Física I-A
Prof. Rodrigo B. Capaz
Instituto de Física
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Informações Gerais
Turmas: IQG + NTA + IGM
Horário: 4as. e 6as. 13-15h
Sala: A-343 (Aulas Magnas), A-327 (Aulas de Exercícios)
Professores:
- Rodrigo Capaz ([email protected]), Atendimento: 6as. 12-13h, A-432
- Daniel Kroff ([email protected]), Atendimento: 3as. 15-16h, A-318-3
Monitoria: Diversos horários (ver webpage)
Webpage: http://omnis.if.ufrj.br/~victor/Pub_FisIA2011/Afisica/index.html
Provas: P1 – 29/09, P2 – 29/11, PF – 13/12, 2a. Chamada – 20/12
Livro-Texto: Física I – Mecânica, Sears & Zemansky - Young & Freedman,
12a. Edição - Pearson Addison-Wesley
Capítulo 1 – Unidades, Grandezas
Físicas e Vetores
Introdução
Por que estudar Física?
•
•
A mais fundamental das ciências
Sonho de Laplace
Laplace (1749-1827)
Universo
determinístico
“Suponha-se uma inteligência que
pudesse conhecer todas as forças
pelas quais a natureza é animada e
o estado em um instante de todos
os objetos - uma inteligência
suficientemente grande que pudesse
submeter todos esses dados à
análise -, ela englobaria na mesma
fórmula os movimentos dos maiores
corpos do universo e
também dos menores átomos: nada
lhe seria incerto e o futuro, assim
como o passado, estaria presente
ante os seus olhos.”
Introdução
Por que estudar Física?
•
•
A mais fundamental das ciências
•
A base de toda engenharia e tecnologia
“desde uma pequena ratoeira a uma grande espaçonave”
Exemplo 1: Transistor e computadores
Bardeen, Shockley e Brattain
Nobel de Física– 1956
1o transistor (1947)
Jack Kilby
Ano 2000: Pentium 4
42 milhões de
transistores !!!
1o
“chip” (1958)
Nobel de Física– 2000
Exemplo 2: GPS (“global positioning system”)
Albert Einstein
Efeitos relativísticos na
marcação do tempo
Física Básica e
Física Aplicada
Michael Faraday
Ao ser perguntado para que servia sua recente descoberta da
indução eletromagnética, respondeu:
“Para que serve um bebê recém-nascido?”
Importância da ciência básica, sem compromisso com aplicações
imediatas
Introdução
Por que estudar Física?
•
•
A mais fundamental das ciências
•
A base de toda engenharia e tecnologia
•
Por prazer!
• De entender e participar de uma das maiores aventuras do
intelecto e do engenho humano
• De apreciar a beleza contida na ordem e na regularidade da
natureza
1.1 – A natureza da Física
A Física é uma ciência experimental: A “resposta” da Natureza é o
veredito supremo de uma teoria física.
Oposto ao idealismo de Hegel, que na sua dissertação de 1801, "As
Órbitas dos Planetas", demonstrava que não podia existir mais do
que sete planetas; e, se isso contrariasse os fatos, pior para os
fatos...
A “arte” da Física está em:
1. O que e como perguntar à Natureza (experimento)?
2. Como interpretar suas respostas (teoria)?
O diálogo entre teoria e experimento é coordenado pelo MÉTODO
CIENTÍFICO
O MÉTODO CIENTÍFICO
OBSERVAÇÃO
EXPERIMENTAÇÃO
MODELAGEM
PREVISÃO
Quando as previsões não são confirmadas pelas novas observações,
a teoria está incorreta ou então as observações foram feitas fora de
seu domínio de validade
Exemplo: Mecânica Clássica não é válida para objetos com
velocidades próximas à da luz (Relatividade) ou na escala atômica
(Mecânica Quântica)
A Matemática é a linguagem da Física
“A ciência está escrita neste grande livro
colocado sempre diante de nossos olhos – o
Universo – mas não podemos lê-lo sem
apreender a linguagem e entender os símbolos
em termos dos quais está escrito. Este livro está
escrito na linguagem matemática.”
Galileu Galilei (1564-1642)
1.2 – Solução de problemas de Física
Entendo os conceitos, mas não
consigo resolver os problemas...
Fazer Física é resolver problemas!
Estratégia:
1.
2.
3.
4.
IDENTIFICAR os conceitos relevantes: modelagem
PREPARAR o problema: escolha das equações
EXECUTAR a solução: matemática
AVALIAR se a resposta faz sentido
Modelo: versão simplificada de um sistema físico,
contendo apenas os ingredientes essenciais para a
solução de um determinado problema
Exemplo: Planeta Terra
1. Geofísica:
Terra não-esférica
2. Estudo da rotação:
Terra esférica
3. Estudo da translação:
Terra como “partícula”
1.3 – Padrões e unidades
Grandeza Física: “Propriedade de um fenômeno, corpo ou substância
que pode ser expressa sob a forma de um número e uma referência
(padrão)”. (VIM – Vocabulário Internacional de Termos Gerais e
Fundamentais de Metrologia)
Exemplo: altura = 1,73 m
Valor
Unidade (definida através
de um padrão)
Sistema de unidades: “Sistema Internacional (SI)”
Grandezas e Unidades Fundamentais do S.I.
Demais unidades podem ser obtidas a partir das unidades fundamentais
Exemplo: newton: N = kg.m/s2
Padrão do tempo
• Até 1956, 1 s =1/86400 do dia solar médio (média sobre o ano de
um dia)
• 1967: 1s = 9.162.631.770 períodos da radiação de uma transição
atômica do Césio 133 (definição a partir do relógio atômico).
International Atomic Time
Relógio Atômico: evolução da precisão
NIST-F1: precisão de 1s em
27 milhões de anos!
NIST-F1
Escalas de
Tempo
Padrão do comprimento
1791- 1 metro = 10 -7 da distância do polo norte ao equador
(meridiano de Paris)
1797- Barra de platina
1960- 1.650.763,73 comprimentos de onda de uma emissão do Kr
1983- Distância percorrida pela luz no vácuo em 1/299.792.458 de
segundo.
A velocidade da luz é definida como c = 299.792.458 m/s.
Escalas de Comprimento
Padrão da massa
1889: 1 quilograma = massa de
uma peça de Platina-Irídio
colocada no IBWM
Único padrão que ainda é definido
através de um artefato: deverá ser
redefinido em breve
Escalas de Massa
Prefixos SI
1.4 – Coerência e conversão de unidades
Toda equação deve ter coerência dimensional e de unidades
Exemplo:
d  vt
Se d está expresso
em metros…
… então vt deve ser
expresso em metros
também.
 m
10 m   2 5s 
 s
Dica: Ao colocar os valores numéricos das grandezas físicas em
uma equação, inclua sempre as unidades correspondentes!
Conversão de unidades
Exemplo 1.1 (Y&F) – O recorde mundial de velocidade no solo é de
1228 km/h. Expresse esta velocidade em m/s.
v  1228 ,0
Então:
km
h
Sabemos que:
1km  103 m e 1h  3600s
103 m
v  1228,0 
 341,11 m/s
3600s
Exemplo 1.2 (Y&F) – O maior diamante do mundo tem volume de
1,84 polegadas cúbicas. Qual é o seu volume em centímetros
cúbicos? E em metros cúbicos?
V  1,84 pol3
Então:
Sabemos que:
1pol  2,54cm
V  1,84 2,54 cm  1,84 2,54 cm3  30,2 cm3
3
Em metros cúbicos:
3
Sabemos que
1cm  10-2 m
Então:

