Cap.11 – Critério de Nyquist
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de
Computadores (LEEC)
Departamento de Engenharia Electrotécnica e de
Computadores (DEEC)
CONTROLO
1º semestre – 2011/2012
Transparências de apoio às aulas teóricas
Critério de Nyquist
Todos os direitos reservados
Estas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram
elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos
autores
1/Cap.11
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
Maria Isabel Ribeiro
António Pascoal
Cap.11 – Critério de Nyquist
Sumário
• Introdução ao Critério de Nyquist
• Teorema de Cauchy
• Desenho do diagrama de Nyquist
• Diagrama de Nyquist e estabilidade
• Margem de Fase e Margem de Ganho
• Diagrama de Nyquist de sistemas com atraso
Referências
• G. Franklin, J.david Powell, Abbas Naeini,
“Feedback Control of Dynamic Systems”, Prentice
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
Hall, 6th Edition (Sections 6.2 – 6.6)
2/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
Introdução
• O que é o Critério de Nyquist ?
– Estudo da estabilidade (absoluta e relativa) de
um sistema de controlo em cadeia fechada por
análise da f.t.c.a.
• Que tipo de análise ?
– Da resposta em frequência da f.t.c.a.
Resposta em
frequência da f.t.c.a.
Critério de
Nyquist
Estabilidade do sistema
em cadeia fechada
Localização dos pólos da f.t.c.f.
relativa/ eixo imaginário
Localização dos
pólos da f.t.c.a.
Root-Locus
Erro em regime
estacionário
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
Resposta
transitória
Analogia
com RootLocus
Localização dos
pólos da f.t.c.f.
3/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
Introdução
• O que é o Critério de Nyquist ?
– Estudo da estabilidade (absoluta e relativa) de
um sistema de controlo em cadeia fechada por
análise da f.t.c.a.
• Método gráfico
• Calcula a estabilidade do sistema em cadeia
fechada sem avaliar explicitamente os pólos
da f.t.c.f.
• Dá indicações sobre estabilidade relativa
¤ Margem de ganho
¤ Margem de fase
• Usa resultados da teoria das funções
complexas (Teorema de Cauchy) para
estudar a existência de zeros de
1+KG(s)H(s) no semi-plano complexo direito
ou sobre o eixo imaginário.
4/Cap.11
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
• Parte do conhecimento da f.t.c.a.
Cap.11 – Critério de Nyquist
Nomenclatura
sistema de controlo em cadeia fechada
R(s)
C(s)
+
G(s)
KGc (s)
_
H(s)
Gc (s)  funçãode transferência do compensador
por redefinição de G(s)
é sempre possível
passar de um diagrama
para outro
situação que irá ser tratada
R(s)
+
G(s)
K
C(s)
_
H(s)
Nomenclatura
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
f.t.cadeia acção = KG(s)
f.t.cadeia aberta (f.t.c.a.) = KG(s)H(s)
f.t.cadeia retroacção =
H(s)
f.t.cadeia fechada (f.t.c.f.) =
equação característica
KG(s)
1  KG(s)H(s)
1 KG(s)H(s)  0
5/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
Teorema de Cauchy
• F(s) - função racional, analítica numa dada região do plano
s, excepto num número finito de pontos.
• A é um contorno qualquer definido no plano s, tal que F(s)
é analítica sobre o contorno.
• O contorno B é a imagem do contorno A por meio de F(s).
plano s
plano F(s)
F(s1 )
s1
s2
F(s)
F(s2 )
s3
F(s3 )
Contorno B
(s  z1 )(s  z2 )...
F(s) 
(s  p1 )(s  p2 )....
descrito num
determinado
sentido
descrito no mesmo
sentido ou em sentido
contrário ao contorno A
6/Cap.11
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
Contorno A
Cap.11 – Critério de Nyquist
Teorema de Cauchy: exemplos
clockwise
clockwise
1 zero
no exterior do
contorno A
Contorno
B não
contém a
origem
counterclockwise
1 pólo
no exterior do
contorno A
Contorno
B não
contém a
origem
clockwise
1 zero
no interior do
contorno A
Contorno
B contém
a origem
counterclockwise
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
1 pólo
no interior do
contorno A
Contorno
B contém
a origem
counterclockwise
1 pólo e 1 zero
no interior do
contorno A
Contorno
B não
contém a
origem
7/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
Teorema de Cauchy: enunciado
• Contorno A descrito no sentido dos
