Aceite para publicação em 15 de Março de 2010
introdução
equações do 1º grau
extras
créditos
equações do 2º grau
agradecimentos
resumo
fim
pré-requisitos indispensáveis para a
compreensão do tema em estudo
equação
princípios de equivalência
membros e termos
grau de uma equação
solução de uma equação
equações e funções
uma equação é uma igualdade entre duas expressões onde aparece pelo
menos uma letra designada por incógnita ou variável.
Exemplo:
3x  4  2 x  1
3 4  7
5x2  2 y  1
 é equação





não são equações
o sinal de igual separa a equação em dois membros e
cada monómio que neles figura chama-se termo
3x  4  2 x  1
Exemplo:
1º membro
2º membro
3x; 2 x  termos com incógnita
4;1 
termos independentes
um número diz-se solução de uma equação se ao se substituir esse número
pela incógnita se obtiver uma proposição verdadeira
Exemplo:
5
é solução de
3x  4  2 x  1
porque
3  5  4  2  5  1  15  4  10  1  11  11
O conjunto de todas as soluções de uma equação designa-se por
conjunto-solução e representa-se por c.s. Neste exemplo c.s. 
5
Equações equivalentes são equações com o mesmo conjunto-solução.
Utiliza-se o sinal de equivalente 
Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto-solução.
Para resolver equações existem duas regras básicas
conhecidas por princípios de equivalência.
princípio da adição
princípio da multiplicação
ao adicionar a ambos os membros de uma equação o
mesmo número obtém-se uma equação equivalente à inicial
Exemplo:
x 3  7 
 x 33  7 3 
 x  10
c.s.  10
ao multiplicar ambos os membros de uma equação pelo mesmo
número diferente de zero obtém-se uma equação equivalente à inicial
Exemplo:
3x  12 
1
1
 3 x   12  
3
3
 x4
c.s.  4
o grau de uma equação é igual ao maior grau dos seus termos
Exemplo:
3x  1  4 
equação do 1º grau
x2  6 x  5  0 
equação do 2º grau
x3  2 x  0 
equação do 3º grau
as soluções de uma equação coincidem com os zeros da função
correspondente
1º grau
afim
2º grau
quadrática
Clica nas palavras da tabela para mais informações
uma equação do 1º grau em x é uma equação que se pode reduzir
à forma canónica:
ax  b  0
a, b  e a
solução de uma equação do 1º grau
função afim
soluções e zeros
Voltar à tabela
0
a solução da equação
ax  b  0
é
b

a
com
Exemplo:
2x  8  0 
8
x 
2
x4
c.s.  4
a, b 
e
a0
função cujo gráfico é uma recta e cuja expressão analítica é do
tipo:
y  mx  b
m, b 
gráfico da função afim
declive
ordenada na origem
casos particulares
Voltar à tabela
O gráfico da função afim é uma recta de equação:
y  mx  b
m, b 
Qual será a influência
dos parâmetros m e b
no gráfico da função afim?
Clica na figura e tenta descobrir!
m
é responsável pela inclinação da recta
b
ordenada do ponto de intersecção do
gráfico da função com o eixo dos yy
o gráfico da função
passa no ponto
 0,b 
as funções linear e constante são
casos particulares da função afim
determinar os zeros da função afim y  mx  b corresponde a
mx  b  0
determinar as soluções da equação do 1º grau
Exemplo:
função afim
graficamente:
y  2x  6
determinar zeros:
2x  6  0 
 2x  6 
 x3
c.s.  3
zero
uma equação do 2º grau em x é uma equação que se pode reduzir
à forma canónica:
a , b, c  e
ax2  bx  c  0
as equações do 2º grau dividem-se em dois tipos:
equações do 2º grau incompletas
quando
b0
e/ou
c0
equações do 2º grau completas
quando
a, b, c  0
Voltar à tabela
a0
existem três tipos de equações do segundo grau incompletas:
a0
equações do tipo
ax2  0
equações do tipo
ax 2  bx  0
com
a, b  0
equações do tipo
ax 2  c  0
com
a, c  0
com
ax  0
2
têm apenas uma solução nula:
Exemplo:
c.s.  0
5 x 2  3 x  x  x  3 
 5 x 2  3x  x 2  3x 
 4x2  0 
 x2  0 
 x0
c.s.  0
ax  bx  0
2
têm duas soluções:
Exemplo:
b

c.s.  0,  
a

3x 2  5 x 
 3x 2  5 x  0 
 x  3x  5  0 
 x  0  3x  5  0 
5
 x  0 x 
3
 5
c.s .  0, 
 3
Voltar à lei do anulamento do produto
ax  c  0
2
c
se   0 são impossíveis
a

c
c
c


se   0 têm duas soluções simétricas c.s.    ;  
a
a
a



Exemplo 1
Exemplo 2
2x 2  8  0 
2x 2  32  0 
 2 x  8 
 2 x 2  32 
 x 2  4
 x 2  16 
2
equação impossível
c.s.  

