O Plano
• A determinação de um plano pode ser dada
por meio de um ponto do plano e um vetor
perpendicular a ele. Esse vetor é chamado de
vetor normal ao plano.
 Seja P0  x0 , y0 , z0  e P( x, y, z ) pontos do plano;
 Seja o vetor n  (a, b, c) o vetor normal a este plano;
 P0 e P formam um vetor do plano e como n é ortogonal ao plano.
Equação Geral do Plano
A equação geral do plano é da seguinte forma:
ax  by  cz  d  0
Observações:
a) Qualquer vetor kn, n  0 e k , kn é também normal ao plano.
b) Pontos do plano podem ser obtidos atribuindo-se
valores arbitrários para duas variáveis
e encontrando-se o valor da terceira.
1) Obtenha a equação geral do plano que passa pelo ponto A(2, 1,3)
e tem n  (3, 2, 4) como vetor normal.
 x  5  3t

2) A reta r :  y  4  2t é ortogonal ao plano  que passa pelo ponto A(1,3,2) .
 z  1 t

Determine a equação geral de  .
Determine a equação geral do plano representado
na figura a seguir:
Escreva uma equação geral do plano 
que passa pelo ponto A(2,1,3)
e é paralelo ao plano  : 3x  4 y  2 z  5  0 .
Equação Vetorial
A  x0 , y0 , z0  
u   a1 , b1 , c1  e v   a2 , b2 , c2  ; u e v / /
P ( x, y , z )
AP, u e v são coplanares
P    P  A  hu  tv, h e t 
P  A  hu  tv
( x, y, z )   x0 , y0 , z0   h  a1 , b1 , c1   t  a2 , b2 , c2 
Equação vetorial do plano
( x, y, z )   x0  a1h  a2t , y0  b1h  b2t , z0  c1h  c2t 
 x  x0  a1h  a2t

 :  y  y0  b1h  b2t
z  z c hc t
0
1
2

Equações paramétricas do plano
5) Seja o plano  que passa pelo ponto A(2, 2, 1) e
é paralelo aos vetores u  (2, 3,1) e v   1,5, 3 .
Obtenha uma equação vetorial e um sistema de equações paramétricas de  .
6) Dado o plano  determinado pelos pontos A(1, 1, 2), B(2,1, 3) e C (1, 2, 6)
obtenha um sistema de equações paramétricas e uma equação geral de  .
x  2 y  z  3

2) 3x  y  z  1
2 x  4 y  2 z  6

2 x  4 y  10 z  6
3) 
3 x  6 y  15 z  11
1 2 4   x  5
4) 2 - 1 2   y   8
3 - 3 - 1  z  7
Exercícios Sugeridos
• Vetores e Geometria Analítica
- Págs.: 141 a 149 (1 a 23)