Planos e Retas
Uma abordagem exploratória das
Equações do Plano e da Reta
Anliy Natsuyo Nashimoto Sargeant
José Antônio Araújo Andrade
Solange Gomes Faria Martins
Na geometria, um plano é determinado se são dados:
três pontos não colineares
C
A
B
uma reta e um ponto fora desta reta
A
B
C
r
duas retas não coincidentes e que se interceptam em um
único ponto (duas retas distintas,concorrentes).
C
B
A
t
uma direção normal (vetor perpendicular ao plano) e um
ponto desse plano.
r
EQUAÇÕES DO PLANO
Equação Geral do Plano
No plano a equação geral de uma reta é
ax + by + c = 0
No espaço um plano é o conjunto dos pontos P = ( x, y, z )
que satisfazem a equação
ax + by + cz + d = 0
para a, b, c ∈ Existe uma analogia entre uma reta no plano e um plano no
espaço. No plano, a equação de uma reta é determinada se
forem dados sua inclinação e um de seus pontos. No espaço, a
inclinação de um plano é caracterizada por um vetor
perpendicular a ele, chamado vetor normal ao plano e a
equação de um plano é determinada se são dados um vetor
normal e um de seus pontos.
n = ( a, b, c)
•
P0
π
i
•
P
Exemplo 1:
Sabemos que:
• dois pontos determinam a equação de uma reta;
Analogamente,
• três pontos não colineares determinam a equação de um
plano;
Sejam P1 = (1, 2,3) , P2 = (1, 4,1) e P3 = ( 2,8, −4 )
pontos não colineares. A equação do plano que contém esses
pontos pode ser definida por um sistema linear homogêneo
a + 2b + 3c + d = 0

a + 4b + c + d = 0
2a + 8b − 4c + d = 0

1 2 3 1 0 
1 4 1 1 0  L'2 =L2 −L1
→

 
L'3 =L3 −2 L1
 2 8 −4 1 0  →
1 2 3 1 0
0 2 −2 00


'' '
'
L3 =L3 −2 L2

→ 0 0 −6 −10
∼
fazendo
c = α,
∼
a + 2b + 3c + d = 0

=0
 2b − 2c

− 6c − d = 0

temos:
−6α − d = 0
• em (ii):
2b − 2α = 0
(i): a + 2α + 3α − 6α = 0
• em (iii):
• em
∼
1 2 3 10
0 2 −2 00


0 4 −10 −10
⇒
⇒
⇒
d = −6α
b =α
a =α
 α 


 α 
Portanto, s =
, assim,
 α 
 −6α 


para qualquer valor real que atribuímos a α (exceto α igual a
zero), iremos obter uma equação do plano que contém os
pontos P1 , P2 e P3 .
Verificação:
• Se α = 1,
x+ y+ z −6 = 0
• Se α = 2,
2 x + 2 y + 2 z − 12 = 0
• Se α = −5,
• Seα = *,
−5 x − 5 y − 5 z + 30 = 0
α x + α y + α z − 6α = 0
No entanto, com esses três pontos (P1, P2 e P3 não colineares),
podemos determinar a equação do plano π, que os contém, de
outra maneira:
n = P1 P3 ∧ P1 P2
•
•
1
P
P2
π
P3•
Determinando as componentes do vetor n, conheceremos os
coeficientes a, b e c da equação do plano (π : ax + by + cz + d = 0 ):
n = P1 P3 ∧ P1 P2 ( I )
antes, vamos determinar as componentes dos vetores P1 P3 e P1 P2
P1 P3 = P3 − P1 = ( 2,8, −4 ) − (1, 2,3) = (1,6, −7 )
P1 P2 = P2 − P1 = (1, 4,1) − (1, 2,3) = ( 0, 2, −2 )
retornando a relação ( I ):
n = (1,6, −7 ) ∧ ( 0, 2, −2 )
 1 6 −7 
0 2 −2 


 6 −7 
1 −7 
1 6  

n =  det 
,
−
det
,det
 ⇒ n = ( 2, 2, 2 )