ponteiros do relógio.
• P = número de pólos de F(s) no interior do
contorno A
• Z = número de zeros de F(s) no interior do
contorno A
• N = número de voltas, no sentido dos
ponteiros do relógio, que o contorno B dá
em torno da origem.
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
N  Z P
8/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
Teorema de Cauchy: interpretação
F(s) 
(s  z1 )(s  z2 )
(s  p1 )(s  p2 )(s  p3 )
plano s
plano F(s)
s
F(s1 )
F(s)
x p2
o
z1
o
z2
x
p1
x p3
Contorno B
Contorno A
Quando s dá uma volta completa sobre o contorno A,
no sentido dos ponteiros do relógio
• o argumento dos vectores associados aos pólos e zeros
no exterior de A têm uma variação líquida de 0º
• o argumento dos vectores associados aos zeros no interior
de A têm uma variação de 360º.
• o argumento dos vectores associados aos pólos no interior
s a percorrer o
contorno A
arg F(s)  arg(s  z1 )  arg(s  z2 ) 
 arg(s  p1 )  arg(s  p2 )  arg(s  p3 )
O argF(s) tem uma variação de (1-2)*360º voltas
em torno da origem no sentido dos ponteiros do
relógio
9/Cap.11
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
de A têm uma variação de 360º.
Cap.11 – Critério de Nyquist
Teorema de Cauchy: interpretação
(s  z1 )(s  z 2 )...(s  zm )
F(s) 
(s  p1 )(s  p2 )...(s  pn )
Z = zeros de F(s) no interior do contorno A
P = pólos de F(s) no interior do contorno A
Quando s dá uma volta completa sobre o
contorno A, no sentido dos ponteiros do relógio
O argF(s) tem uma variação de (Z-P)*360º em torno da
origem no sentido dos ponteiros do relógio
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
N  Z P
N = nº de voltas de F(s) em
torno da origem, no sentido
dos ponteiros do relógio
10/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
Critério de Nyquist
• Como aplicar o Teorema de Cauchy no
estudo da estabilidade da f.t.c.f. ?
avaliar da existência de pólos da f.t.c.f. no s.p.c.d.
KG(s)
1  KG(s)H(s)
avaliar da existência de raízes de 1+KG(s)H(s)=0 no s.p.c.d.
avaliar da existência de zeros de 1+KG(s)H(s) no s.p.c.d.
plano s
plano F(s)
j
F(s)  1  KG(s)H(s)
v
estabilidade
em c.f.
contorno
de Nyquist
inspecção
inspecção
 j
P
Z=P+N
N
N=Z-P
nº de voltas em
torno da origem
(contadas como
positivas no sentido dos
ponteiros do relógio)
Teorema de Cauchy
11/Cap.11
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
raio 
Cap.11 – Critério de Nyquist
Critério de Nyquist
• Contorno de Nyquist – abarca todo o s.p.c.d
.
F(s)  1  KG(s)H(s)
N =
nº de voltas de
1+KG(s)H(s)
em torno da origem
Z
-
P
nº de zeros de
1+KG(s)H(s)
no interior do
contorno de Nyquist
nº de pólos de
1+KG(s)H(s)
no interior do
contorno de Nyquist
=
=
=
nº de voltas de
KG(s)H(s)
em torno de -1
nº de pólos de
Y(s)/R(s) (f.t.c.f.)
no interior do
contorno de Nyquist
nº de pólos de
KG(s)H(s)
no interior do
contorno de Nyquist
j
KG(s)H(s)
raio 
contorno de
Nyquist
v
inspecção
inspecção
 j
P
N
diagrama de
Nyquist
nº de voltas em
torno de -1
Z=N+P
12/Cap.11
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
-1
Cap.11 – Critério de Nyquist
Critério de Nyquist: enunciado
• Estabilidade em cadeia fechada
– Z=0
– -N=P
Enunciado do critério de Nyquist
Um sistema causal com f.t.c.a. KG(s)H(s) é
estável em cadeia fechada sse,
quando o afixo de s percorre o contorno de
Nyquist num determinado sentido,
o número de voltas que o afixo de KG(s)H(s)
contrário é igual ao número de pólos da
KG(s)H(s) no interior do contorno de Nyquist.
13/Cap.11
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
percorre em torno do ponto –1 em sentido
Cap.11 – Critério de Nyquist
Diagrama de Nyquist
• Como esboçar o diagrama de Nyquist ?
contorno de
Nyquist
KG(s)H(s)
j
s  jw, w  [0,[
raio
KG( jw )H( jw )
• função resposta em frequência da
f.t.c.a. com representação polar
• pode obter-se por análise do
diagrama de Bode e sua
representação na forma polar
v
s  jw, w ]  ,0]
KG( jw )H( jw )
s   jw, w  [0,[
KG( jw )H( jw )
| KG( jw )H( jw ) | funçãopar
arg(KG( jw )H( jw )) funçãoímpar
Simétrico,
relativamente ao eixo
real, da componente do
diagrama de Nyquist
que é imagem do eixo