2

3
V  30,2 cm  30,2 10 m  30,2 106 m3  3,02105 m3
3
1.5 – Incerteza e algarismos significativos
Toda medida física tem uma
incerteza associada e o
resultado só pode ser
expresso até o último
algarismo significativo.
Estação de trem de Rio Grande da Serra
(SP): Altitude com precisão de milímetros!
Maneiras distintas de expressar a incerteza:
a. 56,47 ± 0,02
valor real entre 56,45 e 56,49
b. 1,6454(21) = 1,6454 ± 0,0021
c. Fracionária ou percentual: 47 ± 10% = 47 ± 5
d. Implícita: 2,91 = 2,91 ± 0,01 (incerteza no último significativo)
Operações matemáticas com algarismos significativos
Operações de multiplicação ou divisão: Número de A.S. do
resultado é igual ao menor número de A.S. entre os fatores
Exemplos: (0,745 2,2) / 3,885  0,42
(1,32578107 )  (4,11103 )  5,45104
Operações de soma ou subtração: Número de A.S. do resultado é
determinado pela casa decimal com maior incerteza entre os termos
da operação
Exemplo: 123,62  8,9  132,5
1.6 – Estimativas e ordens de grandeza (leitura)
1.7 – Vetores e soma vetorial
Grandezas escalares: Especificadas por um único número (com
unidade).
Exemplos: massa, trabalho, energia, temperatura, carga elétrica
Grandezas vetoriais: Especificadas por um módulo, direção e
sentido (com unidades também).
Exemplos: deslocamento, velocidade, força, momento linear, torque,
momento angular.
Vetor Deslocamento
P2
Posição final P2

