Sistemas de Controle III
N8SC3
Prof. Dr. Cesar da Costa
9.a Aula: Realimentação Linear de Variáveis de Estado
1.Motivação para realimentação linear de variávreis de
estado
Objetivo:
 Motivar o projeto de controladores com base no modelo
de estado e apresentar os principais problemas, que esta
abordagem coloca, relacionando-os com os conceitos de
controlabilidade e observabilidade .
Exemplo: O controle de uma suspensão magnética
 O sistema em malha fechada com controle proporcional fica
sempre oscilatório não amortecido.
Realimentação de Velocidade:
 Equação característica de malha fechada:
 Por ajuste dos coeficientes podemos colocar os pólos
arbitrariamente.
 Por exemplo, se quisermos colocar os pólos em
polinómio característico deve ser :
,o
 Comparando-se este polinómio com o que se obteve com
a realimentação da velocidade, tem-se:
 Igualando os coeficientes, obtém-se o seguinte sistema
de equações, que permite calcular os ganhos que levam
os pólos à posição desejada:
Conclusão:
A retroalimentação linear de todas as variáveis de estado
permite aumentar a flexibilidade no projeto do controlador
(pelo
menos
aparentemente),
dado
que
temos
um
procedimento sistemático para colocar os pólos de malha
fechada.
Conclusão:
Levantam-se questões importantes:
 Acessibilidade do estado. O estado nem sempre está
acessível para medida direta, por exemplo, devido a
limitações tecnológicas ou de custo dos sensores;
 Existência de solução das equações.
Estimação do estado:
 Quando o estado não está acessível uma possibilidade é
substitui-lo por uma estimativa. Estimador em malha aberta:
 Esta solução não é boa:
Leva-nos a um controlador
em
malha
aberta.
As
perturbações e os erros de
modelação
atenuados.
não
são
Solução com observador assimptótico :
Um outro exemplo: Compensador em malha aberta de um
sistema instável.
 Será
que
este
controlador
funciona
cancelamento é matematicamente exato?
quando
o
 Começamos por construir um modelo de estado do
sistema. Para tal, repare que:
 O diagrama de blocos pode ser desenhado na seguinte
forma, em que se indicam as variáveis de estado
.
 A resolução destas equações conduz a (* significa
“convolução”):
Conclusão:
 Mesmo quando o cancelamento é exato, o sistema só é
estável quando:
 Repare que é frequente afirmar que o sistema não
funciona porque, na prática, o cancelamento não é nunca
matematicamente exato. Isto é verdade, mas mais
importante ainda é que, mesmo que haja cancelamento
perfeito, há modos naturais (associados às condições
iniciais) que tendem para infinito.
A necessidade de uma descrição interna dos sistemas
 Este exemplo ilustra a importância de termos uma
descrição interna dos sistemas, que clarifique as
questões relativas ao cancelamento de pólos e zeros.
 Isto vai conduzir-nos uma vez mais aos conceitos de
Controlabilidade e Observabilidade.
2. Controlabilidade e Observabilidade
Objetivo:
 Introduzir
os
conceitos
de
observabilidade,
controlabilidade, reconstrutibilidade e atingibilidade.
Critérios
de
controlabilidade
e
observabilidade.
Relação das propriedades de controlabilidade e
observabilidade do modelo de estado com a função de
transferência.
Questão (relacionada com a Controlabilidade):
 Dado o sistema descrito pelo modelo de estado contínuo:
 Será possível, partindo da origem
levar o
estado a um valor especificado arbitrário por escolha
conveniente das entradas?
 A resposta a esta questão depende do par de matrizes
(A, b).
Questão (relacionada com a Controlabilidade):
 Uma questão relacionada com esta é:
 Como escolher a entrada de forma a levar o estado ao
ponto especificado?
 Pode colocar-se uma questão análoga para sistemas
discretos.
Controlabilidade (definição – sistemas contínuos)
 A realização de estado contínuo:
Diz-se completamente controlável se, dado um estado
inicial na origem x(0)=0 , e qualquer x(f) , existir um instante
finito t(f) e uma função de entrada u(t),
tal que
Nota sobre o conceito de controlabilidade
 Para sistemas contínuos a definição de controlabilidade
é equivalente a impôr que de qualquer estado se atinja
a origem num intervalo de tempo finito por escolha
conveniente da entrada.
