Equações do Plano

Sejam um ponto A( x0 , y0 , z0 ) e os
vetores u  (u1 , u2 , u3 ) e v  (v1 , v2 , v3 )
não paralelos (LI). Então existe um único
3
plano   R que passa por A e possui
representantes de u e v .
u
 : AP  u   v ,  ,   R
 : P  A  u   v , ,   R
v

 : P  A  u   v , ,   R
Equação Vetorial do
Plano
A
P
u
v
Equações Cartesianas do Plano
Equação Vetorial: Dados P   x, y, z  ,
A   x0 , y0 , z0 , u   u1 , u2 , u3  e v   v1 , v2 , v3  ,
temos que a equação vetorial do plano 
é:
 : P  A  u   v , ,   R
 x, y, z    x0 , y0 , z0     u1 , u2 , u3     v1 , v2 , v3  ,
,   R
Exercício
Determinar a equação vetorial do plano
que passa pelos pontos A(3,0,-5),
B(7,4,-7) e C(1,1,-1)
Equações Cartesianas
Equações Paramétricas
Considerando a equação vetorial do plano 
 x, y, z    x0 , y0 , z0     u1 , u2 , u3     v1 , v2 , v3  ,
,   R
Temos as equações paramétricas do plano dadas
por:
 x  x0  u1   v1

 :  y  y0  u2   v2 ,  ,   R
 z  z  u   v
0
3
3

Equações Cartesianas
Equação Geral
Dadas as condições iniciais temos que os
vetores AP , u e v são coplanares, assim:
x  x0
 AP, u , v   u1


v1
y  y0
u2
v2
z  z0
u3  0
v3
Equações Cartesianas
Equação Geral:
 : ax  by  cz  d  0
Onde:
u2
a
v2
u3
v3
u3 u1
b
v3 v1
d  ax0  by0  cz0
u1 u2
c
v1 v2
Exercícios
1.
Dar representações geométricas dos
seguintes planos.
1.
Plano
1 : 3x  4 y  2z 12  0
2.
Plano
 2 : 3x  4 y  2z  0
3.
Plano
 3 : 4 y  2z 12  0
4.
Plano
 4 : 4 y  2z  0
5.
Plano
 5 : 2z 12  0
Exercício 1: Plano 1
z
y
x
Exercício 1: Plano 2
z
x
y
Exercício 1: Plano 3
z
x
y
Exercício 1: Plano 4
z
y
x
Exercício 1: Plano 5
P(0,0,6)
z
x
y
Exercícios
2. Determine o plano que contém os pontos A(3,1,3),
B(5,5,5), C(5,1,-2) e D(8,3,-6). Mostre ainda que as
retas AB e CD são concorrentes.
3. Dados os pontos A(1,1,2), B(1,2,3) e C(-1,2,1),
obtenhas as coordenadas de um ponto P tal que o
segmento OP seja perpendicular ao plano ABC.
Determine uma equação geral para o plano ABC.
4. Obtenha uma equação para o plano que contém os
pontos A(1,1,1), B(3,5,2) e C(7,1,12).
5. Obtenha uma equação geral e uma vetorial para o
plano que contém a origem do sistema coordenado
e os pontos A(1,2,3) e B(2,-1,7).
Importante
Da Equação Geral do Plano temos que:
 : ax  by  cz  d  0
u2
a
v2
u3
v3
u3 u1
b
v3 v1
u1 u2
c
v1 v2
Observe que o vetor abaixo pode ser também
descrito através dos coeficientes, ou seja:
i
j
u x v  u1 u2
v1 v2
k
u3  ai  bj  ck
v3
Importante
O que nos dá o vetor normal n   a, b, c  que
é ortogonal aos vetores diretores do plano
dado, simultaneamente, ou seja, ortogonal ao
plano dado, assim temos que:
n  u xv