Equações de primeiro grau
Introdução
Equação é toda sentença matemática aberta
que exprime uma relação de igualdade. A
palavra equação tem o prefixo equa, que em
latim quer dizer “igual”.
Exemplos:
2x + 8 = 0
5x – 4 = 6x + 8
3a – b – c = 0
A equação geral do primeiro grau:
ax+b = 0
Considera a equação 2x – 8 = 3x -10
A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita
significa ” desconhecida”.
Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o
sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que
sucede, 2º membro.
Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da
equação.
Exemplos
1) Qual é o conjunto solução da equação 4x - 8 = 10?
4x=10+8
4x = 18
x= 18: 4
X= 4,5
Portanto:
S = { 4,5 }.
2) Qual é a raiz da equação 7x - 2 = -4x + 5?
7x-2=-4x+5
7x+4x=5+2
11x=7
X=7/11
Portanto:
7/11 é a raiz da equação.
3) A soma da minha idade, com a idade de meu irmão
que é 7 anos mais velho que eu dá 37 anos. Quantos
anos eu tenho de idade?
X + x + 7 = 37
2x= 30
X= 15
MInha idade: 15
Idade de meu irmão 22
Prova: INTEGRI - 2010 - Prefeitura de Votorantim - SP - Médico Cardiologia Disciplina: Matemática | Assuntos: Equação de 1º Grau;
1) Qual o valor de x que satisfaz a equação 3x + 4(1+x)+2= 5x-x-6?
• a) -4
• b) 4
• c) 3
• d) 8
3x+4+4x+2=5x-x-6
7x-4x=-6-6
3x=-12
X=-4
Prova: VUNESP - 2010 - TJ-SP - Escrevente Técnico Judiciário
Disciplina: Matemática | Assuntos: Razão; Equação de 1º Grau;
2) Considere dois níveis salariais apontados em uma
pesquisa de mercado para um mesmo cargo, o mínimo
(piso) e o máximo (teto). Sabe-se que o dobro do menor
somado a 1/5 do maior é igual a R$ 3.700,00. Se a
diferença entre o nível máximo e o nível mínimo é igual
a R$ 3.100,00, então o teto salarial para esse cargo é de
•
•
•
•
•
a) R$ 4.800,00.
b) R$ 4.500,00.
c) R$ 3.800,00.
d) R$ 3.600,00.
e) R$ 3.400,00.
2P+1/5T= 3.700
P= T-3100
2(T-3100)+ 1/5T= 3700
2T-6200+0,2T=3700
2,2T=9900
T=9900:2,2
T=4500
• 3)
R: a
Exs. Apostila
pag. 52
•
•
•
•
1
5
10
12
Equação 2 grau
Uma equação diz-se do 2º grau se
depois de simplificada se escreve
na forma
ax  bx  c  0
2
com a, b e c  IR e
a0
Exemplos
 x x  3  2  2 x  1 
2
  x2  3x  3  0
x 2  2x2  3x  2  1  0 
É uma equação
do 2º grau
 x  3 x  2  2 x  1 
2
2
2
2x  5x  3 
2x  5x  3  0
2
Exemplos de equações do 2º grau:
Equação do 2º grau
completa
• 2x  4x  3  0
2
a=2, b=4 e c=3
Equações do 2º
grau incompletas
•
• 4x
2
 5x  0
x  36  0
2



a=4, b= -5 e c=0
a=1, b=0 e c= -36
A Fórmula de Báscara
Essa fórmula, que permite obter as raízes da equação do 2°
grau é conhecida como fórmula de Báscara(1114-1185, nascido
na Índia, o mais importante matemático do séc. XII
Existência de Raízes Reais
• Denominamos discriminante da equação do 2° grau ax²+bx+cx = 0 ao número
• b² -4ac, que representamos pela letra grega ∆ (leia:delta).
Observando a dedução da fórmula de Báscara, podemos concluir que:
A equação do 2° grau tem raízes reais se, e somente se, ∆≥ 0.
As raízes são dadas por:
Temos ainda:
∆>0  as duas raízes são números reais distintos.
∆=0  as duas raízes são números reais iguais.
∆<0  não existem raízes reais.
Exemplo 1
•
•
1) Na equação 3x² +4x +1= 0
Temos: a= 3 b=4 c=1
•
•
•
•
•
∆=b² -4ac=
∆ =4² -4.3.1 =
∆ = 16 – 12 =
∆= 4
Como ∆>0, a equação possui duas raízes reais distintas. As raízes são:
•
•
•
x= - 4 ± √4 = - 4 ±2
2.3
6
x’ = - 4 +2 = -2 = -1
6
6 3
x’’ = - 4 -2 = -6 = -3
6
6 3
Exemplo 2
2) Na equação 9x² + 12 + 4 = 0
• Temos: a= 9 b= 12 c= 4
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
∆=b² -4ac=
∆= 12² - 4.9.4 =
∆=144 – 144=
∆= 0
Como ∆= 0, a equação possui duas raízes reais iguais.
As raízes são:
x’ = -12+ 0 = -2
x= -12 ± √0 =
18
3
2.9
x’’ = -12 – 0 = -2
18
3
Exemplo 3
3) Na equação 2x² + 5x + 9 =0
• Temos: a= 2 b=5 c= 9
•
•
•
•
∆=b² -4ac=
∆=5² - 4 .2. 9=
∆= 25 – 72 =
∆= - 47
Como ∆< 0, a equação não possui raízes reais. O conjunto solução em R é S =Ø.
