LINGUAGEM MATEMÁTICA E EQUAÇÕES
PROFESSOR RONALDO
Desde o tempo dos faraós até nossos dias, o objetivo básico da álgebra
continua o mesmo:
Permitir a solução de problemas matemáticos que
envolvam números desconhecidos.
Um papiro egípcio de 3 600 anos,
chamado Papiro de Rhind (em
homenagem a um antiquário
escocês Henry Rhind, que o
adquiriu em uma loja de Luxor,
no Egito, em 1858) mostra,
através do famoso problema “Ah,
seu inteiro, seu sétimo fazem 19”,
que o homem já se aventurava,
desde aquela época, nos domínios
da álgebra.
Para desenvolver o problema e mantê-lo
inalterável, enquanto as manipulações
procuram simplificá-lo, deve-se traduzir a
relação entre números conhecidos e
desconhecidos por meio de uma equação.
Hoje, as equações são usadas em muitos campos diferentes. Resolvemos
equações para determinar o lucro de uma firma, para calcular a taxa de uma
aplicação financeira, para projetar aviões e naves espaciais, para encontrar as
correntes de uma rede elétrica, para fazer a previsão do tempo etc..
Os processos da álgebra levados para a vida moderna são decisivos muitas
vezes, para resumir experiências realizadas ou desenvolver roteiros que nos
levam até a entender mistérios da natureza.
Tente responder as questões abaixo:
1) Queremos cortar um pedaço
de barbante de 30 cm de
comprimento em duas partes não
necessariamente iguais. Quanto
deverá medir cada parte?
2) Agora se quer cortar um pedaço de
barbante, também com 30 cm de
comprimento, em duas partes de forma
que uma dessas partes meça o dobro da
outra. Quanto deverá medir cada parte?
3) O que se deseja é dividir um pedaço de
barbante de 35 cm de comprimento em
quatro partes de modo que uma dessas
parte seja igual ao triplo de uma das
outras três, quanto deverá medir cada
parte?
4) Ache um número que:
a) adicionado ao seu triplo
resulte 20.
b) somado com o seu quadrado
resulte 30.
A maneira como a matemática se desenvolveu fez com que os matemáticos
passassem a usar as letras dos alfabetos mais conhecidos para representar uma
expressão matemática.
Assim, por exemplo, a soma de dois números
racionais quaisquer pode ser representada por:
Começam a surgir, então, as sentenças matemáticas, ou seja, duas expressões
matemáticas ligadas por um verbo. Por exemplo:
a área do retângulo é igual ao produto da
medida da base pela altura
Com isso, surgiram as sentenças matemáticas com o sinal =, que
indica uma igualdade. Quando a igualdade apresenta um ou mais
elementos desconhecidos, chama-se equação.
Para encontrar a solução de um
problema
utilizamos
os
conhecimentos e as habilidades
de cálculo que possuímos. Mas,
conhecimentos e técnicas de
cálculo apenas não são
suficientes: raciocínio, lógica e
imaginação
são
também
necessários quando procuramos
o caminho que nos levará mais
fácil e rapidamente a resposta
correta.
A história das equações se relaciona a
vida de Diofanto, um matemático grego que
viveu no séc III d.C. Ele ficou conhecido
como “pai da álgebra”, pois foi o primeiro a
usar símbolos com significados próprios ao
trabalhar problemas.
A obra de Diofanto comportava símbolos
e abreviações semelhantes que hoje usamos.
Sua principal obra foi encontrar soluções para
equações indeterminadas cujas raízes são
números inteiros, ou seja, estudava soluções
para problemas do tipo:
Neusa tem o dobro mais uma
laranja que Emílio. Quantas laranjas
tem cada um?
Esse problema se equaciona na forma:
Neusa
Emílio
Este problema é indeterminado, pois:
Neusa pode ter 3 laranjas e Emílio 1.
Neusa pode ter 5 laranjas e Emílio 2; e assim por diante.
Esse fato caracteriza que o problema admite mais que uma solução, portanto
chama-se indeterminado.
Equações destes tipos recebem o nome de equações Diofantinas.
