Vetores III
Produto Escalar

Dados dois vetores u e v não nulos, e
escolhido um ponto O qualquer, temos:
A=O+u e B=O+v

Chamamos ângulo de u e v a medida do
ângulo AÔB determinado pelas semi-retas
OA e OB

Indicamos AÔB=(u,v), onde 0<=(u,v)<=π

Observe que se (u,v) = 0, os vetores u e v
têm mesmo sentido e se (u,v) = π , estes
vetores têm sentidos contrários
Produto Escalar
Sejam u e v vetores não nulos.
 O produto escalar de u por v, indicado
por u . v, é o número real u . v = | u | | v |
cos(u,v)


Se um dos vetores for nulo temos u . v = 0
Exemplo
Considere um quadrado ABCD de lado 2u:
 1) AB . BC = | AB| | BC| cos 90º = 0
 2) AB . AC = | AB| | AC| cos 45º = 4
 3) AB . CD = | AB| | CD | cos180º = -4.

Produto Escalar

Sejam u um vetor não nulo e v um vetor
qualquer.
u

v
O vetor v se exprime de maneira única na
forma v=v1+v2, onde v1 é paralelo a u e v2
é ortogonal a u
Produto Escalar

Chamamos o vetor v1, de projeção de v
na direção de u e indicamos por
projuv=v1
Interpretação Geométrica

Se v é um vetor qualquer e u um vetor
unitário, então v1=proju v = (v . u) u

Como v1 // u, temos v1=t u

Basta mostrar que v . u = t
Interpretação Geométrica
O ângulo θ=(u, v) é agudo
 Temos t > 0, e daí | v1 | =| t | | u |= t

Interpretação Geométrica
Por outro lado, o triângulo ABC é
retângulo em A
 t=|v1|=|v| cosθ =| v | | u | cos θ = v . u

O ângulo θ’=(u, v) é obtuso
 temos t < 0, e daí | v1 |= | t | | u |=- t
 Além disso, o ângulo (u, v) = π-θ


Considere o triângulo retângulo EFG

t =-|v1|=-|v|cosθ=-|v||u|cosθ=|v||u|cos(π-θ)
=v.u
Medida Algébrica

Se 0≠| u |, temos proju v = projuº v=(v.uº)uº

Chamamos v.uº, a medida algébrica da
projeção de v na direção de u e
indicamos med alg proju v
Exemplo
Dados u≠0, |v|=6 e (u,v) = 60º, temos:
 med alg proju v=v.uº= | v || uº| cos 60º=
6x1x1/2=3


Daí, proju v=3uº
Exemplo
Dados a ≠ 0 , | b| = 8 e ( a , b) =120º
 med alg proja b = b . aº = | b | | aº |
cos120º = 8x 1x -1/2 =-4


Daí, proja b = -4aº
Propriedades
1) v . u = u . v
 2) u . v = 0  u é ortogonal a v
 3) u . u = |u|2
 4) t (v . u) = (t v ). u = v .(t u)

Propriedades
5) u .( v +w ) = u.v + u.w
 Nas propriedades, u, v e w são vetores
quaisquer e t é um número real
 As quatro primeiras propriedades
decorrem diretamente da definição do
produto escalar

Propriedade 5 (prova)
Se um dos vetores for nulo, a verificação é
imediata.
 Considere, na figura, os vetores u , v e w
não nulos e os pontos O, A, B e C

A=O+v,B=A+weC=O+u
 observe que: med alg proju (v +w) =
med alg proju v + med alg proju w
 ( v+ w ). u° = v . u° + w . u°
 ( v+ w ).(| u |u° ) = v .(| u |u° ) + w.(| u |u°)
 Então, ( v +w ) . u = v . u + w . u
 Pela propriedade 1, temos: u . ( v + w ) =
u.v +u.w

Expressão Cartesiana
Dada uma base ortonormal { i, j, k} e os
vetores u =(x1, y1, z1) e v= (x2 , y2 , z2 )
 u . v = (x1i+ y1j+ z1k) . ( x2 i+ y2 j+ z2k)


=(x1x2)i.i+(x1y2)i.j+(x1z2)i.k+(y1x2)j.i+ (y1y2)j.j
+(y1z2)j.k+(z1x2)k.i+(z1y2)k.j+(z1z2)k.k
Como { i , j, k} é uma base ortonormal,
seus vetores satisfazem às relações:
 i . j = j . k = k . i = 0 e i . i = j . j = k . k =1


u . v = x1x2 + y1y2 + z1z2

| u |2 = u . u = x12 + y12 + z12
| u |=

uv  u . v = x1x2 +y1y2 +z1z2= 0
Exemplo
Dados os vetores u = (1,2,2) e v = (2,0,2),
temos
u.v=?
 | u |= ?
 uº = ?

Exemplo
Dados os vetores u = (1,2,2) e v = (2,0,2),
temos
u.v=2+0+4=6
 | u |= 1  4  4  9  3
 uº = u/|u|= 1/3(1,2,2)





cos(u, v) = ?
sendo w = (0,2,-2), w  u?
med alg proju v = ?
proju v = ?




cos(u, v) = (u .v)/(| u || v |) = 2 / 2
sendo w = (0,2,-2), u w pois u .w =0
med alg proju v = v . uº = 2
proju v = (v . uº)uº = ((2,0,2).(1/3,2/3,2/3))
(1/3,2/3,2/3) = (2/3,4/3,4/3)