 É esta a definição dada em [Rugh]. A definição dada no
slide
anterior
é
normalmente
referida
como
atingibilidade. Para sistemas contínuos as duas
definições são equivalentes, mas para sistemas
discretos não.
Referências:
 Rugh (1996). Linear System Theory.
 Kailath (1980). Linear Systems.
Critério de controlabilidade (sistemas contínuos)
 O sistema contínuo
É completamente controlável se a matriz
dita matriz de controlabilidade, tiver a sua matriz
característica n igual a dimensão x da matriz (n=dim x) .
 Este fato, que necessita demonstração, proporcionanos um critério de controlabilidade.
Revisão Matriz Característica
• Uma matriz C não nula é caracterizada pela máxima ordem dos determinantes
não todos nulos, que podem ser retirados de C. Ou seja, a característica de C é
o número natural p ≥1 somente quando:
a) pelo menos um determinante for de ordem p diferente de zero.
b) todos os determinantes de ordem maior do que p forem nulos.
Revisão Matriz Característica
Exemplo:
• Dada a matriz acima podemos retirar determinantes de ordem 1, ordem 2 e
ordem 3, portanto essa matriz é caracterizada por 1, 2 ou 3. Veja que pelo menos
um determinante de ordem 2 será diferente de zero:
• Veja abaixo todos os determinantes de ordem 3:
Revisão Matriz Característica
• Note que a primeira e a terceira linha são iguais por isso os determinantes de
ordem 3 são iguais a zero.
• Portanto, a característica da matriz M é 2.
Propriedades:
Não existe modificação na característica da matriz quando:
1) duas filas paralelas são trocadas.
2) as linhas são trocadas ordenadamente pelas colunas.
3) uma fila é multiplicada por uma constante k ≠ 0.
4) filas nulas são acrescentadas ou extraídas.
5) adicionamos a uma fila uma combinação linear de filas paralelas.
6) uma fila que é combinação linear das demais é eliminada.
Revisão Matriz Característica
Exercício:
Exemplo:
• Na matriz acima todos os determinantes de ordem 3 são nulos, portanto, ao
calcular a característica de M podemos eliminar esta linha.
• Portanto, a característica de M será igual á da matriz.
Revisão Matriz Característica
• Considerando esta matriz podemos eliminar os determinantes de ordem 2, pois a
segunda e a terceira linha são iguais. Portanto, a característica de N é igual à da
matriz.
• Nesta matriz todos os determinantes de ordem 3 são nulos, pois a terceira
linha é o dobro da primeira. Portanto, a característica de P é igual à da matriz.
• Sendo assim a característica de Q é 2, pois há pelos menos um
determinante de ordem 2 diferente de zero.
• Conclusão: a característica da matriz M é 2.
Exemplo de um sistema não completamente controlável
A partir do diagrama de blocos conclui-se, dado que a
entrada não afeta a variável x2, que não podem ser
atingidos pontos do espaço fora do eixo x1.
Exemplo de um sistema não completamente controlável
• Condição de
sistema não
controlável:
• Matriz característica
é menor que a
dimensão da
matriz.
 Logo a realização de estado considerada não é
controlável. Apenas podem ser atingidos pontos num
subespaço de dimensão
do
espaço de estados (que tem dimensão 2).
Outro exemplo
controlável
de
um
sistema
não
completamente
 Repare que os valores próprios são iguais.
Vejamos o que diz o critério de controlabilidade:
Como
o critério permite
concluir que o sistema é não controlável e que apenas se
podem atingir a partir da origem pontos do espaço de
estados que estão num subespaço de dimensão 1.
Exercício 3 (lista 2)
Dado o sistema:
Pede-se:
a) Verifique por meio da matriz de controlabilidade se o sistema é
completamente controlável.
b) Desenhe um diagrama de bloco do sistema (entrada u e saída y) e verifique
se, por meio desse diagrama, pode ser confirmada ou não a conclusão do
item anterior.