Equações diferenciais ordinárias
Problemática
 Equações diferencias aparecem em modelos
que descrevem quantitativamente fenômenos
em diversas áreas.
 Equações diferenciais são equações que
envolvem derivada das funções.
 Por exemplo, num movimento uniforme,
dx
temos: dt  V ; V0 é uma velocidade constante.
0
Equação diferencial ordinária
 Uma equação diferencial é ordinária somente
se ela tem uma variável independente:
dy
 x  y ; y '  x2  y 2
dx
 Uma solução de uma equação diferencial
ordinária é uma função de variável
independente que satisfaça a equação:
y "'  0; y ( x)  p2 ( x) ( polinomio de grau 2)
dy
 y ; y ( x)  ae x
dx
Ordem, linearidade
 A ordem de uma equação diferencial é o grau
mas alta de derivação da equação: y”’=0 é de
terceira ordem.
 Uma equação diferencial é linear se a função
e suas derivadas aparecem linearmente na
equação: xy’=x-y é linear, y”+y²y’+y=0 não
é linear.
Solução única
 Uma equação diferencial não possui uma
solução única. Para individualizar uma
solução única devemos impor condições
suplementares.
 Por exemplo, y(0)=1; y’(4)=0; ....
Problema de valor inicial,
de valor de contorno
 Dada uma equação de ordem m, se a função
como suas derivadas até ordem m-1 são
especificadas num mesmo ponto, é um
problema de valor inicial.
 Se as condições não são todas dadas num
mesmo ponto, temos um problema de valor
de contorno.
Problema de valor inicial
 A razão maior do uso de métodos numéricos
para encontrar solução de equações
diferenciais é o fato que não existe sempre
soluções analíticas.
 Em muitos casos a teoria garante a existencia
e unicidade da solução, mas não produz a
solução analítica.
Método numérico
 PVI: Estudo do caso:
 y '  f ( x, y )

 y ( x0 )  y0
 Vamos considerar x1, ..., xn igualmente espaçados
(xk+1-xk=h) (condição não necessária mas útil) e
vamos calcular yi=y(xi) para cada ponto usando as
informações dos pontos anteriores.
Método numérico
 Se para determinar yj precisamos somente de
yj-1, o método é de passo simples. Se
precisamos de mais valores, o método é de
passo múltiplo.
 No caso de PVI, temos uma aproximação
inicial para y(x0), o método é auto-iniciante.
Método de Euler
 Conhecendo x0 e y0=y(x0), podemos calcular
f(x0,y0)=y’(x0).
 Nesse ponto, podemos aproximar
a curva com a tangente em x0:
y(x0)+(x-x0)y’(x0). Escolhido h
(xk+1-xk), podemos aproximar y1
com: y1=y0+hf(x0,y0).
 O raciocino é repetido e assim,
temos:
yk+1=yk+hf(xk,yk)
Método de série de Taylor
 A serie de Taylor de y em torno
de x=xn é:
2
( x  xn )
( x  xn )k
(k )
y( x)  y( xn )  y '( xn )( x  xn )  y "( xn )
 ...  y ( xn )
2!
k!
k 1
(
x

x
)
n
 y ( k 1) ( xn )
(k  1)!
 Considerando h=xn+1-xn, temos:
y( xn1 )
h2
hk
(k )
y( xn )  y '( xn )h  y "( xn )  ...  y ( xn )
2!
k!
 Com erro de truncamento:
k 1
h
e( xn )  y ( k 1) ( xn )
(k  1)!
Método de série de Taylor
 Para aplicar esse método de ordem k, temos
que calcular: y”, y”’, ..., y(k)
y’=f(x,y(x)), y”(x)=fx(x,y(x))+y’(x)fy(x,y(x)), ..
y”’=
 Podemos ver a dificuldade dos cálculos. O
método de Euler é o método de série de
Taylor de ordem 1.
Exemplo
 Calcular y(2,1) sabendo que:
Temos:
 xy '  x  y

 y(2)  2
x y
22
y' 
, y '(2) 
0
x
2
y' y
0 2 1
y "    2 , y "(2)    2 
x x
2 2
2
y "(2)
y (2,1)  y (2)  (2,1  2) y '(2)  (2,1  2)

2
1
2
2  0,1 0  0,1   2, 0025
4
2
Método de Runge-Kutta
 A idéia do método é aproveitar as qualidades
dos métodos de série de Taylor: precisão e ao
mesmo tempo eliminar seu maior defeito:
calculo de derivadas de f(x,y). Basicamente,



São de passo 1
Não exigem cálculo de derivada
Coincide com a expressão do método de serie de
Taylor
Método de Runge-Kutta
 Ordem 1: o método de Euler satisfaz as
características precedentes, ela é o método de
Runge-Kutta de ordem 1.
Método de Euler Aperfeiçoado
 O método de Euler aperfeiçoado usa, no
lugar da inclinação da tangente num ponto
para aproximar o
ponto seguinte, a
media das
inclinações no
ponto e no ponto
seguinte.
Runge-Kutta de ordem 2
 No caso de Euler aperfeiçoado, obtemos:
h
y n+1 =y n + (f(x n ,y n )+f(x n +h,y n +hy'n ))
2
 A forma geral dos métodos de Runge-Kutta
de ordem 2 é a seguinte:
h
h
y n+1 =y n +h[(1-w)f(x n ,y n )+wf(x n +
,y n +
y'n )]
2w
2w
Runge-Kutta de ordem 3
2
1
4
yn 1  yn  k1  k2  k3
9
3
9
k1  hf ( xn , yn )
k1
h
k2  hf ( xn  , yn  )
2
2
3k2
3h
k3  hf ( xn  , yn 
)
4
4
Runge-Kutta de ordem 4
1
yn 1  yn  (k1  2k2  2k3  k4 )
6
k1  hf ( xn , yn )
k1
h
k2  hf ( xn  , yn  )
2
2
k2
h
k3  hf ( xn  , yn  )
2
2
k4  hf ( xn  h, yn  k3 )