoria
corrente).
• O nome do ficheiro onde uma função é definida deve ter o
nome dessa função.
• Por exemplo, a função alcance deverá ser definida num
ficheiro com o nome “alcance.m”.
• De notar que a função pode ser invocada a partir de qualquer
ficheiro e mesmo do terminal.
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Programa Octave
O programa principal, maior_alcance, guardado no
ficheiro “maior_alcance.m” chama a função alcance.
vi
ka
= input("Qual a velocidade inicial (em m/s) ? ");
= input("
e o coeficiente de atrito (1/s) ? ");
dist = 0;
for alfa = 0:90
x = alcance(vi,alfa,ka);
if x > dist
dist = x;
endif;
endfor;
disp(" O alcance máximo (em metros) é de "),
disp(dist)
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Função Octave
A função alcance é guardada no ficheiro “alcance.m”, que
começa com a declaração de função.
function a = alcance(vi, alfa, ka)
dt = 0.01; g = 9.8 ;
t = 0; x = 0; y = 0;
vx = vi*cos(alfa*pi/180) ; vy = vi*sin(alfa*pi/180);
ax = - ka * vx
; ay = -g - ka * vy;
while y >= 0
t = t + dt;
x = x + vx * dt
; y = y + vy * dt;
vx = vx + ax * dt
; vy = vy + ay * dt;
ax = - ka * vx
; ay = -g - ka * vy;
endwhile;
a = x;
endfunction;
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Programa Octave
• O programa pode ser testado com vários valores para os
diferentes parâmetros. Por exemplo
Nenhum atrito
• vi = 30;
ka = 0.0
Pouco atrito
• vi = 30;
ka = 0.2
Muito atrito
• vi = 30;
ka = 2.0
• De notar que embora se saiba o alcance máximo, o programa
apresentado não nos indica para que ângulo de disparo ele é
atingido. Para esse efeito basta reformular um pouco o
programa, para nos devolver esse ângulo.
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Programa Octave
vi
ka
= input("Qual a velocidade inicial (em m/s) ? ");
= input("
e o coeficiente de atrito (1/s) ? ");
dist = 0;
angulo = 0;
for alfa = 0:90
x = alcance(vi,alfa,ka);
if x > dist
dist = x;
angulo = alfa;
end;
end;
disp(" O alcance máximo (em metros) é de "),
disp(dist)
disp(" com um disparo num ângulo (graus) de "),
disp(angulo)
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Programa Octave
• No entanto, existem várias características da trajectória que
ficaram abstraídas na computação da função e que não são
acessíveis ao utilizador, tais como:
– A altura atingida pelo projéctil
– O tempo que demora a atingir essa altura
– O tempo total da trajectória
– A velocidade com que o projéctil atingiu o solo
– A aceleração com que o projéctil atingiu o solo,
– ...
• Para obter essas características há que reformular um pouco a
função e permitir que ela “devolva” mais do que um valor.
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