imaginário positivo
O contorno de Nyquist deve ser tal que:
• Abarque todo o s.p.c.d.
• A função KG(s)H(s) tem que ser analítica sobre o contorno
14/Cap.11
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
v
 j
Cap.11 – Critério de Nyquist
Diagrama de Nyquist
• Como esboçar o diagrama de Nyquist ?
contorno de
Nyquist
KG(s)H(s)
j
raio 
s  re j
  [   2,  2]
r
v
v
 j
KG(s)H(s)  K
 nm
KG(s)H(s)  ?
(s  z1 )(s  z2 )...(s  zm )
(s  p1 )(s  p2 )...(s  pn )
KG(s)H(s) 0
A imagem da semi-circunferência de raio
infinito é a origem
KG(s)H(s) valor finito
O contorno de Nyquist deve ser tal que:
• Abarque todo o s.p.c.d.
• A função KG(s)H(s) tem que ser analítica sobre o contorno
15/Cap.11
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
 nm
Cap.11 – Critério de Nyquist
Diagrama de Nyquist: Exemplo 1
K>0
R(s)
+
a
sa
K
_
j
C(s)
Ka
f .t.c.a. 
sa
a 0
contorno de
Nyquist
P=0
A f.t.c.a. não tem pólos no interior
do contorno de Nyquist
v
x
a
KdB
 j
Ka
0
r   re j  a
lim
-1
v
O sistema em c.f. é estável
para qualquer valor de K>0
K
16/Cap.11
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
Z=N+P=0
-1
v
N=0
Cap.11 – Critério de Nyquist
Diagrama de Nyquist: Exemplo 1
K<0
R(s)
+
K
_
j
C(s)
a
sa
a0
contorno de
Nyquist
f .t.c.a. 
Ka
sa
P=0
v
A f.t.c.a. não tem pólos no
interior do contorno de Nyquist
x
a
v
 j
Ka
0
r   re j  a
lim
K
-1
Se K<-1  N=1  Z=P+N=1  sistema em c.f. instável
17/Cap.11
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
v
Se K>-1  N=0  Z=0  sistema em c.f. estável
Cap.11 – Critério de Nyquist
Diagrama de Nyquist: Exemplo 2
KG(s)H(s) 
K
(s  a)(s  b)(s  c )
a  0, b  0, c  0
x x
KG(s)H(s) 
s  jw, w  0
w 
K j0
e
abc
| KG(s)H(s) | 0
arg(KG(s)H(s))  
s  rej, r  
3
2
KG(s)H(s)  0
w  
w  
w  0
K
w  0  abc
zoom
w  
18/Cap.11
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
x
Cap.11 – Critério de Nyquist
Diagrama de Nyquist: Exemplo 2
Código Matlab
K
KG ( s) H ( s) 
( s  1)(s  2)(s  3)
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
K=10;
num1=[0 0 0 K];
den1=[1 6 11 6];
sys1=tf(num1,den1);
nyquist(sys1)
19/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
Diagrama de Nyquist: Exemplo 2
KG(s)H(s) 
a  0, b  0, c  0
x x
P=0
w  
w  
-1
-1
w  0
w  0
K1
abc
K2
abc
N=0
Z=P+N=0
Para K=K1
sistema em
c.f. é
estável
N=2
Z=P+N=2
Para K=K2 o
sistema em
c.f. tem dois
pólos no
s.p.c.d. É
instável
K 2  K1
20/Cap.11
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
x
K
(s  a)(s  b)(s  c )
Cap.11 – Critério de Nyquist
Diagrama de Nyquist: Exemplo 2
KG(s)H(s) 
a  0, b  0, c  0
x x
P=0
-1
• Qual o valor de K para o qual este ponto se torna
igual a –1?
• Que ponto é este ?
• É o ponto com fase de –180º
• Desempenha um papel fundamental no estudo da
estabilidade
21/Cap.11
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
x
K
(s  a)(s  b)(s  c )
Cap.11 – Critério de Nyquist
Diagrama de Nyquist: Exemplo 3
R(s)
K>0
+
K
_
x
C(s)
1
s 1
P=1
1
K=3
N=-1
Z=P+N=0
Sistema em cadeia fechada
estável para este valor de K
22/Cap.11
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
-1
Cap.11 – Critério de Nyquist
Critério de Nyquist:Exemplo 4
R(s)
+
K
_
C(s)
1
s( s  1)2
sistema tipo 1
KG(s)H(s) 
O contorno de Nyquist deve ser tal que:
• Abarque todo o s.p.c.d.
• A função KG(s)H(s) tem que ser
analítica sobre o contorno
K
s(s  1)2
K>0
Contorno de Nyquist – duas hipóteses
semi-circunferência
raio 
0
r 
C
0
x
A
B
w  0
w  0
C
0
xx
r 
x
B
A
w  0
<
<
P=0
P=1
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
xx
<
<
w  0
23/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
Critério de Nyquist: Exemplo 4
KG(s)H(s) 
K
s(s  1)2
contorno de Nyquist
contorno de Nyquist
<
<
xx
w  0 C
r 
0
0
x
A
xx
B
B
r 
x
A w  0
w  0
<
<
v
v
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
w  0 C
diagrama de Nyquist não desenhados à escala
24/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
Critério de Nyquist: Exemplo 4
KG(s)H(s) 
K
s(s  1)2
contorno de Nyquist
contorno de Nyquist
<
<
w  0 C
x
A
r 
0
0
xx
B
x
B
A w  0
w  0
<
<
0
contorno de Nyquist
A
B
semi-circunferência de raio
infinitesimal
contorno de Nyquist
C


