Cálculo Numérico
Método de Gauss – Jacobi
Faculdades Integradas Pitágoras
Montes Claros
2010
Um pouco sobre a história de Jacobi
Carl Gustav Jakob Jacobi (Potsdam, 10
de dezembro de 1804 — Berlim, 18 de
fevereiro de 1851) foi um matemático
alemão. O seu primeiro professor, irmão de
sua mãe, deu-lhe aulas de matemática,
preparando-o para entrar no Ginásio de
Potsdam, onde ingressou no ano de 1816.
Não demorou para que ele se destacasse
entre os demais alunos. Em 1821 ele
ingressou na Universidade Humboldt de
Berlim.
Um pouco sobre a história de Jacobi
Seus professores logo perceberam que ele possuía
uma mente matemática inigualável e como ele se recusava
a estudar seguindo os roteiros e as cargas da
Universidade, deixaram que ele estudasse por conta
própria. Foi muito influenciado principalmente pelos
trabalhos de Leonhard Euler e Lagrange. Onde se
interessou por álgebra e cálculo. Seu autodidatismo
propiciou seu primeiro trabalho notável - em funções
elípticas - sua diretriz definitiva.
Um pouco sobre a história de Jacobi
Permaneceu estudando em Berlim de Abril de 1821
até Maio de 1825. Durante os primeiros dois anos ele
dividiu seu tempo, equitativamente, entre filosofia, filologia
e matemática. Em Agosto de 1825 recebeu seu grau de
Ph.D. pela dissertação sobre frações parciais e tópicos
relacionados. Concomitantemente a sua prova para o grau
de Ph.D. ele iniciou seu treinamento para o magistério,
passando a lecionar cálculo de superfícies curvas na
Universidade de Berlim, logo se tornando o mais inspirado
professor de matemática do seu tempo.
Um pouco sobre a história de Jacobi
Em 1826 tinha assegurado o lugar de professor na
Universidade de Königsberg. Em 1827 algumas pesquisas
publicadas sobre a teoria dos números (relativas à
reciprocidade cúbica), excitou a admiração de Gauss,
promovendo assim Jacobi para um posto acima de seus
colegas. Quando Jacobi publicou sua obra prima
Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum
(Novos fundamentos da Teoria de Funções Elípticas) eles
foram os primeiros a dizer que nada mais que justiça tinha
sido feita.
Um pouco sobre a história de Jacobi
Em 1842 quando seu pai veio a falecer, ele se viu
obrigado a trabalhar para prover sua mãe e sua família,
possuía sete filhos e não conseguia manter a todos,
acabou estressando-se demais com a situação e sua
saúde foi fragilizada, foi então que o Rei passou a lhe dar
uma mesada, para que pudesse se manter. Acabou
entrando na política por influência de terceiros, mas não
chegou a ser eleito.
Um pouco sobre a história de Jacobi
Em 1849, aos quarenta e cinco anos, era, com a
exceção de Gauss, o mais famoso matemático na Europa.
A Universidade de Viena sondou a possibilidade de tê-lo
como professor. Mas o rei, apesar de ofendido por Jacobi
ter entrado na política contra o próprio rei, não permitiu que
o segundo maior homem da Alemanha fosse “roubado”,
permanecendo assim em Berlim.
Um pouco sobre a história de Jacobi
Seus trabalhos abrangem a aplicação das funções
elípticas à teoria dos números; com o trabalho de
equações diferenciais começou uma nova era; em Álgebra,
para citar apenas uma dentre muitas, inseriu a teoria de
determinantes na fórmula simples, agora familiar para todo
estudante do segundo ano de um curso de álgebra; fez
substanciais contribuições para a teoria da atração de
Newton-Laplace-Lagrange e muitos outros. Jacobi morreu
prematuramente devido a varíola.
Introdução
O Método de Gauss – Jacobi é um método
iterativo de se resolver equações lineares.
Métodos iterativos podem ser mais rápidos
e necessitar de
menos memória do
computador. Fornecem sequencias que
convergem para a solução sob certas
condições.
Introdução


