Teorema Fundamental da
Trigonometria
sen   cos  1
2
2
Demonstração ...
sen
1
·
sen θ
θ
)θ
-1
0
cos θ
-1
1
cos
Continuação...
sen
1
1
)θ
-1
0
cos θ
-1
sen θ
1
cos
Continuação...
1
sen θ
)θ
cos θ
Utilizando o teorema de Pitágoras h2 = c2 + c2, temos :
sen   cos  1
2
2
CMPQD
Relações Trigonométricas no
Triângulo Retângulo
)θ
Hipotenusa
Continuação ...
Ente Trigonométrico Relação no Triângulo Retângulo
Seno de θ
Cosseno de θ
Tangente de θ
Cossecante de θ
Secante de θ
Cotangente de θ
CO
HI
CA
cos 
HI
CO
tg 
CA
1
HI
cossec  

sen  CO
1
HI
sec  

cos CA
sen  
cotg  
1 CA

tg CO
Na Circunferência Trigonométrica
sen
tg
·
tg θ
sen θ
)θ
0
cos θ
cos
Continuação ...
cotg θ
cossec θ
·
)θ
0
secante θ
cotg
Arcos Notáveis
sen
120°
90°
tg
60°
135°
45°
30°
150°
0°/360°
180°
0
cos
210°
225°
330°
315°
240°
300°
270°
Tabela de Entes Trigonométricos ...
arco
rad
seno
cosseno
0°
30°
0

6
0
1
2

4
60°

3
2
2
1
3
2
2
2
0
3
3
1
tangente
sen
cos
45°
3
2
1
2
3
90°

2
180°
270°
2
3

360°
2
1
0
-1
0
0
-1
0
1
---
0
---
0
Vamos pensar . . .
Que tal fazermos um teste para verificação do que foi
apresentado?
Observem a figura ao lado
1) Em relação ao
ângulo a, podemos
dizer que o sen a vale:
a) b/c
b) a/c
c) c/b
d) c/a
e) a/b
c.o. b
sen a 

hip c
2) Em relação ao
ângulo a, podemos
dizer que o cos a vale:
a) b/c
b) a/c
c) c/b
d) c/a
e) a/b
c.a. a
cos a 

hip c
3) Em relação ao
ângulo a, podemos
dizer que a tg a vale:
a) b/a
b) b/c
c) c/b
d) a/b
e) a/c
c.o. b
tg a 

c.a. a
4) Em relação ao
ângulo a, podemos
dizer que a cotg a
vale:
a) b/a
b) b/c
c) c/b
d) a/b
e) a/c
c.a. a
cot g a 

c.o. b
5) Em relação ao
ângulo a, podemos
dizer que tg a .cotg a
vale:
a) 1/a
b) 1/c
c) 1/b
d) 0
tg a . cot g a
e) 1
c.o. c.a.
.
1
c.a. c.o.
6) Se a = 3b, podemos
dizer então, que
sen2 a + cos2 a vale:
a) b2 / a2
b) 9c2 / b2
c) 0
d) 1
e) (c2 + b2) / 9a2
Pelo teorema fundamental da
trigonometria, temos que:
sen2  + cos2  = 1
portanto,
7) Em relação ao
ângulo a, podemos
dizer que sec2a - 1
vale:
sec2 a  1  tg2 a
a) tg2a
b) cotg2a
tg a 
c) - 1
tg a 
2
d) 0
1
sec a 
, log o
cos a
e) 1
 1 

 
cos
a


sec a 
2
2
1
 sec a 
cos2 a
2
sena
, log o
cos a
 sena 

 
 cos a 
2
sen2 a
 tg a 
cos2 a
2
sen2 a  cos2 a  1
sen2 a  1  cos2 a
1
1  cos2 a sen2 a
2
2
sec a  1 

1



sec
a

1

tg
a
2
2
2
cos a
cos a
cos a
2
8) Em relação ao
ângulo a, podemos
dizer que cossec2a - 1
vale:
cossec2 a  1  cot g2 a
a) tg2a
b) cotg2a
cot g a 
c) - 1
cot g a 
2
d) 0
cos sec a 
e) 1
cos sec a 2
1
, log o
sen a
 1 

 
 sen a 
2
 cos sec 2 a 
cos a
, log o
sen a
 cos a 

 
 sen a 
1
sen2 a
2
cos2 a
 cot g a 
sen2 a
2
sen2 a  cos2 a  1
cos2 a  1  sen2 a
1
1  sen2 a cos2 a
2
2
cossec a  1 