   , 0,
2
2
KG(s)H(s) se j 
A
B
C


   , ,
2
2
K
K
K  j


e
j
j
2
j
e (e  1)
e

Uma semi-circunferência de
raio a tender para infinito
argumento -
diagrama de Nyquist



, 0, 2
2
diagrama de Nyquist
 

2
, , -

2
25/Cap.11
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
xx
w  0 C
r 
Cap.11 – Critério de Nyquist
Critério de Nyquist: Exemplo 4
R(s)
+
C(s)
1
s( s  1)2
K
_
sistema tipo 1
KG(s)H(s) 
K
s(s  1)2
4
K=1
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
3
2
1
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
K=3
diagramas de
Nyquist
desenhados
à escala
0
-1
-2
-3
-4
-4
26/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
Critério de Nyquist: Exemplo 4
análise de estabilidade
K
KG(s)H(s) 
s(s  1)2
v
v
ponto de intersecção com o eixo real ?
KG( jw )H( jw ) 
K
jw ( jw  1)2
arg(KG( jw )H( jw ))  arg(K)  arg(jw )  arg(jw  1)2  180º
 90º2arctg( w )  180º
arctg( w )  45º
w  tg(45º )  1rad / s
KG( jw)H( jw) w 1 
|K |
2
27/Cap.11
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
arg(KG( jw )H( jw ))  180º
Cap.11 – Critério de Nyquist
Critério de Nyquist: Exemplo 4
análise de estabilidade
KG(s)H(s) 
<
<
xx
x
x
<
<
P=0
P=1
v
-K/2
v
-K/2
diagrama de Nyquist não
desenhados à escala
1 

