Amintas
engenharia
Unidade 5 – Produto Escalar e Produto Vetorial
1. Vetores
4.Distâncias
2. Reta
5. Cônicas
3. Plano
6. Superfícies
Uma base é
Sejam u e v, vetores. Se u
formada por
= kv  u, v são L.D  u,
vetores que são L.I. v não formam uma base.
Sejam u, v e w, vetores. Se u = av + bw u, v e
w são L.D u, v e w não formam uma base.
As bases usuais,
E= {(1, 0), (0, 1)}
que são chamadas
de bases canônicas E={(1, 0, 0),(0, 1, 0),(0, 0, 1)}
1.9 Módulo de um Vetor
Módulo de um vetorComprimento de um vetor
Dados os vetores u = (a, b) e v = (a, b, c)
denota-se por módulo de u e módulo de v:
|u| = (a2 + b2)
|v | = (a2 + b2 + c2)
Usando o teorema de Pitágoras, temos:
b
u
|u| = (a2 + b2)
a
1.10 Produto Escalar de Vetores
Geometricamente, utilizamos o produto escalar entre
dois vetores quando o interesse é:
Determinar o ângulo  entre esses vetores.
vetores u = (a1, b1, c1) e v = (a2, b2, c2) é:
u.v = a1.a2 + b1.b2 + c1.c2
Propriedades
u
I) u.v = |u||v|cos 
II) Se u.v = 0  uv

v
Dados os vetores u e v, decompondo v = v1 + v2
com v1 // u e v2  u.
v
v
v2
v2

v1

u
v1
u
O vetor v1 é chamado de projeção ortogonal de v
sobre u e é denotado por:
v1 = projuv
projuv = v.u .u
u.u
O produto vetorial ao contrário do produto
escalar resulta em um vetor.
Notação do produto vetorial: u x v.
Ex: Calcule u x v sendo que u = (a1, b1, c1) e v =
(a2, b2, c2)
i
uxv=
j k
a1 b1 c1
a2 b2 c2
Observações
u x v = - (v x u), a ordem de colocação dos
vetores altera o sentido do vetor resultante.
u x v = 0 se e somente se
u // v (vetores L.D.).
O vetor u x v é
simultaneamente
ortogonal a u e v.
(u x v).u = 0 e (u x v).v = 0
uxv
vxu
v
u
Se  é o ângulo entre os vetores u e v então:
|u x v| = |u||v| sen 
O |u x v| é a área de um paralelogramo de
lados iguais ao |u| e |v|.
|v|

|u|
As retas são funções matemáticas escritas
da seguinte forma: f(x) = ax +b
I)
Equação fundamental
II) Equação Geral
III) Equação vetorial
IV) Equação paramétrica
Ex: Seja A  r e o
ângulo de r com o
eixo
x,
para
a
determinação
da
equação da reta usase (I).
I) Equação fundamental da reta
Sejam os pontos A(x0, y0) e P(x, y)  r. A
equação fundamental da reta é dada por:
r: y - y0 = m(x - x0)
m = tg ,  é o ângulo entre r e o eixo x.
y
y0
P
A
x0

x
tg  = y - y0
x - x0
y - y0 = m(x - x0)
Obs: AP = P - A é chamado
de vetor diretor da reta
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