Utilizamos sempre o mesmo método de resolução. Primeiramente,
chamamos de x o número que queríamos calcular, a incógnita. Em seguida,
traduzimos o problema para a linguagem matemática, isto é, equacionamos
o problema. Depois, usando propriedades matemáticas, descobrimos o valor
de x. E finalmente, chegamos à resposta do problema.
Resumindo, temos então as duas seguintes etapas:
Escrevemos a equação do problema, com
base nas informações dadas no próprio
problema;
Resolvemos a equação, para encontrar o
valor de x.
Vamos treinar a tradução para a linguagem matemática, utilizando
apenas símbolos matemáticos, escreva as seguintes expressões:
a) O triplo de um número é igual a 10.
3x = 10
b) A soma de um número com três é igual a 15.
x + 3 = 15
c) O quádruplo de um número resulta 90.
4x = 90
d) A diferença entre um número e dois faz 36.
x - 2 = 36
e) A terça parte de um número é igual a 66.
_x = 66
3
f) Os três quartos de um número é igual a 20.
3x
__ = 20
4
g) A soma de um número com sua metade
resulta 45.
x + _x = 45
2
h) A soma de cinco com o triplo de um número
é igual a 67.
5 + 3x = 67
i) A quinta parte de um número é 46.
_x = 46
5
j) A décima parte de um número faz 78.
x
__
= 78
10
k) O dobro de um número somada ao triplo de
outro número é igual a 96.
2x + 3y = 96
f) A soma de três números resulta 123.
x + y + z = 123
m) O produto de três números é igual a 34.
xyz = 34
n) Um número p, aumentado de vinte e cinco
faz 90.
p + 25 = 90
o) A diferença entre o quíntuplo e a quinta
parte de um número x resulta 56.
5x - _x = 56
5
p) Um número par mais 5 é igual a 89.
x é par → x + 5 = 89
q) Um número ímpar menos 5 é igual a 78.
x é ímpar → x - 5 = 78
r) Três números consecutivos totalizam 100.
x + (x + 1) + (x + 2) = 100
s) Três números pares consecutivos
perfazem 128.
x é par →
x + (x + 2) + (x + 4) = 128
t) Três números ímpares consecutivos é
igual a 990.
x é ímpar →
x + (x + 2) + (x + 4) = 990
O MÉTODO DA BALANÇA EM EQUILÍBRIO
Imagine uma balança de dois pratos em equilíbrio. Sabemos que ao
acrescentarmos ou retiramos a mesma quantidade nos dois lados faz com
que a balança permaneça em equilíbrio. Veja alguns exemplos:
1) Qual é o peso do cachorro?
2) Desenvolva a Equação.
9kg
x + 16 = 25
OUTROS EXEMPLOS:
3) Os dois sacos tem pesos iguais.
Quanto pesa cada saco?
4) Desenvolva a Equação.
6kg
2x = 12
5) As 3 caixas possuem o mesmo
peso. Qual o peso de cada caixa?
6) Desenvolva a Equação.
6kg
3x = 18
7) Qual o peso do coelho?
8) Desenvolva a Equação.
2kg
x+1+1+1=1+1+1+1+1
x+3=5
9) As bolsas são iguais. Qual o peso de
cada uma?
10) Desenvolva a Equação.
2x = x + 3 + 2
5kg
2x = x + 5
Recordando...
Se trocarmos os pratos
O equilíbrio se mantém.
Se acrescentarmos elementos de
mesmo peso em cada um dos pratos
Se retirarmos elementos de mesmo peso
de cada um dos pratos
O equilíbrio
se mantém.
O equilíbrio se
mantém.
Ângulos Opostos Pelo
Vértice e Equações
Ângulos opostos pelo vértice são congruentes, ou seja, possuem medidas
iguais. Utilizando essa propriedade, conseguimos trabalhar com
equações. Veja:
2x – 10 = x + 20
2x – x = 20 + 10
X = 30
Ângulos Internos de um
Triângulo e Equações
x + 90 + 35 = 180
x + 125 = 180
X = 180 – 125
X = 55