K
2
K
 1
2
N=0
N=-1
Z=P+N=0
sistema estável
Z=P+N=1-1=0
N=2
Z=P+N=2
Z=P+N=1+1=2
N=1
sistema instável
28/Cap.11
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
xx
K
s(s  1)2
Cap.11 – Critério de Nyquist
Critério de Nyquist: Exemplo 5
K
KG(s)H(s)  2
s (s  1)
<
C
x
xx
B
A
<
P=0
qual é a imagem desta semi-circunferência ?
e j
0
KG(e j )H(e j ) 
duas semi-circunferências
com raio a tender para infinito
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
Dois pólos excluídos pela
semi-circunferência de raio a
tender para zero
K  2 j
e
2

Qual é o correcto?
A B

  0
2
 2  -  0
C

2

Só esta análise não chega
para desambiguar
29/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
Critério de Nyquist: Exemplo 5
KG(s)H(s) 
K
s2 (s  1)
qual é a imagem desta semi-circunferência ?
<
e j
C
xx B
x
A
0
D
<
KG(e j )H(e j ) 
A D
 
  2 4

 2  - 
2
P=0
B
0
0
K  2 j
e
2

C

2

D’
N=2
C’
A’
-1
B’
<
O sistema em cadeia fechada
é instável para qualquer valor
de K
A’ = imagem de A
Confirme com o Root-Locus
30/Cap.11
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
Z=P+N=2
Cap.11 – Critério de Nyquist
Critério de Nyquist: Exemplo 6
R(s)
+
(s  1)(s  2)
(s  1)2  1
K
_
Diagrama
de Nyquist
tal como
obido pelo
Matlab
C(s)
Nyquist Diagrams
From: U(1)
1.5
P=0
N=?
1
To: Y(1)
Imaginary Axis
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
Real Axis
• Chegou a Z=1?
• Veja pelo Root-Locus que não pode ser e
conclua sobre o diagrama de Nyquist
• Trace o diagrama de Bode da f.t.c.a.
1.5
1
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
Imag Axis
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
Real Axis
1
1.5
2
2.5
3
31/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
Critério de Nyquist: Exemplo 6
R(s)
+
(s  1)(s  2)
(s  1)2  1
K
_
C(s)
Bode Diagrams
K=1
From: U(1)
4
2
1
0
0
-90
To: Y(1)
Phase (deg); Magnitude (dB)
3
-180
-270
-360
-1
10
0
1
10
10
P=0
N=?
Frequency (rad/sec)
Nyquist Diagrams
From: U(1)
K=1
1.5
P=0
N=2
Z=2
>
1
To: Y(1)
Imaginary Axis
0.5
0
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
Diagrama de
Nyquist tal
como obido
pelo Matlab
-0.5
-1
<
-1.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
Real Axis
Use o critério de Routh-Hurwitz para mostrar
que o sistema é instável para K>2/3
32/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
Critério de Nyquist
Margem de Ganho e Margem de Fase
R(s)
+
C(s)
16
(s  1)(s  2)(s  4)
K
_
Nyquist Diagrams
From: U(1)
1.5
K=1
K=1
1
To: Y(1)
Imaginary Axis
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Real Axis
Pergunta:
De quanto é possível aumentar o ganho K sem que o sistema se
torne instável ?
5
4
Pergunta:
O sistema torna-se instável com o
aumento do ganho ?
Resposta
Sim – ver Root-Locus ou Diagrama
de Nyquist
3
2
Imag Axis
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-5
-4
-3
-2
Real Axis
-1
0
1
33/Cap.11
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
Para K=1 o sistema em cadeia fechada é estável
P=0, N=0, Z=0
Cap.11 – Critério de Nyquist
Critério de Nyquist
Margem de Ganho e Margem de Fase
R(s)
+
C(s)
16
(s  1)(s  2)(s  4)
K
_
Nyquist Diagrams
From: U(1)
1.5
K=1
P=0,
N=0,
Z=0
c.f. estável
K=1
1
To: Y(1)
Imaginary Axis
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Real Axis
Nyquist Diagrams
P=0,
N=2,
Z=2
c.f. instável
From: U(1)
25
20
K=15
K=15
15
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
5
To: Y(1)
Imaginary Axis
10
0
-5
-10
-15
-20
-25
-10
-5
0
5
10
Real Axis
15
20
25
30
34/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
Critério de Nyquist
Margem de Ganho e Margem de Fase
Pergunta:
De quanto é possível aumentar o ganho K sem
que o sistema se torne instável ?
Nyquist Diagrams
From: U(1)
1.5
1
K=1
To: Y(1)
Imaginary Axis
0.5
0
-0.5
qual é o ganho
-1
quando a
frequência=180º ?
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-15dB
Real Axis
qual é a fase
do ponto em
que o ganho
é unitário ?
20
2
0.177
K=1
0
-20
-40
O ganho pode
aumentar de
1
 5.63
0.177
-80
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
0
-45
-90
-135
até que o
sistema em c.f.
se torne instável
-180
-225
-270
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
35/Cap.11
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
-60
Cap.11 – Critério de Nyquist
Critério de Nyquist
Margem de Ganho e Margem de Fase
Pergunta:
De quanto é possível aumentar o ganho K sem que o
sistema se torne instável ?
Nyquist Diagrams
From: U(1)
8
6
K=5.63
2
To: Y(1)
Imaginary Axis
4
K=1
0
-2
-4
-6
-1
-8
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
Real Axis
40
KG( jw )H( jw20
)
0
K=5.63
-20
-40
K=1
-80
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
0
-45
-90
-135
-180
-225
-270
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
36/Cap.11
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
-60
Cap.11 – Critério de Nyquist
Margem de Ganho e Margem de Fase
• Até aqui o diagrama de Nyquist foi
usado para avaliar a estabilidade
absoluta
• Diagrama de Nyquist permite também
avaliar estabilidade relativa
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
oproximidade do sistema relativamente à
situação de instabilidade
oquão próximos do eixo imaginário estão os
pólos do sistema em cadeia fechada
oProximidade do diagrama de Nyquist do
ponto -1
37/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
Margem de Ganho e Margem de Fase
1
MG
• Margem de ganho – (MG) - é a variação, expressa
• Margem de fase – (FM) – é a variação de fase do
sistema em cadeia aberta, para ganho unitário,
necessária para que o sistema em cadeia fechada
se torne instável.
O uso da Margem de Ganho e da Margem de Fase para o
estudo da estabilidade relativa só é válido para P=0, i.e.,
para sistemas em cadeia aberta estáveis.
38/Cap.11
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
em dB, do ganho da f.t.c.a., para a fase de –180º,
para que o sistema em cadeia fechada se torne
instável
Cap.11 – Critério de Nyquist
Margem de Ganho e Margem de Fase
• Margem de Ganho – é o inverso do módulo
da f.t.c.a., KG(s)H(s), para a frequência w para
a qual a f.t.c.a. introduz uma rotação de 180º
MG 
1
KG( jw )H( jw )
w w 
• Margem de Fase – é a diferença entre a fase
de G(jw)H(jw) e –180º quando |KG(jw)H(jw)|=1
F M  180º  
  arg KG ( jw) H ( jw)  KG ( jw) H ( jw) 1
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
• Determinação das margens de
estabilidade
• Diagrama de Nyquist
• Diagrama de Bode
39/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
Margem de Ganho e Margem de Fase
R( s)
+
C( s)
16
(s  1)(s  2)(s  4)
K
_
Nyquist Diagrams
From: U(1)
1.5
1
K=1
To: Y(1)
Imaginary Axis
0.5
0