1



cos
sec
a

1

cot
g
a
2
2
2
sen a
sen a
sen a
2
9) Se sen a  b/c,
então, calculando o
valor de

1 

y  cot g a .( 1 cosa ). 1
 cosa 
chegaremos a:
a) a/c
b) b/c
c) a/b
d) b/a
e) 1
sen2 a  cos2 a  1

1 

y  cot g a . (1  cos a ). 1 
cos
a


 cos a  1
cos a

. (1  cos a ). 
sen a
 cos a 
1
y
. (1  cos a ). cos a  1
sena
y
1
. (cosa  1  cos2 a  cos a )
sena
1
y
. ( 1  cos2 a )
sena
y
sen2 a  1  cos2 a
y
1
. sen2 a
sena
y  sen a
y
b
c
Voltando
a parte teórica
Lei dos Senos
Seja um triângulo ABC qualquer
C
^
C
b
^
)
^
A
B
A
temos :
a
(
c
a

senA

b

senB
B

c

senC
Lei dos Cossenos
Seja um triângulo ABC qualquer
C
^
C
b
^
)
a
^
A
B
A
c
(
B

a  b  c  2 b c cos A ou
2
temos :
2
2

b 2  a 2  c 2  2 a c cos B ou

c 2  a 2  b 2  2 a b cos C
Continuação ...
Curiosidade : Quando um dos ângulos do triângulo é
reto, por exemplo, Â= 90°, temos :
a  b  c  2 b c cos90
2
2
2
Sabe-se que cos 90° = 0, logo ...
a  b  c  2bc0
2
Temos, portanto ...
2
2
a  b c
2
2
2
Teorema de Pitágoras
Gráficos das funções trigonométricas
y
sen x
1
-180° -90°
•
•
270°
•
0°
•
•
90°
-1
•180°
•
360°
•
450°
•540°
630°
•
•720°
x
Continuação ...
y
cos x
•
-180°
•
-90°
•
1
•
• 90°
0°
-1
180°
•
270°
•
•
540°
360°
•450°
•
630°
•
720°
x
Continuação ...
y
tg x
•
-90°
•0° •
90°
•180° •
270°
•360° •
450°
•
•
540°
630°
x
Continuação ...
y
cossec x
1
-180° -90°
•
•
270°
•
0°
•
•
90°
-1
•180°
•
360°
•
450°
•540°
630°
•
•720°
x
Continuação ...
y
sec x
1
•
•
-180°
•
-90°
•
• 90°
0°
-1
180°
•
270°
•
•
540°
360°
• 450°
•
630°
•
720°
x
Continuação ...
y
cotg x
•
0°
90°
•
270°
•180° •
450°
• 360° •
630°
•540° •
• 720°
x
TRIGONOMETRIA APLICADA
• Modelo matemático que indica ao número de horas do dia,
com luz solar, de uma determinada cidade norte americana,
“t” dias após 1º de janeiro.
 2

L( t )  12  2,8 sen 
( t  80)
 365

Fonte : J.Stewart – Cálculo vol. I – Pág. 34
Continuação ...
•Função
de Fresnel, assim chamada em homenagem ao
físico francês Augustin Fresnel (1788-1827), famoso por
seus trabalhos em ótica. Esta função foi primeiramente
apresentada num trabalho sobre difração de ondas de luz de
Fresnel, porém recentemente foi aplicado no planejamento de
auto-estradas.
 t 2 
 dt
S( x )   sen
 2 
0
x
Fonte : J.Stewart – Cálculo vol. I – Pág. 394
Continuação ...
• Integração por Substituição trigonométrica
Caso
Radical
I
a 2  b 2 .u 2
II
a 2  b 2 .u 2
III
b 2 .u 2  a 2
Substit.
Trigonométrica
a
u  . sen 
b
a
u  .tg
b
a
u  . sec 
b
Transformada
a. 1  sen 2   a. cos 
a. 1  tg 2  a. sec 
a. sec 2   1  a.tg
Trigonometria no
Triângulo
Retângulo
CO
CA
CA
cos  
HI
CO
sen  
HI
tg 
Demonstrando o Caso I ...
2
2
a

