16.21 Técnicas de Análise e Projeto Estrutural
2º Trimestre de 2003
Unidade N.º 2 – Equilíbrio de Tensão e Momento
Tensão em um ponto
Vamos considerar as forças exercidas sobre o material. Estas podem ser internas ou
externas. As forças externas apresentam-se em dois “sabores”: as forças do corpo (dadas
por massa unitária ou volume) e forças de superfície (dadas por área unitária). Se
cortarmos um corpo de material em equilíbrio sob um conjunto de forças externas ao
longo de um plano, como mostrado na Figura 1, e considerarmos um lado do mesmo,
chegaremos a duas conclusões: 1) o equilíbrio fornecido pelas cargas a partir do lado
extraído é fornecido por um conjunto de forças que são distribuídas entre as partículas
de material adjacentes ao plano de corte e que deverá fornecer um conjunto equivalente
de forças àquelas carregando a parte extraída, 2) estas forças agora podem ser
consideradas como forças de superfícies externas atuando sobre a parte do material sob
consideração.
O vetor de tensão em um ponto em ∆S é definido como:
Se o corte tiver sido efetuado através do mesmo ponto em consideração, porém ao longo
do plano com uma normal diferente, o vetor de tensão t teria sido diferente. Vamos
considerar os três vetores de tensão t(i) atuando sobre a normal dos planos em relação
aos eixos das coordenadas. Vamos também desmembrar cada t(i) em seus três
componentes no sistema coordenadas ei (isto pode ser feito para qualquer vetor) como
(veja na Figura 2):
1
Forças da superfície
Forças do corpo
Forças do corpo
Figura 1: A força da superfície f na área ∆S da seção transversal pelo plano cuja normal
é n.
é o componente do vetor de tensão t(i) ao longo da direção ej.
Figura 2: Componentes de tensão
Tensor de tensão
Poderíamos ficar analisando diferentes planos passando através do ponto com normais
diferentes e, portanto, vetores de tensão diferentes t(n) e ficaríamos surpresos se existir
alguma relação entre eles ou se eles são todos independentes. A resposta para esta
pergunta é fornecida recorrendo-se ao equilíbrio no tetraedro (reduzido) do material da
Figura 3.
2
A área das faces do tetraedro é ∆S1,∆S2,∆S3 e ∆S. Os vetores de tensão nos planos com
as normais invertidas t (–ei) foram substituídos por –t(i) utilizando a terceira lei de ação
e reação de Newton (que de fato deriva-se do equilíbrio): t(–n) = –t(n)
Enfatizando o equilíbrio, temos:
Figura 3: Tetraedro de Cauchy representando o equilíbrio de um tetraedro reduzido a
um ponto.
onde ∆V é o volume do tetraedro e f é a força do corpo volume unitário. A seguinte
relação:
resultou no seguinte aparte matemático:
Em virtude do Teorema de Green:
3
aplicado à função
obtemos:
que aplicada ao nosso tetraedro produz:
Se tomarmos o produto escalar desta equação com ei, obteremos:
ou
podem ser substituídas na equação 3 para obter:
ou
O fator em parênteses é a definição do tensor de tensão de Cauchy
Observe que esta é uma expressão tensorial (independente dos componentes do vetor e
tensor em um sistema particular de coordenadas). Para obter os componentes tensoriais
em nosso sistema retangular, substituímos as expressões de t(i) da Equação 2.
Substituído na Equação 4:
ou
4
Transformação dos componentes de tensão
Considere um sistema diferente das coordenadas cartesianas
nosso tensor em cada uma das equações:
Podemos expressar
Gostaríamos de relatar os componentes de tensão em um dos dois sistemas. Para este
fim, tomamos o produto escalar do (10) com
e
ou
Os fatores em parênteses são os direcionadores dos co-senos dos ângulos entre os eixos
das coordenadas original e primária.
Tensão e direções principais
Dados os componentes do tensor de tensão em um determinado sistema de coordenadas
a determinação da normal máxima e das tensões de cisalhamento é critica para o projeto
de estruturas. Os componentes da normal e da tensão de cisalhamento em um plano com
a normal n são dados por:
A partir destas equações é óbvio que a componente normal atinge o seu máximo
quando os componentes de cisalhamento são zero. Neste caso:
ou nos componentes:
5
o que significa que as tensões principais são obtidas resolvendo-se o problema de valor
“eigen” anterior, as principais orientações são os vetores “eigen” do problema. Os
valores “eigen”
são obtidos observando-se que a última identidade pode ser atendida
para o n não trivial somente se o fator for singular, isto é, se a sua determinante for
eliminada:
o que conduz à equação característica:
onde:
são chamadas de invariantes de tensão porque elas não dependem do sistema de
coordenadas por escolha.
Equilíbrio de momento angular e linear
Iremos derivar as equações de equilíbrio dos momentos de forma integral, uma vez que
esta fórmula é mais alinhada com nossa aproximação “integral” neste curso. Partiremos
da definição de momento linear e angular. Para um elemento de material na posição x
de volume dV, densidade ñ, massa ñdV que permanece constante, movendo-se a uma
Os
velocidade v, o momento linear é ñvdV e o momento angular é
momentos totais do corpo são obtidos pela integração sobre o volume como sendo
respectivamente:
e
O princípio da conservação do momento linear afirma que a taxa de alteração do
momento linear é equivalente à soma de todas as forças externas atuando sobre o corpo:
6
onde
é a derivada total. O lhs podem ser expandidos como:
porém
a partir da conservação da massa, de modo que o princípio é lido
como segue:
Agora, utilizando o que aprendemos sobre as trações e suas relações com o tensor de
tensão:
Esta é a equação de equilíbrio do momento linear em sua forma integral. Podemos
substituir a integral da superfície pela integral do volume com auxílio do teorema de
divergência:
e então (18) torna-se:
Uma vez que este princípio aplica-se a um volume arbitrário de material, o integrando
dever ser eliminado:
Esta é uma equação de equilíbrio do momento linear em sua forma diferencial. Em
componentes:
Equilíbrio do momento angular e a simetria do tensor de tensão
O princípio da conservação do momento angular afirma que a taxa de alteração do
momento angular é equivalente à soma do momento de todas as forças externas atuando
sobre o corpo:
7
Pode ser escrito convenientemente como
Utilizando
o teorema da divergência e (19), esta expressão conduz ao (veja
o problema da tarefa de casa):
a qual se aplica a um volume arbitrário V, e, portanto, somente pode ser atendida se o
integrando for eliminado. Isto implica em:
8