-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Real Axis
20
K=1
0
MGdB
-20
-40
-60
-1
0
10
10
1
10
2
10
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
-80
-2
10
0
-45
-90
FM
-135
-180
-225
-270
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
40/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
Margem de Ganho e Margem de Fase
Valores convenientes para uma boa
estabilidade relativa
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
30º<FM<60º
MG>6dB
41/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
Margem de Ganho e Margem de Fase
KG(s)H(s) 
2K
s(s  1)(s  2)
P=0
Nyquist Diagrams
From: U(1)
0.25
0.2
1/MG
0.15
0.05
To: Y(1)
Imaginary Axis
0.1
0
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
-0.25
-1
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
Real Axis
fM
• Se FM>0º – sistema em c.f. estável
• Se FM<0º – sistema em c.f. instável
• Se FM=0º – sistema em c.f.
marginalmente estável
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
1/MG
Condições de estabilidade:
• Se MG>1 – sistema em c.f. estável
• Se MG<1 – sistema em c.f. instável
• Se MG=1 – sistema em c.f.
marginalmente estável
42/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
Margem de Ganho e Margem de Fase
Exemplo
– Sistema com retroacção unitária.
– Qual é o valor de K para o qual a margem
de fase é de 45º?
40
|G(jw)|dB
20
0
-20
-40
-60
-1
10
0
1
10
10
2
10
w(rad/s)
arg(G(jw)) (graus)
-90
-135
-180
-225
-1
10
0
1
10
10
2
10
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
w(rad/s)
• Desenhe o diagrama de Nyquist
• Calcule o valor da margem de ganho para
esse valor de K
• Identifique o sistema em cadeia aberta
43/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
Margem de Ganho e Margem de Fase
• Nem sempre a estabilidade de um sistema
em cadeia fechada é sinónimo de MG>1 e
FM>0º
– É preciso tomar atenção ao diagrama de
Nyquist e avaliar a estabilidade com base no
envolvimento do ponto –1+j0.
• Caso1 – Para sistemas de 1ª e 2ª ordem, em
que não existe cruzamento do diagrama de
Nyquist com o semi-eixo real negativo, a MG
é sempre infinita.
• Caso 2 – Para sistemas de ordem superior
pode haver mais do que um ponto de
cruzamento do diagrama de Nyquist com o
semi-eixo real negativo.
w 1
w 3
w 2
Há 3 valores de
frequência para
os quais a fase
da f.t.c.a. é de
180º
44/Cap.11
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
• Caso 3 – Sistemas em c.a. de fase não
mínima
Margem de Ganho e
Coeficiente de Amortecimento
Cap.11 – Critério de Nyquist
•
Para sistema de 2ª ordem, sem zeros, que valor deve
ter a margem de fase (especificação no domínio da
frequência) para que o sistema em cadeia fechada
apresente uma certa sobreelevação (especificação
no domínio do tempo) na resposta ao escalão?
G(s)
R(s)
+
_
w n2
s(s  2w n )
C(s)
f.t.cadeia fechada
C(s)
w n2
 2
R(s) s  2w ns  w n2
Margem de fase
G( jw )  1
 w1 

