Noções sobre Vetores
Produto escalar
O produto escalar dos vetores de dimensão n:
a = (a1,a2,...an) e b = (b1,b2,...,bn), é definido por:
n
a.b = a1b1 + a2b2 + ...+ anbn =
a b
i 1
Exemplo
Calcule o produto escalar de
i i


u = (1,-2,3,4) e v = (2,3,-2,1).
 
u . v = 1.2 + (-2).3 + 3.(-2)+ 4.1 = -6
Noções sobre Vetores
Ângulo entre dois vetores
O produto escalar entre dois vetores resulta num número que mede a tendência
de outro vetor apontar na mesma direção e é dado por:
  
u.v  u . v . cos
 
onde  é o ângulo formado por u e v

u


v
.
Noções sobre Vetores
Exemplo


Encontre o ângulo entre os vetores u = (2,4) e v = (-1,2).
  
u.v  u . v . cos
 
u . v = 2.(-1) + 4.2 = 6

u  2 2  4 2  20

v  (1) 2  2 2  5
6
 0,6
Portanto, cos 
20. 5
Usando a calculadora, descobrimos que o ângulo é aproximadamente 53º.
Noções sobre Vetores
Ângulo entre dois vetores

u


v
  
u.v  u . v . cos


u0

Se u .v  0 e
v0
então, cosseno   0
Neste caso, os vetores são perpendiculares entre si.
Noções sobre Vetores
Ângulo entre dois vetores
 


u . v  0  cos   0  u  v
O produto escalar entre dois vetores não nulos é zero se, e só se, o cosseno do
ângulo entre eles é zero e, isto só acontece quando os vetores são perpendiculares .
Exemplo


Os vetores u = (2,-4) e v = (4,2)
são ortogonais, já que:

u.v  2.4  (4).2  0
Noções sobre Vetores
Ângulo entre dois vetores


u
u
=>
  
u.u  u . u . cos
 

Mas,   0 , logo u . u  u
Temos então que:
2
 2
u.u  u
2

u  u

.
u
Noções sobre Vetores
Comprimento ou norma de um vetor
O comprimento, tamanho ou norma de um vetor

2
2
u  x1  y1
y

y1
u
0
x1
x
Além disso, dado um escalar , pertencente a :


.u   . u

u = (x1,y1) é:
Noções sobre Vetores
Versor ou Vetor unitário
Um vetor unitário é um vetor de comprimento 1. Se
nulo, então o vetor:

x
 1
u   .x
x
é um vetor unitário com a mesma direção e sentido que
é um vetor não-

x.
Noções sobre Vetores
Exemplo
Seja x = (-3,4). Então:

x  (3) 2  4 2  5
Logo, o vetor
 1
1
 3 4
u   .x   3,4  
 
x
5
 5 5
É um vetor unitário, pois:

9  16
 3  4
u  
1
   
25
 5  5
2
2
Noções sobre Vetores
Produto vetorial
Diferentemente do produto escalar, que dá como resultado um número, o
produto vetorial tem como resultado, um outro vetor.
Definição: Sejam = a1î + b1ĵ + c1k e = a2î + b2ĵ + c2k dois vetores em 3.
Seu produto vetorial é o vetor x definido por:
i
 
u  v  a1
a2
j
k
b1
b2
c1
c2
Noções sobre Vetores
Produto vetorial
A igualdade anterior também pode ser escrita da seguinte forma:
  b1
u v 
b2
c1
c2
.i 
a1
c1
a2
c2
.j 
a1
b1
a2
b2
.k
Exemplo:
Sejam =2î + j + 2k e = 3î –j – 3k, então:
i
j
k
 
u v  2 1
2  1i  12 j  5k  (1,12,5)
3 1  3
Noções sobre Vetores
Produto vetorial
O produto vetorial de um vetor consigo mesmo não forma ângulo. Eles
são coincidentes. Logo, î x î = j x j = k x k = 0
Por outro lado,
î x j = k;
j x k = î;
k x î = j.
Noções sobre Vetores
Norma do produto vetorial
Vimos que o produto de dois vetores resulta num terceiro vetor ortogonal
ao plano que contém os vetores originais. O comprimento desse
terceiro vetor, ou seja, sua norma, é numericamente igual à área do
paralelogramo formado por esses vetores.
uxv
v
|u x v| = área do
paralelogramo
 
 
u  v  u . v .sen
u