Vetores no R3
Produzido pelo
Prof. Dr. Luiz Francisco da Cruz
Março - 2009
Representação do R3
Octantes
Z
( X , Y, Z)
1º → (+,+,+)
2º → ( -,+,+)
3º → ( -, -,+)
4º → (+, -,+)
5º → (+,+, -)
6º → ( -,+, -)
7º → ( -, -, -)
8º → (+, -, -)
III
II
(-)
IV
O
(-)
Y
VII
X
VIII
(+)
I
(+)
VI
(+)
(-)
V
ESPAÇO
Representação de um ponto no R3
P(x,y,z)
Z
z
P(x,y,z)
O
x
X
y
Y
Representação de um ponto no 2º Octante
P(-3,3,2)
Z
P
2
-3
O
Y
3
X
Representação de um vetor no R3
P(x,y,z)
v
Z
Podemos identificar o vetor
com o ponto P, ou seja,
v ≡ P(x,y,z)
z
v
O
x
X
P(x,y,z)
y
Y
Expressão Cartesiana de um vetor no R3
Sejam i , j e k vetores unitários do R3 , ou seja, | i | = | j | = | k | = 1
Z
z
v = xi + yj + zk
zk
v
k
P(x,y,z)
yj
i
x
X
xi
j
xi + yj
zk
y
Y
Módulo
Cossenos Diretores de um vetor
No OPQ :
P
z
S
z
y
No OPR :
v

O

y
R
No OPS:

x
Q
x
Operações com vetores na forma cartesiana
Sejam v = (x1,y1,z1) e u = (x2,y2,z2)
1. Adição:
v + u = (x1+x2, y1+y2, z1+z2)
2. Subtração:
v - u = (x1-x2, y1-y2, z1-z2)
3. Produto por escalar: Sejam v = (x,y,z) e  mR
m·v = (mx,my,mz)
Condição de paralelismo entre 2 vetores
Sejam v = (x1,y1,z1) e u = (x2,y2,z2), vetores paralelos.
Então eles são múltiplos, ou seja, existe um escalar
mR, tal que v = m·u. Assim, teremos:
(x1,y1,z1) = m·(x2,y2,z2) = (mx2,my2,mz2)

Condição de coplanaridade entre 3 vetores
Sejam u = (x1,y1,z1), v = (x2,y2,z2) e w = (x3,y3,z3) coplanares.
Então existe uma combinação linear entre eles, ou seja,
existem escalares m e n tais que: u = mv +nw.
u = mv +nw
nw
w
u
v mv
(x1,y1,z1) = m(x2,y2,z2) +n(x3,y3,z3)



=0

Exemplos:
1) Os vetores u = (2,-1,2) e v = (0,1,0) estão aplicados no
mesmo ponto A. Determine um vetor AB, de módulo
,
cuja direção é a bissetriz do ângulo entre os vetores dados.
2) Sejam a = (1,0,0) e b = (1,1,0). Calcule o ângulo entre os
vetores a + b e a – b .
3) Demonstrar a equação do ponto médio de um segmento.