Resolução de Equações
ax 2  bx  c  0
Equações do 2º grau
Relembra…
Chama-se equação do 2º grau a uma incógnita a toda
a equação do tipo:
ax 2  bx  c  0
Com a, b e c números reais e a  0
Equação na forma canónica
ax  bx  c  0
2
Termo em x2
Termo em x
Termo independente
ax  bx  c  0
2
Equações do
Completas
2º grau
Incompletas
ax 2  bx  c  0
ax2  0
ax2  c  0
ax 2  bx  0
a0 b0 c0
b0 c0
b0
c0
Equações do 2º grau incompletas
ax2  c  0
Observa o triângulo rectângulo e determina o valor de x.
Pelo Teorema de Pitágoras sabemos que:
12 cm
15  12  x 
 225  144  x2  225  144  x2  x2  81  0
Equação do 2º grau incompleta porque b = 0.
2
2
2
15 cm
x cm
x2  81  x   81  x  9 
 x  9  x  9
Conjunto-Solução da equação = { -9 , 9}
Resposta: x é 9 porque o valor de um comprimento não pode ser negativo.
Reduz as equações a expressões do tipo
ax 2  bx  c  0 com a  0
Indica o valor de a , b e c e determina a solução.


3 x 2  2  x x  1  24  x 
 3x 2  6  x 2  x  24  x 
 3x 2  x 2  x  x  6  24  0 
 2 x 2  18  0
18
 2 x  18  x  
2
 x 2  9  x   9  x  3
2
2
 x  3  x  3
Conjunto-solução = { - 3 , 3 }
1º reduzir à forma
canónica ax 2  bx  c  0
a = 2; b = 0 ; c = -18
2º Resolver a
equação e indicar o
conjunto solução.


5 2  x 2   x  3   x  2  1º reduzir à forma
 10  5x 2  x  3  x  2  0 
 5x 2  15  0
 5x 2  15 
canónica ax 2  bx  c  0
a = 5 ; b = 0 ; c = 15
2º resolver a equação
15
x 
 x 2  3
5
2
Equação IMPOSSÍVEL, não há
nenhum nº real cujo quadrado
seja negativo.
x   3
IMPOSSÍVEL
ax  0
2
Equações do 2º grau incompletas
A soma de seis com o quíntuplo do quadrado de um
número é seis. Qual é o número?
2
+
5

x
=6 
6
 6  5x2  6 
 5x2  6  6 
 5x2  0 
 x2 
0

5
 x2  0 
 x0
S  0
0 é a solução da equação
Equações do 2º grau incompletas
ax  bx  0
2
A diferença entre o quadrado de um número
e o seu quadruplo é zero. Qual é o número?
x - 4 x = 0
2
Equações do 2º grau incompletas
ax  bx  0
2
x2  4 x  0
a = 1 ; b = -4 ; c = 0
 x  x  4  0 
1º colocar a incógnita em
evidência (factorizar)
 x 0  x40
2º Aplicar a lei do
anulamento do produto
 x0  x4
Conjunto-solução = {0,4 }
3º Encontrar as soluções
Resolve a Equação
x 2 3 x  4

 2 x  3
3
2

1º Reduzir à forma
canónica
x 2 3x 12
    2 x  6 
3 2 2
 2 x 2  9 x  36  12 x  36 
 2 x 2  3x  0 
 x2 x  3  0 
 x  0  2x  3  0 
3
x0  x
2

3
S  0,  
2

a=2 ; b=3 ; c=0
2º colocar a incógnita em
evidência
3º Aplicar a lei do
anulamento do produto
Equações do 2º grau completas
Fórmula Resolvente
Dada uma equação do tipo
ax  bx  c  0 com a  0
2
Podemos encontrar as soluções, utilizando a seguinte fórmula:
b b 4a c
x
2a
2
À expressão que está dentro da raiz quadrada chama-se
BINÓMIO DISCRIMINANTE e representa-se por ( delta )
b 4ac
2
Resolve a Equação
2x  x  3  0
2

 1  12  4  2   3
x

2 2
x 
1  25

4
a = 2; b = 1; c = -3
b  b2  4ac
x
2a
1  5
1  5
1  5
x


x


x

4
4
4
6
4
3
 x    x   x    x 1
4
4
2
 3 
S   ,1
 2 
Duas Soluções
Conclusão: Se o Binómio Discriminante é positivo, a equação tem duas
soluções.
Resolve a Equação
2 x  28  12 x  10
2

 2 x 2  12 x  18  0 
x
 12 
12
2
 4  2  18
22
12  144  144
x

4
12  0
12  0
x
x

4
4
1º Reduzir à forma canónica
a = 2; b = -12; c = 18

b  b2  4ac
x
2a
12  0
x

4
x3  x3
3 é uma raiz dupla
da equação
Conclusão: Se o Binómio Discriminante é zero, a equação tem uma
solução dupla.
Resolve a Equação
x 2  9  2x  4

 x 2  2x  5  0 
x 
  2 
2
 2
 4 15
21
2  4  20
x 

4
1º Reduzir à forma canónica
a = 1; b = -2; c = 5

b  b2  4ac
x
2a
2   16
x
2
Equação IMPOSSÍVEL, não há
nenhum nº real cujo quadrado
seja negativo.
Conclusão: Se o Binómio Discriminante é negativo, a equação é
impossível.
Determina o perímetro do triângulo rectângulo.
( 3x+2 ) cm
( x+3 ) cm
( 2x+1 ) cm
Pelo Teorema de Pitágoras:
3x  2  2 x  1   x  3 
2
2
2
 9 x 2  12 x  4  4 x 2  4 x  1  x 2  6 x  9 
2

2

2
 4  4   6
2
 4x  2x  6  0  x 

24
3
2  10
2  10
x
x
 x    x 1
2
8
8
Solução do Problema
( 3x+2 ) cm
( x+3 ) cm
( 2x+1 ) cm
Se x  
3
2
 3
3      2  2,5 cm
 2
x não pode ser
Se x  1
3  1  2  5cm
1  3  4 cm
2  1  1  3cm
Perímetro = 5+3+4 =12 cm

3
2
Um Pouco de História
Este matemático Português do
século XVI realizou uma grandiosa
obra na área da Matemática, Física,
Astronomia e nas suas aplicações à
Náutica. No que diz respeito às
equações, Pedro Nunes resolvi-as
com grande rigor de raciocínio
embora sem usar linguagem
simbólica.
Fim