2
2 a
a  b .u  a  b  sen    a  b . 2 sen 2   a 2  a 2 sen 2   a 2 .(1  sen 2  ) 
b
b

2
2
2
2
2
 a. 1  sen 2   a cos 2  
a. cos 
CMPQD
Trigonometria
Algumas Aplicações
Parte Prática
O exemplo clássico da Sombra
Para que possamos medir (aproximadamente)
a altura de um prédio, sem a necessidade de subir
ao terraço, ou utilizar equipamentos sofisticados,
seria necessário somente 2 elementos.
São eles:
uma distância
um ângulo
Observe a seguir . . .
temos que:
c.o.
c.a.
tg a . d  h
tg a 

tg a 
portanto: h  d . tg a
h
d
Conhecendo a distância d que
vale 50 metros e o ângulo a
que vale 30°, podemos dizer
então que:
h  d . tg a
h  50 . tg 30
h  50 . 0,57735026919
h  28,8675 metros
Exemplo 1
A inclinação de uma rampa
Uma rampa com inclinação constante, (como
a que existe em Brasília) tem 6 metros de
altura na sua parte mais elevada. Um
engenheiro começou a subir, e nota que após
ter caminhado 16,4 metros sobre a rampa está
a 2,0 metros de altura em relação ao solo. Será
que este engenheiro somente com esses dados
e uma calculadora científica conseguiria
determinar o comprimento total dessa rampa e
sua inclinação em relação ao solo?
Como poderíamos resolver essa situação?
Como sugestão, faremos um “desenho” do que
representa essa situação.
Comprimento total da rampa
Observemos:
6 metros
16,4 metros
2 metros

solo
6 metros
16,4 metros
2 metros

Observemos o triângulo retângulo em destaque . . .
16,4 metros
hip
c.o.

2 metros
c.a.
Temos em relação
ao ângulo :
hip = 16,4 metros
c.o. = 2 metros
Como:
hip = 16,4 metros
c.o. = 2 metros
16,4 metros
hip
c.o.

2 metros
c.a.
c.o.
2
sen 

 0,121951219512
hip 16,4
Obs.: quando dizemos que arcsen a = 1/2 , podemos
transformar essa igualdade em uma pergunta: “qual é o arco,
cujo seno vale 1/2?”, a resposta seria dizer que a = 30°.
Em nosso exercício, chegamos a conclusão que:
sen  = 0,121951219512, logo podemos encontrar o
ângulo , com o auxílio da calculadora que
normalmente utiliza as funções ASIN ou SIN-1, então,
devemos digitar 0,121951219512 e a opção acima de
sua calculadora.
Se o processo foi realizado corretamente, deverá
ser encontrado o valor 7,00472640907, que iremos
considerar como aproximadamente 7°.
Encontramos assim, a inclinação da rampa!
Notamos que os triângulos abaixo são semelhantes,
portanto, podemos dizer que  é válido para ambos
16,4 metros
hip
c.o.

2 metros
c.a.
6 metros
  7
Como:
c.o.
c.o
 sen . hip  c.o.  hip 
hip
sen
c.o
6
6
hip 


 49,2
sen sen7
0,121951219512
sen 
Chegamos a conclusão que o
comprimento total da rampa é 49,2 metros
Exemplo 2
Mecânica Geral
ou Trigonometria?
Os conceitos trigonométricos aparecem com muita freqüência
no estudo da Física, Topografia, Astronomia e de muitos outros
assuntos.
Observemos os exemplos a seguir:
Em relação ao sistema de forças representado na figura, onde
F1 = 20N, F2 = 100N, F3 = 40N e F4 = 10N, você seria capaz de
determinar a intensidade da resultante do sistema e o ângulo
que essa resultante forma com o eixo das abscissas (x)?

Em primeiro lugar, teremos que fazer as projeções de F 2 nos eixos das abscissas e das

F2( x)
ordenadas, obtendo assim, respectivamente os componentes


Fe 2 ( y )
.

F 3 (x)
Analogamente, encontraremos as projeções de F 3 , encontrando os componentes

Fe 3 ( y )
.
 