 x   16 
 x  4  x  4
c.s.  4, 4
uma equação do 2º grau completa é uma equação do tipo
ax2  bx  c  0
com
a, b, c  0
fórmula resolvente
parábola
binómio discriminante
soluções e zeros
função quadrática
conclusões
para determinar as soluções de qualquer equação do 2º grau
2

b

b
 4ac
2
ax  bxc  0  x 
2a
2

b

b
 4ac
2
ax  bx  c  0  x 
2a
Exemplo:
a 1
b  5
c6
x2  5x  6  0 
5  52  4  1  6
x

2 1
5 1
x

2
5 1
5 1
x
x

2
2
 x  2 x  3
c.s.  2, 3
é a expressão que figura debaixo do radical na fórmula resolvente
  b2  4ac
Qual será a relação entre o binómio
discriminante e o número de soluções
de uma equação do 2º grau?
Clica na figura e tenta descobrir!
função cujo gráfico é uma parábola e cuja expressão analítica é do tipo:
y  ax2  bx  c
a, b, c 
Qual será a influência do
parâmetro a no gráfico
da função quadrática?
Clica na figura e tenta descobrir!
Voltar à tabela
uma parábola é uma curva de equação
ou , usando os casos notáveis,
y  ax2  bx  c
y  a  x  h  k
2
com
a0
a, b, c, h, k 
Qual será a influência dos
parâmetros h e k no gráfico
da função quadrática?
Clica na figura e tenta descobrir!
determinar os zeros da função quadrática y  ax  bx  c corresponde a
determinar as soluções da equação do 2º grau ax 2  bx  c  0
2
Outra forma de escrever a expressão analítica da função quadrática é
y  a  x  z1  x  z2 
com
a, z1 , z2 
e
a0
O que significam z1 e z2?
Clica na figura e tenta descobrir!
nesta secção podem ser recordados outros pré-requisitos
casos notáveis da multiplicação de polinómios
factorização de polinómios
lei do anulamento do produto
quadrado da soma
quadrado da diferença
diferença de quadrados
Voltar à parábola
2
2
a

b

a

2
ab

b


2
Exemplo 1
 x  3
2
 x2  6x  9
Exemplo 2
2
2
2
x

y

4
x

4
xy

y


2
2
2
a

b

a

2
ab

b


2
Exemplo 1
 x  5
2
 x 2  10 x  25
Exemplo 2
2
3

2
x

9

12
x

4
x


2
2
2
a

b
a

b

a

b
  
Exemplo 1
2
x

7
x

7

x
    49
Exemplo 2
2
9
 x 3  x 3  x
 2  5  2  5   4  25



existem dois processos para factorizar polinómios:
Exemplo 1 – colocando factores comuns em evidência
2x2  5x  x  2x  5
Exemplo 2 – usando os casos notáveis
x  14 x  49   x  7    x  7  x  7 
2
2
o produto de dois ou mais factores é nulo se pelo menos um dos factores for nulo
abc  0  a  0  b  0  c  0
Exemplo
x  x  1 x  2   0 
x  0  x 1  0  x  2  0 
x  0  x  1  x  2
Este método é utilizado para a resolução de equações
2
do 2º grau incompletas do tipo ax  bx  0
Este trabalho foi integralmente elaborado por Erika Bizarro
usando Microsoft PowerPoint e Geogebra e tendo sido
convertido posteriormente em documento html.
Este trabalho foi publicado sob licença
Creative Commons da Casa das Ciências
À minha colega Emília Valle que me iniciou no Geogebra
À minha colega Ana Silva que me apresentou a Casa das Ciências
Aos meus colegas da Casa das Ciências pelas dicas e sugestões
Ao meu irmão e à Ana pelo apoio informático
Aos meus pais, os meus mais rigorosos revisores
Aos meus Davids pela minha falta de tempo para eles
Erika Bizarro 2010