r

r
Deslocamento
P1
Posição inicial P1
Deslocamento depende apenas das
posições inicial e final – não da trajetória
Vetores paralelos: mesma direção e sentido

A

B

A
Vetores antiparalelos: mesma direção e sentido oposto

C

A
Vetores idênticos: mesmo módulo,
direção e sentido
Vetor negativo: mesmo módulo e
direção, porém sentido contrário

A
 
A  A
 Diz-se que o vetor

B   A B é o negativo do
vetor A

Módulo de um vetor (notação): A ou A
Soma de dois vetores:
    
C  A B  B  A
Comutativa
Soma gráfica:

A

B
  
C  A B
  
C  B A

B

A

A

B
  
C  A B

Soma de vários vetores:
Associativa

C

B
A



R
A


C

B
 
 

Subtração de vetores: A  B  A   B

A


B


A

B
 
A B

         
R  A B C  A B C  A B C


A
 
A B


B

A

B



Multiplicação de um vetor por um escalar: (Exemplo: F  ma )

A

2A

 0,5 A
1.8 – Componentes de vetores
y

Ay
O

A
  
A  Ax  Ay

Vetores componentes de

Ax
Ax  A cos
Ay  A sen
x
Componentes de

A
(escalares, podem ser negativos)
y

B

By

Bx
O
Bx  B cos  0

x

A
Cálculos de vetores usando componentes
y
1. Módulo e direção

Ay

A  A  Ax2  Ay2
tg 
Ay
Ax
   arctg
Ay
Ax  2 m, Ay  2 m


Ax
O
Ax
Cuidado! Ambiguidade: 2 valores
possíveis de θ para um dado valor
de tg θ – Analisar sinais das
componentes
Exemplo:

A
y
x
135
Ax  2 m
x
315
Ay  2 m

A


D  cA  Dx  cAx , Dy  cAy
2. Multiplicação por um escalar
  
R  A  B  Rx  Ax  Bx , Ry  Ay  By
3. Soma vetorial:
y
By

R
Ay

A
Ry
O

B
Bx
Ax
Rx
x
Exemplo 1.8 (Y&F) – SOMA DE VETORES EM 3D – Depois da
decolagem, um avião viaja 10,4 km do leste para oeste, 8,7 km do
sul para norte e 2,1 km de baixo para cima. Qual é a sua distância
ao ponto de partida?
altura
2,1 km
S
10,4 km
L
O
8,7 km
N
A  Ax2  Ay2  Az2

10,4 km2  8,7 km2  2,1 km2
 13,7 km
1.9 – Vetores unitários
• Têm módulo igual a 1
• Não possuem unidade
• Indicam uma direção e sentido

Ax  Axiˆ

Ay  Ay ˆj
  
A  Ax  Ay  Axiˆ  Ay ˆj
y

Ay
ˆj

Ax
O ˆ
i
x
y
ˆj
Em 3D:

A  Axiˆ  Ay ˆj  Az kˆ

A
kˆ
z
iˆ
x
Soma usando vetores unitários:

A  Ax iˆ  Ay ˆj

B  Bx iˆ  B y ˆj
  
R  A B
 Ax iˆ  Ay ˆj  Bx iˆ  B y ˆj

 
  Ax  Bx iˆ  Ay  B y  ˆj
 Rx iˆ  R y ˆj

1.10 – Produtos de vetores
Produto escalar

B

B cos
 
 
Definição: A  B  AB cos   A B cos

A
 
A  B  B A cos 
De maneira equivalente:
A cos

B


A

B
Casos particulares:
 
Se 0    90 , A  B  0, porquecos  0.