arg G( jw 1 )  90º arctg
 2w n 
FM  180º  argG( jw 1 )  90º arctg
 2 2  4 4  1
2
45/Cap.11
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
w1  w n  2 2  4 4  1
Margem de Ganho e
Coeficiente de Amortecimento
Cap.11 – Critério de Nyquist
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
Retirado de
G.Franklin, J. Powell, A. Naeini
Feedback Control of Dynamic Systems
46/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
Sistemas com um atraso
Retirado de
E. Morgado
Controlo – Texto de apoio
produção de fibra óptica
Ajuste do diâmetro do
orifício da fieira
d
• Em qualquer dos casos surge um atraso
• Atraso t traduzido por
est
De que modo um atraso na cadeia de acção
afecta a estabilidade (absoluta ou relativa) na
cadeia fechada ?
47/Cap.11
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
– Condução do carro – atraso = tempo de reacção
do condutor
– Produção fibra óptica – atraso de transporte – a
acção de controlo e a operação de medida
efectuam-se em pontos diferentes da fibra óptica
Cap.11 – Critério de Nyquist
Sistemas com um atraso: Exemplo
R(s)
+
 st
e G(s)
C(s)
_
Gt (s)  estG(s)
Gt ( jw )  e jwtG( jw )
Gt ( jw )  G( jw )
G(s) 
5K
s(s  1)(s  10)
função resposta em frequência
O atraso não modifica a amplitude
da função resposta em frequência
arg(Gt ( jw ))  wt  arg(G( jw ))
O atraso introduz na fase uma componente
que varia linearmente com w
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
A margem de
fase diminui
A margem
ganho diminui
48/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
Sistemas com um atraso: Exemplo
R(s)
+
 st
e G(s)
C(s)
_
K=1, t=1
• Para o mesmo valor de K, a margem de ganho é
menor para o sistema com atraso
• O sistema com atraso apresenta uma menor
estabilidade relativa, para o mesmo valor de K
49/Cap.11
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
5K
G(s) 
s(s  1)(s  10)
Cap.11 – Critério de Nyquist
Sistemas com um atraso: Exemplo
R(s)
+
 st
e G(s)
C(s)
_
G(s) 
5K
s(s  1)(s  10)
K=1
t=1
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
K=1
t=0
50/Cap.11