R (x) 
A resultante relativa ao eixo das abscissas 
 é obtida
da seguinte maneira:




R ( x )  F 2 ( x )  F1  F 3 ( x )
F2 ( x )

c.a
cos
a

.

cos
45


 cos 45 .F2  F2 ( x )  F2 ( x )  F2 . cos 45

hip
F2

Como 
F
cos a  c.a .  cos 60  3 ( x )  cos 60 .F3  F3 ( x )  F3 ( x )  F3 . cos 60

hip
F3
 F2 ( x )  F2 . cos 45  100 . 0,70  F2 ( x )  70 N
Por tan to 
 F3 ( x )  F3 . cos60  40 . 0,5  F3 ( x )  20 N




R ( x )  F 2 ( x )  F1  F 3 ( x )

R ( x )  70  20  20

R ( x )  70 N
 
R ( y) 
A resultante relativa ao eixo das abscissas 
 é obtida
da seguinte maneira:




R (y)  F 2(y)  F 4  F 3(y)
F2 ( y )

c.o
sen
a

.

sen
45


 sen 45 .F2  F2 ( y )  F2 ( y )  F2 . sen 45

hip
F2

Como 
F
sena  c.o .  sen60  3 ( y )  sen60 .F3  F3 ( y )  F3 ( y )  F3 . sen60

hip
F3
 F2 ( y )  F2 . sen45  100. 0,70  F2 ( y )  70 N
Por tan to 
 F3 ( y )  F3 . sen60  40 . 0,86  F2 ( y )  34,4 N




R (y)  F 2(y)  F 4  F 3(y)

R ( y )  70  10  34,4

R ( y )  25,6 N


Colocando R ( x ) e R ( y ) , nos eixos das abscissas e das
ordenadas, respectivamente,
Percebemos que a figura formada pelas forças é um
triângulo retângulo, em que sua hipotenusa é a Força



Resultante R , R ( x ) é o cateto adjacente a a e R ( y ) o
cateto oposto a a, então, vale o teorema de Pitágoras para

calcularmos o valor de R .
h2  c 2  c 2
2
2
 




R   R (x)   R (y) 
 







2
 
2
2




R

70

25
,
6
 
 

2
 
 R   4900  655,36
 

2
 
 R   5555,36
 


R 

5555,36
R  74,53 N
2
Para o cálculo do ângulo a, temos:

c.o. R( y ) 25,6
tg a 
  
 0,3657
c.a. R
70
(x)
tg a  0,3657
Esse é o valor da tangente do ângulo a
Para calcularmos o valor do ângulo a,
temos que encontrar o arctg a, então:
a  arctg a  arctg 0,3657
a  20

Concluímos então que a Resultante R  74,53 N e forma
um ângulo a  20 com o eixo x.
Um alpinista muito ágil, percorre um trajeto passando pelos
pontos A e B. Não se sabe ao certo o que ocorreu, mas ele
conseguiu com o material apropriado chegar a conclusão das
medidas abaixo mencionadas. Quando chega até a árvore ele
percebe que o único caminho que o levará até o ponto C é
escalando-a. (a altura da árvore é representada por h - despreze a
largura do tronco)
Se sua velocidade média é de 0,2 m/s, quantos minutos ele
demorou para sair do ponto A e chegar ao ponto C? ( 3 1,7 )
Solução:
Resumidamente, temos o
triângulo ao lado que
representa nosso desafio.
c.o.
h
tg 30 

 tg 30 . (20  y )  h  h  tg 30 . (20  y )
c.a. (20  y )
3
h
. (20  y ) ( I )
3
tg 60 
h
c.o. h

 tg 60 . y  h  h  tg 60 . y
c.a.
y
3 . y ( II )
Igualando o h das equações ( I ) e (II)
3
(I) h 
. (20  y )
3
( II ) h 
3 .y
3
. (20  y )  3 . y

3 . (20  y )  3 .
3
 (20  y )  3 . y  20  3 y  y  20  2y
 y  10 metros
Como
h
3 .y
h  1,7 .10
h  17 metros
3 .y
Agora com o valor das medidas temos condição de determinar
quanto ele percorreu do ponto A até o ponto C, observe:
v = 0,2 m/s
17 metros para
subir a árvore
17 metros para
descer da árvore
30 metros
De A até C ele percorreu 30 + 17 + 17 = 64 metros
s
s
V
 V . t  s  t 
t
V
64
320 segundos
t 
 320 segundos  t 

0,2
60
t  5,333 min utos ou t  5 min utos e 20 segundos
Obrigado pela
participação de todos!!!
Infelizmente, terminou . .
.
Prof. Edson Arnaldo Mendes
Prof. Paulo Alves Rodrigues