 2 −2 
0 −2 
0 2  

deste modo, podemos escrever:
π : 2 x + 2 y + 2 z + d = 0 ( II )
para determinar d e conhecer a equação geral do plano π,
basta substituirmos as coordenadas de um dos três pontos do
plano, que já conhecemos, em (II):
2x + 2 y + 2z + d = 0
2 ⋅1 + 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + d = 0 ⇒ d = −12
Logo,
π : 2 x + 2 y + 2 z − 12 = 0
ou
π : x+ y+ z −6 = 0
Proposição: A equação geral de um plano π que passa por um
ponto P0 = ( x0 , y0 , z0 ) e tem vetor normal n = ( a, b, c ) é
ax + by + cz + d = 0
em que d = − ( ax0 + by0 + cz0 ) .
Demonstração:
Se n = ( a, b, c ) é a direção normal de um plano π que passa pelo
ponto P0 = ( x0 , y0 , z0 )
, um ponto P = ( x, y, z ) pertence a π se, e
somente se, o vetor P0 P é ortogonal a n , o que equivale a,
P ∈ π ⇔ P0 P ⊥ n
ou
P ∈ π ⇔ ( P − P0 ) ⊥ n
n
P0
π
•
i
•
P
Pela proposição, sabemos que:
P ∈ π ⇔ P0 P ⊥ n ,
então,
n ⋅ P0 P = 0 ( I )
considerando que P0 P = P − P0 = ( x, y, z ) − ( x0 , y0 , z0 ) =
n ⋅ P0 P = 0 ⇒
= ( x − x0 , y − y0 , z − z0 ) , em (I):
( a, b, c ) ( x − x0 , y − y0 , z − z0 ) = 0
a ( x − x0 ) + b ( y − y0 ) + c ( z − z0 ) = 0
ax − ax0 + by − by0 + cz − cz0 = 0
ax + by + cz − ( ax0 + by0 + cz0 ) = 0
sendo d = − ( ax0 + by0 + cz0 ) , temos:
ax + by + cz + d = 0
Equação geral
do plano π
Exemplo 2: Encontre a equação do plano π que passa pelo
P0 = (1,1, −2 ) e é perpendicular ao vetor
n = ( 4, 2,3) .
ponto
Exemplo 3: Encontre a equação do plano π que passa pelos
1
1
1 1
pontos P1 =  ,0,0  , P2 =  0, ,0  e P3 =  0, − ,  .
2 2
2

 2 

n = P1 P2 ∧ P1 P3
•
1
Pi
i
•
P3
π
P2•
determinando as componentes dos vetores P1 P2 e P1 P3:
 1  1
  1 1 
P1 P2 = P2 − P1 =  0, ,0  −  ,0,0  =  − , ,0 
 2  2
  2 2 
1 1 1

  1 1 1
P1 P3 = P3 − P1 =  0, − ,  −  ,0,0  =  − , − , 
2 2 2

  2 2 2
determinando as componentes do vetor n :
 1 1   1 1 1
n = P1 P2 ∧ P1 P3 ⇒ n =  − , ,0  ∧  − , − , 
 2 2   2 2 2
 1 1

− 2 2 0 


− 1 − 1 1 
 2
2 2 

 1
 2

n =  det 

− 1

 2


 1
0
− 2
 , − det 
1
− 1
 2
2 

 1
0
− 2
 ,det 
1
− 1
 2
2 
1 1 1
n = , , 
4 4 2
assim, a equação do plano π pode ser escrita como:
1
1
1
x+ y+ z+d =0
4
4
2
1

escolhendo o ponto P1 =  ,0,0  , encontramos d:
2

1 1 1
1
⋅ + ⋅0 + ⋅0 + d = 0
4 2 4
2
⇒
1
d =−
8
1 
2 

1
− 
2  
Logo, a equação geral do plano π que passa pelos pontos
e P3 é:
1
1
1
1
x+ y+ z− =0
4
4
2
8
2x + 2 y + 4z −1 = 0
P1 , P2
multiplicando toda
a equação por 8
Retornando ao Exemplo 3: Encontre a equação do plano π que
1

passa pelos pontos P1 =  ,0,0  ,
2

1 1
 1 

P2 =  0, ,0  e P3 =  0, − ,  .
2 2
 2 

Para resolver este problema podemos usar o seguinte corolário:
Sejam u = u1i + u2 j + u3 k , v = v1i + v2 j + v3 k e w = w1i + w2 j + w3k .
Estes vetores são coplanares (isto é, são paralelos a um mesmo
plano) se, e apenas se,
 u1 u2 u3 
u
( ∧ v ) ⋅ w = det  v1 v2 v3  = 0
 w1 w2 w3 
e ainda, o fato de que este resultado é usado para verificar se
quatro pontos são coplanares. Vejamos:
•
•
1
P
P3
•
P = ( x, y , z )
π
P2•
Seja P1 P ⋅ P1 P2 ∧ P1 P3 = 0,
(
)
n
precisamos determinar as componentes dos vetor P1 P, P1 P2 e P1 P3 :
1
1
 

