Retas
Equação Vetorial da Reta

Seja a reta r aquela que passa pelo ponto
A e tem direção de um vetor não nulo v ,
temos que P  r se e somente se AP e v
sejam paralelos.
AP  t v , t  R
P  A  t v , t  R
P  A  t v , t  R
P
A
i
k
j
v
Equações Cartesianas
Equação Vetorial: Dados P   x, y, z  ,
A   x1 , y1 , z1  e v   a, b, c  , temos que a
equação vetorial da reta r:
r : P  A  t v , t  R
r : x, y, z    x1 , y1 , z1   t  a, b, c  , t  R
Exercício
Determinar uma equação vetorial da
reta r que passa pelos pontos A(3,0,-5)
e B(7,4,-7).
Equações Cartesianas
Equações Paramétricas
Da equação vetorial da reta r temos que:
r :  x, y, z    x1 , y1 , z1   t  a, b, c  , t  R
Assim temos as equações paramétricas da
reta r dadas por:
 x  x1  ta

r :  y  y1  tb , t  R
 z  z  tc
1

Equações Cartesianas
Equação Simétrica
Das equações paramétricas da reta r temos
que:
 x  x1  ta

r :  y  y1  tb , t  R
 z  z  tc
1

Assim para a  0, b  0, c  0
temos que:
x  x1 y  y1 z  z1
r:


a
b
c
Exercícios
1.
Dar nas 3 formas a equação da reta que passa em
A(3,-4,10) na direção do vetor v . 2i  4 j  8k
2.
Idem ao anterior considerando a reta que passa
nos pontos A(3,5,8) e B(4,3,2).
3.
Seja a reta t dada por:
a.
b.
c.
d.
e.
3 x 2y  5
z

 1 
2
3
2
Dar um vetor que a direciona
Dar um ponto da reta
Escrever as outras formas de sua equação
Dar um ponto da reta de abscissa 5.
Dar um ponto da reta de ordenada ¾.
Equações Cartesianas
Equações Reduzidas
Considerando cada igualdade das equações
simétricas da reta r em separado, e para
a  0, b  0, c  0 temos que:
 x  x1 y  y1


 a
b

 x  x1  z  z1

c
 a

b  x  x1   a  y  y1 

 c  x  x1   a  z  z1 
Equações Cartesianas
Equações Reduzidas: Para a  0
ay1  bx1
b

y

x

 y  mx  n

a
a
  z  px  q


 z  c x  az1  cx1

a
a
sendo
ay1  bx1
az1  cx1
b
c
m , n
,p e q
a
a
a
a