• 1) O triplo do quadrado do número de filhos
de Pedro é igual a 63 menos 12 vezes o
número de filhos. Quantos filhos Pedro tem?
•
•
•
•
Sendo x o número de filhos de Pedro, temos que 3x2 equivale ao triplo do
quadrado do número de filhos e que 63 - 12x equivale a 63 menos 12
vezes o número de filhos. Montando a sentença matemática temos:
3x2 = 63 - 12x
Que pode ser expressa como:
3x2 + 12x - 63 = 0
Prova: ACEP - 2004 - BNB - Assistente Administrativo
Disciplina: Matemática | Assuntos: Equação de 2º Grau;
• Sabendo-se que 0 < a < b são as raízes da
equação x3 - 4x + x = 0, pode-se afirmar que
• a) a2 + b2 = 14 e ab =-6
• b) a2 + b2 = 14 e a + b = 4
• c) a2 + b2 = 14 e ab = 2
• d) a2 + b2 = 18 e a + b = 4
• e) as respostas acima são todas falsas
R: a
Questão de matemática da IBFC - Equação do segundo
grau
• Para que a equação 2x² + (m - 3)x - (m - 1) tenha raízes
simétricas, o valor de m deve ser:
•
•
•
•
a) 6
b) 4
C) 5
D) 3
Resolução
próximo slide
Se b= 0 , então as raízes serão
simétricas.
Como b= (m-3) , para m-3=0
m=3
R; d
Questões apostila
pag. 58
• 1
• 5
• 9
Raciocínio logico
Habilidades para este tipo de raciocínio é adquirida, não
inata.
Elaborar estratégias mentais para solução de problemas
(de qualquer ordem) é algo que só se consegue
vivenciando a situação, na ação, atividade do sujeito
Quando mais se vivencia, mas existe possbilidades de
aquisição de novas estratégias e, portanto, mais
habilidoso o sujeito se torna
HABILIDADE ≠ DESEMPENHO
Lógica
“A Lógica tem, por objeto de estudo, as
leis gerais do pensamento, e as formas de
aplicar essas leis corretamente na
investigação da verdade”
Origem
• Preocupava-se com as formas de raciocínio
que, a partir de conhecimentos considerados
verdadeiros,
permitiam
obter
novos
conhecimentos.
• A partir dos conhecimentos tidos como
verdadeiros, caberia à Lógica a formulação de
leis gerais de encadeamentos lógicos que
levariam à descoberta de novas verdades. Essa
forma de encadeamento é chamada, em Lógica,
de argumento.
Lógica Matemática
• Princípio da não contradição
• Princípio do terceiro excluído
Proposições
• Sete mais três é igual a dez.
– Declaração (afirmativa)
• Marcone é professor de Contabilidade.
– Declaração (afirmativa ou negativa)
• Maria é linda?
– Interrogativa
• Levante-se.
– Imperativa
Bi-Condicional:
“Se......somente se” ()
A proposição composta
resultante da operação da
dupla implicação de uma
proposição em outra só
será verdadeira se ambas
as proposições envolvidas
na operação tiverem o
mesmo valor lógico (ambas
verdadeiras
ou
ambas
falsas)
Condicional
P
Q
PQ
Verdadeiro Verdadeiro
V
Verdadeiro
Falso
F
Falso
Verdadeiro
F
Falso
Falso
V
Exs. Pag. 64
•
•
•
•
•
•
18) João é mais alto que Pedro, e Antonio é mais baixo que João.
Qual das alternativue as abaixo estaria mais correta:
A) Antonio é mais alto que Pedro
B) Antonio é mais baixo que Pedro
C) Antonio tem a mesma altura Pedro
Joao
D) ë impossível dizer quem é mais alto, se Antonio ou Pedro.
Pedro
Antonio
OU
D)
Exercício
Sejam 9 moedas idênticas na aparência
mas com uma falsa que não se sabe se
mais leve ou mais pesada. Com uma
balança de dois pratos, com três pesadas,
determinar a moeda falsa determinando se
é mais leve ou mais pesada.
Resp. dividir em grupo
moedas.(continua outro slide)
de
tres
v
v
v
vv
v
v
v
v
Pesa-se 2 grupos:
se for igual, a moeda diferente está no outro grupo,
então pese uma moeda de Cada vez e na segunda
pesada já é possivel saber .
Se for diferente: pegar o grupo mais leve ( ou mais
pesado) e pesar uma moeda em cada prato.
v
Questão 1: Considere a seguinte seqüência infinita de números: 3, 12,
27, __, 75, 108,... O número que preenche adequadamente a quarta
posição dessa seqüência é:
a) 36,
b) 40,
c) 42,
d) 44,
e) 48.
Resolução: Verifique os intervalos entre os números dados fornecidos.
Dados os números:
3
12
27
__
75
108,
obtemos os seguintes
15
__
__
33
intervalos. Observamos
+9 =
que
3x3
3x5
3x7
3x9
3x11
Logo:
21
27
Então: 21+27 = 48. A alternativa correta é a E.
2. (Ufrrj 2003) Ronaldo brincava distraído com dois dados que
planificados ficavam da seguinte forma:
Marcelo seu primo, observava e imaginava quais seriam as possíveis somas dos
resultados dos dois dados, se esses, quando lançados sobre a mesa, ficassem
apoiados sobre as suas faces sem numeração.
O resultado da observação de Marcelo corresponde a
a) 3, 4, 6 e 8.
b) 3, 4, 8 e 10.
R: d
c) 4, 5 e 10.
d) 4, 6 e 8.
e) 3, 6, 7 e 9.
Estudar a partir da pag. 60