P1 P = P − P1 = ( x, y, z ) −  ,0,0  =  x − , y, z 
2
2
 

 1 1 
 1 1 1 
P1 P2 =  − , ,0 
P1 P3 =  − , − , 
e
 2 2 
 2 2 2
assim,
P1 P ⋅ P1 P2 ∧ P1 P3 = 0,
(
 1
x − 2

1

det −
 2
 1
 −
 2
y
1
2
1
−
2

z

0 = 0

1

2 
⇒
)
 1
x − 2

 −1
 2
 1
 −
 2
y
1
2
1
−
2
1
z x−
2
1
0 −
2
1
1
−
2
2

y

1
=0
2
1
− 
2 

1 1 1
1   1
1 
 x − 2  ⋅ 2 ⋅ 2 + 0 + 4 z  −  − 4 z + 0 − 4 y  = 0



 
1
1
1
1
x+ y+ z− =0
4
4
2
8
2x + 2 y + 4z −1 = 0
multiplicando
toda a equação 8
Ou Seja,
P , P e P (não colineares) de um plano,
P = ( x, y, z ) deste plano pode ser determinado
dados três pontos
qualquer ponto
1
2
3
se são considerados:
três vetores PP
, PP
e PP
1 3
1
1 2
e que os vetores PP
, PP
e PP
são coplanares se, e
1 2
1
1 3
somente se
P1 P ⋅ P1 P2 ∧ P1 P3 = 0
(
)
(produto misto)
n = PP
∧ PP
1 2
1 3
•
•
1
P
P3
•
P = ( x, y , z )
π
P2•
P1 P ⋅ P1 P2 ∧ P1 P3 = 0
(
)
n
Equações Paramétricas
Consideremos:
• um plano π;
• um ponto P0 = ( x0 , y0 , z0 ) , tal que P0 ∈ π ;
• os vetores: v = ( v1 , v2 , v3 ) 
,
tais
que
v e w não sejam

w = ( w1 , w2 , w3 )  paralelos e que [ v , w
] // π .
Um ponto P = ( x, y, z ) pertence a π se, e somente se, o vetor
P0 P = ( x − x0 , y − y0 , z − z0 ) é uma combinação linear de v e w,
ou seja, se existem escalares t e s tais que
P0 P = tv + sw
P ∈ π ⇔ P0 P = tv + sw
Combinação Linear
Equação vetorial do
plano π.
( x − x0 , y − y0 , z − z0 ) = t (v1 , v2 , v3 ) + s( w1 , w2 , w3 )
P0 P = tv + sw
( x − x0 , y − y0 , z − z0 ) = (v1t , v2t , v3t ) + ( w1s, w2 s, w3 s)
Logo, um ponto P = ( x, y, z ) pertence a π se, e somente se,
satisfaz as equações
 x − x0 = v1t + w1s

 y − y0 = v2t + w2 s
z − z = v t + w s
0
3
3

∼
 x = x0 + v1t + w1s

 y = y0 + v2t + w2 s para t , s ∈ z = z + v t + w s
0
3
3

Equações paramétricas do plano π
Exemplo 4: Podemos obter equações paramétricas do plano
do Exemplo 2 usando o fato de que ele passa pelo
1

ponto P1 =  ,0,0  e é paralelo aos vetores
2

 1 1   1 1 1 
P1 P2 =  − , ,0  e P1 P3 =  − , − ,  . Assim,
 2 2 
 2 2 2
1 1 1

x = 2 − 2 t − 2 s

1 1

y = 0 + t − s
2 2

1

 z = 0 + 0 ⋅ t + 2 s
∼
1 1 1

x = 2 − 2 t − 2 s

1 1

y = t − s
2 2

1

 z = 2 s
para t , s ∈ Exemplo 5: Encontre as equações paramétricas do plano
4 x + 2 y + 3z = 0 .
Para encontrarmos as equações paramétricas deste plano
podemos proceder como no caso de sistemas lineares e
considerar as variáveis y e z livres:
z =t
e
y = s. Assim,
3 1
x = − t − s e, portanto,
4 2
3 1

