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Prof. Anderson
Equações
Matemática
Gráfico de uma equação de 1º grau com duas
variáveis
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime
uma relação de igualdade. Exemplos:
2x + 8 = 0
5x - 4 = 6x + 8
3a - b - c = 0
Não são equações:
4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta)
x - 5 < 3 (Não é igualdade)
(não é sentença aberta, nem igualdade)
A equação geral do primeiro grau:
ax+b = 0
Onde a e b são números conhecidos e a > 0, se resolve
de maneira simples: subtraindo b dos dois lados,
obtemos:
ax = -b
Uma equação do 1º grau com duas variáveis possui
infinitas soluções.
Cada uma dessas soluções pode ser representada por
um par ordenado (x, y).
Dispondo de dois pares ordenados de
uma
equação, podemos representá-los graficamente num
plano cartesiano, determinando, através da reta que os
une, o conjunto das soluções dessa equação. Exemplo:
Construir um gráfico da equação x + y = 4.
Inicialmente, escolhemos dois pares ordenados que
solucionam essa equação.
1º par: A (4, 0)
2º par: B (0, 4)
A seguir, representamos esses pontos num plano
cartesiano.
Dividindo-se agora por a (dos dois lados), temos:
Considera a equação 2x - 8 = 3x -10
A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita
significa " desconhecida".
Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que
pode ser escrita na forma ax=b, sendo a e b números
racionais, com a diferente de zero.
Finalmente, unimos os pontos A e B, determinando a
reta r, que contém todos os pontos soluções da
equação.
Resolução de uma equação do primeiro grau
Resolver uma equação significa determinar o seu
conjunto verdade, dentro do conjunto universo
considerado.
Na resolução de uma equação do 1º grau com uma
incógnita, devemos aplicar os princípios de equivalência
das igualdades (aditivo e multiplicativo). Exemplos:
Sendo
, resolva a equação
MMC (4, 6) = 12
-9x = 10 => Multiplicador por (-1)
9x = -10
Como
, então
Atualizada 14/05/2007
.
Sistemas de Equações
Considere o seguinte problema:
Pipoca, em sua última partida, acertou x arremessos de 2
pontos e y arremessos de 3 pontos. Ele acertou 25
arremessos e marcou 55 pontos. Quantos arremessos de
3 pontos ele acertou?
Podemos traduzir essa situação através de duas
equações, a saber:
x + y = 25
(total de arremessos certo)
2x + 3y = 55 (total de pontos obtidos)
Essas equações contém um sistema de equações.
Costuma-se indicar o sistema usando chave.
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O par ordenado (20, 5), que torna ambas as sentenças
verdadeiras, é chamado solução do sistema.
Um sistema de duas equações com duas variáveis
possui uma única solução.
Resolução de Sistemas
A resolução de um sistema de duas equações com duas
variáveis consiste em determinar um par ordenado que
torne verdadeiras, ao mesmo tempo, essas equações.
Estudaremos a seguir alguns métodos:
Método de substituição
Matemática
Exercícios
1 - Sobre as raízes reais da equação x + 32/x - 12 = 0,
é verdade que:
a) uma delas é o dobro da outra.
b) têm sinais contrários.
c) são maiores que 10.
d) não são inteiras.
e) são inexistentes.
2 - Resolvendo a equação 1/2 - x = 6 (1/3 - x) no
conjunto R; obtemos a raiz:
a) 3/10
b) 1/10
Solução
determinamos o valor de x na 1ª equação.
x=4-y
Substituímos esse valor na 2ª equação.
2 . (4 - y) -3y = 3
Resolvemos a equação formada.
c) 10
d) 3
e) 5/2
3 - Para que as equações:
(m - 2)x - (m - 1) = 0 e 2x - 4 = 0 sejam equivalentes,
8 - 2y -3y = 3
8 - 2y -3y = 3
5y = -5 => Multiplicamos por -1
5y = 5
devemos ter m igual a
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 3/2
y=1
Substituímos o valor encontrado de y, em qualquer das
equações, determinando x.
x +1= 4
x= 4-1
x=3
4 - O acionista de uma empresa vendeu, no início de
janeiro, 1/3 das ações que possuía. No início de
fevereiro 1/3 das ações que restaram após a venda
feita em janeiro. Repetiu o mesmo procedimento em
A solução do sistema é o par ordenado (3, 1).
V = {(3, 1)}
março, abril, maio e junho, quando após a venda
Método da adição
de abril?
Sendo U =
, observe a solução de cada um dos
sistemas a seguir, pelo método da adição.
Resolva o sistema abaixo:
a) 128
possuía 256 ações. Quantas ações vendeu no início
b) 384
c) 576
d) 288
e) 192
Solução
Adicionamos membros a membros as equações:
5 - As x pessoas de um grupo deveriam contribuir
com quantias iguais a fim de arrecadar R$15000,00,
entretanto 10 delas deixaram de fazê-lo, ocasionando,
para as demais, um acréscimo de R$50,00 nas
2x = 16
respectivas contribuições. Então x vale.
a) 60
b) 80
x=8
Substituímos o valor encontrado de x, em qualquer das
equações, determinado y:
8 + y = 10
y = 10 - 8
y=2
A solução do sistema é o par ordenado (8, 2)
V = {(8, 2)}
2
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c) 95
d) 115
e) 120
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11 - Dê a soma das raízes do sistema:
6 - Um trem percorreu a distância de 240 km com uma
parada de 5 min. na metade do caminho. Se, na 1ª
metade, a velocidade média foi de 40km/h e, na 2ª
metade, foi de 60km/h, então o tempo total gasto pelo
trem no percurso foi de:
a) 302 min.
b) 304 min.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
12
c) 305 min.