 
Se 90    180 , A  B  0, porquecos  0.


B

 

Se   90 , A  B  0, porque cos90  0.



A

B

A
vetores ortogonais
 
Se   0 , A  B  AB, porquecos0  1.

vetores paralelos
 
Se   180 , A  B   AB, porquecos180  1.

vetores antiparalelos

A

B

B

A
180

A
Produto escalar usando componentes
Produto escalar entre os vetores unitários:
iˆ  iˆ  ˆj  ˆj  kˆ  kˆ  (1)(1) cos0  1
iˆ  ˆj  ˆj  kˆ  iˆ  kˆ  (1)(1) cos90  0
Assim:


 
A  B  Axiˆ  Ay ˆj  Az kˆ  Bxiˆ  By ˆj  Bz kˆ
 Axiˆ  Bxiˆ  Ax iˆ  By ˆj  Axiˆ  Bz kˆ
 Ay ˆj  Bx iˆ  Ay ˆj  By ˆj  Ay ˆj  Bz kˆ
 Az kˆ  Bx iˆ  Az kˆ  By ˆj  Az kˆ  Bz kˆ
 
A  B  Ax Bx  Ay By  Az Bz

Aplicação: Uso do produto escalar para calcular ângulos entre vetores
Problema 1.90 (Y&F): Ângulo entre ligações químicas no metano (ou
no diamante, ou no silício…)
Dados: Uma das ligações está ao longo da direção iˆ  ˆj  kˆ ,
enquanto que outra está ao longo de iˆ  ˆj  kˆ .
 
A  B  AB cos
 
A B
cos 
AB
Calculando os módulos:

 A  iˆ  ˆj  kˆ

 B  i  ˆj  kˆ

A  A  (1) 2  (1) 2  (1) 2  3

B  B  (1) 2  (1) 2  (1) 2  3
Calculando o produto escalar:
 
A  B  (1)(1)  (1)(1)  (1)(1)  1 1 1  1
Podemos então calcular o ângulo:
1
1

3
3 3
 1
  arc cos    109,47
 3
cos 
Produto vetorial
  
C  A B
Módulo: C  AB sen
Direção: Ortogonal a ambos os
fatores do produto.
Sentido: Determinado pela regra
da mão direita
Note que o produto vetorial não
é uma operação comutativa:
 
 
A  B  B  A
Interpretação geométrica

B
C  AB sen
Bsen


A

Produto do módulo de A pela componente


de B na direção ortogonal a A
Casos particulares
 

Se   90 , A B  AB, porquesen 90  1.

B

A
vetores ortogonais
 
Se   0 , A B  0, porquesen 0  0.

vetores paralelos
 
Se   180 , A B  0, porquesen 180  0.

vetores antiparalelos

B

B

A
180

A
Produto vetorial usando componentes
Produto vetorial entre os vetores unitários:
y
iˆ  iˆ  ˆj  ˆj  kˆ  kˆ  0
Pela regra da mão direita obtemos:
iˆ  ˆj   ˆj  iˆ  kˆ
ˆj  kˆ  kˆ  ˆj  iˆ
kˆ  iˆ  iˆ  kˆ  ˆj
Lembre-se: permutações cíclicas
ˆj
kˆ
z

iˆ  ˆj  k  iˆ  ˆj...
iˆ
x
Assim:


 
A  B  Axiˆ  Ay ˆj  Az kˆ  Bxiˆ  By ˆj  Bz kˆ

 Axiˆ  Bx iˆ  Ax iˆ  By ˆj  Ax iˆ  Bz kˆ
 Ay ˆj  Bx iˆ  Ay ˆj  B y ˆj  Ay ˆj  Bz kˆ
 Az kˆ  Bx iˆ  Az kˆ  B y ˆj  Az kˆ  Bz kˆ
 
A  B  Ay Bz  Az By iˆ   Az Bx  Ax Bz  ˆj  Ax By  Ay Bx kˆ
iˆ
Ou na forma de um determinante:
 
A  B  Ax
Bx
ˆj
kˆ
Ay
By
Az
Bz
Próximas aulas:
6a. Feira 12/08: Aula de Exercícios (sala A-327)
4a. Feira 17/08: Aula Magna (sala A-343)