x = − 4 t − 2 s

y = s
z = t


são equações paramétricas do plano. Destas equações
 3
1

obtemos que os vetores v =  − ,0,1 e w =  − ,1,0  que são
 4

 2

paralelos ao plano.
EQUAÇÕES DA RETA
Equações Paramétricas
Consideremos:
• um reta r;
• um ponto P0 = ( x0 , y0 , z0 ) , tal que P0 ∈ r ;
• um vetor v = ( a, b, c ) , tal que v // r ;
• um ponto qualquer do espaço P = ( x, y, z ) .
z
?
P
r
•
•
P0
x
v
y
Neste caso:
P∈r ⇔
P
−
P
//
v
(
0)
ou
P ∈ r ⇔ P0 P // v
isto é,
P0 P = tv ( I )
⇓
P − P0 = tv
⇒ P = P0 + tv
Equação vetorial de r.
escrevendo (I) em termos de suas componentes
P0 P = tv
P − P0 = t ( a, b, c )
( x, y, z ) − ( x0 , y0 , z0 ) = (ta, tb, tc)
( x − x0 , y − y0 , z − z0 ) = (at , bt , ct )
Logo, a reta r pode ser descrita como sendo o conjunto dos
pontos P = ( x, y, z ) tais que
 x − x0 = at

 y − y0 = bt
 z − z = ct
0

∼
 x = x0 + at

 y = y0 + bt
 z = z + ct
0

para t ∈ Equações paramétricas de uma reta r, que
passa por um ponto P0 = ( x0 , y0 , z0 ) e é
paralela ao vetor v = ( a, b, c ) . O vetor v é
chamado vetor diretor da reta r.
Exemplo 6: As seguintes equações são equações paramétricas
de uma reta r .
 x = 2 + 3t

r :  y = −1 + 2t
 z = 10 − t

(a) Calcule dois pontos e um vetor diretor de
r.
7 19 

(b) Verifique se P =  ,0,  e Q = ( 5,1,8 )
2
2
pertencem r.
Equações na forma Simétrica
Consideremos agora uma reta dada por suas equações
paramétricas
 x = x + at

r :  y = y + bt
 z = z + ct

0
sendo a, b e c não-nulos
0
0
calculando t nas três equações, obtemos
y− y
t=
b
x−x
t=
a
0
z−z
t=
c
0
Logo,
x−x
y− y
z−z
=
=
c
c
c
0
0
0
0
Exemplo 7: Dada as equações
3x − 2 1 − y
=
= z +5
7
4
mostre que elas representam uma reta, e dê um ponto e um
vetor diretor da mesma.
Exemplo 8: Encontre as equações paramétricas da reta
passa pelos pontos P1 = ( 3,0, 2 ) e P2 = ( 0,3,3) .
r que
Exemplo 9: Encontre as equações paramétricas da reta r,
interseção dos planos
π 1 : −2 x + y + 4 z = 0
π 2 : 2x − y + 2z = 0
r
n1
n1
n2
π1
n2
v
π2
Se n1 ⊥ π 1 , n2 ⊥ π 2 e r = (π 1 ∩ π 2 ) , ou seja, r ⊂ [π 1 , π 2 ] ; então,
r ⊥ [ n1 , n2 ] e como r // v , pois v é vetor diretor de r, então
v ⊥ [ n1 , n2 ] , isto é,
v = n1 ∧ n2
v = ( −2,1, 4 ) ∧ ( 2, −1, 2 )
 −2 1 4 
 2 −1 2 


 1 4
 −2 4 
 −2 1  

v =  det 
, − det 
,det 




 −1 2 
 2 2
 2 −1 

v = ( 6,12,0 )
Precisamos de um ponto da reta r. podemos encontrá-lo
considerando o fato de que um ponto comum aos planos π1 e π2
também é um ponto da reta r.
−2 x + y + 4 z = 0

 2x − y + 2z = 0
Como ambos os planos passam pela origem, ou seja, como se
trata de um sistema homogêneo, então o ponto P0 = ( 0,0,0 )
pertence a reta r. Logo,
 x = 0 + 6t

 y = 0 + 12t
 z = 0 + 0t

∼
 x = 6t

 y = 12t
z = 0

para t ∈ Exemplo 10: Ache as equações paramétricas da reta
intercepta as retas
 x = −1 + 2t

r1 :  y = 1 + t
z = 0

y−4
r : x−2=
e z =3
2
e é perpendicular a ambas.
3
para t ∈ e
2
r que