-
O
conjunto
verdade
do
sistema
d) 306 min.
e) 310 min.
7 - Um grupo de estudantes dedicado à confecção de
produtos de artesanato gasta R$15,00 em material,
por unidade produzida, e, além disso, tem um gasto
fixo de R$600,00. Cada unidade será vendida por
R$85,00. Quantas unidades terão de vender para
obterem um lucro de R$800,00?
a) 7
,é
a) {( 1, 2)}
b) {(1, 2)}
c) {(1, 2)}
d) {(2, 1)}
e) {(3, 1)}
13 - Se o par ordenado (x, y) é a solução do sistema
b) 10
c) 12
d) 15
, então o valor de 7x + y é:
e) 20
8 - Uma tabela tem cinco valores numéricos.
Observa-se que, com exceção do primeiro, cada valor
é 2/3 do valor numérico anterior. Se a soma total dos
valores é 211, o primeiro valor da tabela é
a) 81
b) 87
c) 90
d) 93
e) 99
9 - Três números naturais e múltiplos consecutivos
de 5 são tais que o triplo do menor é igual ao dobro
do maior. Dentre esses números, o maior é:
a) múltiplo de 3
b) ímpar
c) quadrado perfeito
d) divisor de 500
e) divisível por 4
a) 8.
b) 15.
c) 6.
d) 48.
e) 0.
14 - A soma de dois números é 35. Se o dobro do
maior excede de 10 unidades o triplo do menor, então
o maior número é:
a) 12
b) 23
c) 26
d) 24
e) 30
15 - Uma fábrica de refrigerante produz refrescos de
guaraná nas versões tradicionais e diet, e envasa em
garrafas de 300ml. Os bares vendem os refrigerantes
tradicionais por R$ 1,00 e os refrigerantes diet por R$
1,25. Ao final do dia haviam sido vendidos 2.000
refrigerantes, com um faturamento de R$ 2.100,00.
Quantas garrafas de refrigerante tradicional foram
vendidas?
a) 300
b) 360
c) 1.000
d) 1.600
e) 2.000
10 - Determinando y no sistema
encontramos:
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
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Inequações do 1º grau
Denominamos inequação toda sentença matemática
aberta por uma desigualdade.
As inequações do 1º grau com uma variável podem ser
escritas numa das seguintes formas:
,
,
como a e b reais
,
,
. Exemplos:
A forma que usamos para resolver as inequações é a
mesma usada nas equações,
observando que as equações são igualdades e as
inequações são desigualdades.
Exercícios:
1 - O conjunto solução da inequação
-3x+a > 7 é {x Æ IR | x < 2}. Então, o valor de a é:
a) 1
b) 2
c) 7
d) 10
e) 13
2 - Se 3 5 - 2x 7, então:
a) -1 x 1
b) 1 x -1
c) -1 x 1
d) x = 1
e) x = 0
3 - Os valores inteiros de k que satisfazem a
inequação (2k-3)/(3-k)>1 são em número de:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
4 - Em N, o produto das soluções da inequação
2x-3 3 é:
a) maior que 8
b) 6
c) 2
d) 1
e) 0
Matemática
6 - Fábio quer arrumar um emprego de modo que, do
total do salário que receber, possa gastar 1/4 com
alimentação, 2/5 com aluguel e R$ 300,00 em roupas
e lazer. Se, descontadas todas essas despesas, ele
ainda pretende que lhe sobrem no mínimo R$ 85,00,
então, para que suas pretensões sejam atendidas,
seu salário deve ser no mínimo
a) R$ 950,00
b) R$ 980,00
c) R$ 1000,00
d) R$ 1100,00
e) R$ 1500,00
7 - O maior número inteiro que satisfaz a inequação
5/(x-3)>3 é:
a) um múltiplo de 2.
b) um múltiplo de 5.
c) um número primo.
d) divisível por 3.
e) divisível por 7.
8 - Um estacionamento cobra R$ 6,00 pela primeira
hora de uso, R$ 3,00 por hora adicional e tem uma
despesa diária de R$ 320,00. Considere-se um dia em
que sejam cobradas, no total, 80 horas de
estacionamento. O número mínimo de usuários
necessário para que o estacionamento obtenha lucro
nesse dia é:
a) 25
b) 26
c) 27
d) 28
e) 29
9 - Quantos números inteiros e estritamente positivos
satisfazem a sentença 1/(x-20) 1/(12-x)?
a) Dezesseis.
b) Quinze.
c) Quatorze.
d) Treze.
e) Menos que treze.
10 - Quantos números inteiros
simultaneamente as desigualdades
2x + 3 x + 7 3x + 1:
a) 4
b) 1
c) 3
d) 2
e) 5
satisfazem
5 - Por uma mensagem dos Estados Unidos para o
Brasil, via fax, a Empresa de Correios e Telégrafos
(ECT) cobra R$1,37 pela primeira página e R$0,67 por
página que se segue, completa ou não. Qual o
número mínimo de páginas de uma dessas
mensagens para que seu preço ultrapasse o valor de
R$10,00?
a) 8.
b) 10.
c) 12.
d) 14.
e) 16.
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