Vetores uma
introdução
Professor: Antonio dos Anjos Pinheiro da Silva
Tutor: Gustavo Luz
VETORES – UMA INTRODUÇÃO
Grandezas Físicas
Escalares e Vetoriais

O conceito de vetor foi introduzido na matemática por
físicos para representar quantidades com direção
ALGUNS EXEMPLOS

Velocidade, força, deslocamento
VETORES - DEFINIÇÃO

Vetores são grandezas físicas que ficam completamente
caracterizadas estabelecendo para a mesma
uma
intensidade e uma ORIENTAÇÃO (direção e sentido)
REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA

Vetores se combinam segundo as regras da
álgebra vetorial
OPERAÇÕES VETORIAIS
SOMA

Como somar dois vetores?


A  B
SOMA DE VÁRIOS VETORES
Regra Geral: Traça-se os vetores unindo a origem de cada um com extremidade do outro.
O vetor soma (R) é obtido unindo a origem do 1º vetor à extremidade do último
vetor.
Dado os vetores abaixo:
A
B
A
C
D
B
C
R
D
VETORES UNITÁRIOS
BASE CANÔNICA
OPERAÇÕES VETORIAIS
PRODUTO

Como multiplicamos dois vetores? Há duas
formas: uma delas conduz a um número e a
outra produz um novo vetor
O PRODUTO ESCALAR
DEFINIÇÃO


Como fazer esse produto entre os vetores A e B ?
Projetamos
geometricamente


A na direção de B
e multiplicamos por B (ou vice
versa). Assim:
 
A cos
A B  ( A cos ) B  ( B cos ) A
   
Note que:
A B  B  A
B
O resultado do produto escalar de
dois vetores é um escalar.

B
PROPRIEDADES DO PRODUTO
ESCALAR
PRODUTO ESCALAR ATRAVÉS
DAS COMPONENTES
O produto escalar de dois vetores em termos das suas
componentes cartesianas
 
AB ( Ax iˆ Ay ˆj  Az kˆ )  ( Bx iˆ  B y ˆj  Bz kˆ )
 Ax Bx iˆiˆ Ax B y iˆ ˆj  Ax Bz iˆkˆ
 Ay Bx ˆjiˆ Ay B y ˆj ˆj  Ay Bz ˆjkˆ
 Az Bx kˆiˆ Az B y kˆ ˆj  Az Bz kˆkˆ
iˆ iˆ  ˆj  ˆj  kˆ  kˆ  1 e iˆ ˆj  iˆkˆ  kˆ  ˆj  0 ,
 
AB  Ax Bx  Ay B y  Az BZ
APLICAÇÕES DO PRODUTO ESCALAR
APLICAÇÕES DO PRODUTO ESCALAR
PRODUTO VETORIAL

A
o produto vetorial de dois vetores
Definição:

 (   
por A B, é um vetor
C C  A B )
tal que:
i) a

direção de C
plano formado por

eB

C
é perpendicular ao

B
 
A e B;

A
ii) o seu módulo é igual à área do
 
paralelogramo formado por A e B:
C  A B sen 

B

iii) o seu sentido segue à regra da mão
direita (figura).
O produto vetorial não é comutativo:
 
 
A B   B  A


A

C
, representado
PRODUTO VETORIAL DOS VETORES DA
BASE CANÔNICA
Sejam os vetores da base canônica
iˆ, ˆj, kˆ
PRODUTO VETORIAL - EXEMPLO
EXERCÍCIO PROPOSTO
1) Das
operações abaixo quais são possíveis e quais são os resultados?
Explique o significado geométrico do item d).
a)
b)
c)
d)
(2iˆ  3iˆ)  4 ˆj
(2 ˆj  4 ˆj )  3kˆ
(2iˆ  3 ˆj )  4iˆ
(2iˆ  3 ˆj )  4kˆ
Resp: volume do paralelepípedo formado
pelos três vetores.
EXERCÍCIO PROPOSTO


a  4,0iˆ  3,0 ˆj e b  6,0iˆ  8,0 ˆj
2) Dados os vetores:
Determinar: 
a) o módulo de a 
iˆ 
b) o ângulo de a  b com 
c) o módulo e o ângulo de b  a com ˆj
  
d) o ângulo entre as direções de b  a e a  b