Seja A x  b um sistema linear de ordem n .
A idéia é generalizar o método do ponto fixo,
escrevendo o sistema linear na forma
xC x g
onde C é uma matriz de ordem n e g é um
vetor coluna n  1 .
(0)
x
Dado um vetor aproximação inicial
, construímos iterativamente:
x (1)  C x (0)  g
x ( 2)  C x (1)  g
Introdução
Se a seqüência x
(0)
, x
(1)
, ....., x
(k )
convergir
Lim x ( k )  C x ( k 1)  g  
k grande
Então  é a solução do sistema linear
A x  b com
x
Teste de Parada
(k )
Se a seqüência x estiver suficientemente
( k 1)
próximo de x
paramos o processo.
 Dada um precisão  , quando
d
(k )
 MAX
1i  n
k
xi

k 1
xi

(k )
x
então
é a solução do sistema linear.
 Computacionalmente, um número máximo de
iterações também é critério de parada.
MÉTODO DE GAUSS – JACOBI
Seja o sistema linear
a11 x1  a12 x 2  a13 x3  ...... a1n x n  b1
a 21 x1  a 22 x 2  a 23 x3  ...... a 2 n x n  b2
..........
..........
..........
..........
..........
.......
a n1 x1  a n 2 x 2  a n3 x3  ...... a nn x n  bn
Se aii  0 para i  1...n podemos isolar
x  C x  g por separação da diagonal.
MÉTODO DE GAUSS – JACOBI
Iterativamente, o sistema reescreve-se como:
x1


( k 1)
1
(k )
(k )
(k )

b1  a12 x 2  a13 x3  ...... a1n x n
a11
( k 1)
1
(k )
(k )
(k )

b2  a 21 x1  a 23 x3  ...... a 2 n x n
a 22
x2


..........
..........
..........
..........
..........
.......
1
( k 1)
(k )
(k )
(k )
xn

bn  a n1 x1  a n 2 x 2  ...... a n,n 1 x n 1
a nn


MÉTODO DE GAUSS – JACOBI
Desta forma temos x  C x  g , onde
0


 a / a
C   21 22
........

 a / a
 n1 nn
 a12 / a11
0
.........
 a n 2 / a nn
......  a1n / a11 

.......  a 2 n / a 22 
....... ......... 


.......
0

e
 b1 / a11 


 b2 / a 22 
g 
....... 


b / a 
 n nn 
(0)
Do método de Gauss-Jacobi, dado x ,
(1)
Obtemos x , ....., x ( k 1) através da relação
recursiva
( k 1)
(k )
x
C x  g
MÉTODO DE GAUSS – JACOBI
Exemplo:Seja o sistema linear
10 x1  2 x 2  x3  7
1 x1  5 x 2  x3  8
2 x1  3 x 2  10 x3  6
Seja
x (0)
 0 .7 


   1.6 
 0 .6 


com   0.05 . Portanto,
 2 / 10  1 / 10 
 0


C    1/ 5
0
 1/ 5 
  1 / 5  3 / 10
0 

 7 / 10   0.7 

 

g    8 / 5     1.6 
 6 / 10   0.6 

 

MÉTODO DE GAUSS – JACOBI
Substituindo
(1)
 0.2 x 2
( 0)
 0.1 x3
x2
(1)
 0.2 x1
( 0)
 0.2 x3
( 0)
 1.6  0.2 (0.7)  0.2 (0.6)  1.6  1.86
x3
(1)
 0.2 x1
(0)
 0.3 x 2
( 0)
 0.6  0.2 (0.7)  0.3 (1.6)  0.6  0.94
x1
( 0)
 0.7  0.2 (1.6)  0.1 (0.6)  0.7  0.96
d1(1)  x1(1)  x1( 0)  0.26  0.05
Segue x (1)
 0.96 


   1.86  . Calculando d (1)  x (1)  x ( 0)  0.26  0.05
2
2
2
 0.94 


d 3(1)  x3(1)  x3( 0)  0.34  0.05
MÉTODO DE GAUSS – JACOBI
Continuando x ( 2)
 0.978 


   1.98  com
 0.966 


d ( 2)  MAX xi2   xi1  0.12  
1i  n
( 3)
Segue x
 0.999 


   1.999 
 0.998 


é a solução, pois
d (3)  MAX xi(3)  xi( 2)  0.032  
1i  n
critério de parada
Obrigado!
Equipe:
Daniela Aniceto
Gabriella Magalhães
Letícia Siqueira
Michelle Silva
Mario Renard