Produtos entre Vetores
Produzido pelo
Prof. Dr. Luiz Francisco da Cruz
Março - 2009
PRODUTO ESCALAR
Definição: Sejam u e v. O produto escalar entre esses
vetores, denotado por u · v , é um número real determinado
por u · v = |u|·|v|·cos, onde  é o ângulo entre u e v.
Propriedades:
1) Comutativa: u · v = v · u,  u e v
2) u · v = 0  um deles é o vetor nulo ou se u e v
são ortogonais ( = 90º)
3) u · u = | u |2
4) (mu)·(nv ) = (m·n)·(u · v ),  u e v e  m e nR
5) ( u + v)·w = ( u · w )+( v · w )
Expressão Cartesiana do Produto Escalar

Interpretação Geométrica do Produto Escalar
Sejam u e v dois vetores quaisquer. Então existe um vetor a paralelo
a u e um vetor b ortogonal a u, tais que v = a + b.
Vamos determinar a projeção do vetor v na direção do vetor u.
v
b
a
u





PRODUTO VETORIAL
Definição: Sejam u e v. O produto vetorial entre esses
vetores, denotado por u  v , é vetor com as seguintes
características:
Módulo:
u x v = u v senθ
Direção: Ortogonal ao plano que contem u e v.
Sentido: Regra da mão direita.
Propriedades do Produto Vetorial
Expressão Cartesiana do Produto Vetorial
k
i
j
Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Vetorial
Sejam u e v dois vetores não paralelos.


PRODUTO MISTO
Definição: Sejam u , v e w . O produto misto entre esses
vetores é um número real, denotado e definido por:
Expressão Cartesiana do Produto Misto
Propriedades do Produto Misto
Lembrando que:
é a condição de coplanaridade entre 3 vetores. Logo:
Interpretação Geométrica do Produto Misto
Sejam u , v e w três vetores não coplanares.
Exercícios