TRIGONOMETRIA
FUNÇÕES
TRIGONOMÉTRICAS
Seno de um arco
med(CÔP) = med (AÔP) = med (AP) = a
Aplicando a definição de seno de um ângulo agudo:
sen a =
De modo geral, para m e n reais pertencentes ao intervalo [–1, 1]:
Para todo arco AP do ciclo trigonométrico, com P(m, n),
med(AP) = a rad, a  ℝ e 0  a  2, temos sen a = n.
O seno do ângulo a é a ordenada de P no eixo
O eixo
.
, das ordenadas, é também chamado eixo dos senos.
Simetria no estudo do seno
Para determinar o seno dos arcos dos demais quadrantes, devemos
considerar a simetria do ponto P, com P  QI, e de seus simétricos em
relação ao eixo das abscissas, à origem O e ao eixo das ordenadas.
Simetria no estudo do seno
Exemplo
Nas figuras a seguir, observe o seno de alguns arcos do 1º quadrante e
o seno de seus simétricos em relação aos eixos ou à origem O.
∎
∎
Simetria no estudo do seno
Exemplo
∎
∎
Simetria no estudo do seno
Exemplo
∎
∎
Simetria no estudo do seno
Exemplo



Observação
Os valores do seno dos arcos 0,
notáveis.
,
,
,
, ,
e 2 são chamados de valores
Redução ao 1o quadrante
Para a, em radiano, no 1o quadrante:



Redução ao 1o quadrante
Exemplo
Vamos determinar o seno de
relação aos eixos e à origem O.
e o seno de seus simétricos em
Variação do seno
Observação
No ciclo trigonométrico, para todo a  ℝ, com 0  a  2, temos:
–1  sen a  1
Exemplo
Determinar os valores reais de k para que se tenha sen x – 6 = 3k.
Resolução:
sen x = 3k – 6 → como – 1 ≤ sen x ≤ 1, então – 1 ≤ 3k – 6 ≤ 1 →
→ – 1 + 6 ≤ 3k ≤ 1 + 6 → 5 ≤ 3k ≤ 7 → 5/3 ≤ m ≤ 7/3
Exemplo
1. Colocar em ordem crescente os valores de:
Resolução
O arco de
localiza-se no 1o quadrante:
Logo:
Sabemos que:
e
(valores extremos para o seno)
Como
;, então:
Cosseno de um arco
Aplicando a definição de cosseno de um ângulo agudo:
Cosseno de um arco
De modo geral, para m e n reais pertencentes ao
intervalo [–1, 1]:
Para todo arco AP do ciclo trigonométrico, com P(m, n),
med(AP) = a, a  ℝ e 0  a  2, temos cos a = m.
O cosseno do ângulo a é a abscissa de P no eixo
O eixo
, das abscissas, é também chamado eixo
dos cossenos.
.
Simetria no estudo do cosseno
Para determinar o cosseno dos arcos dos demais quadrantes,
devemos considerar a simetria do ponto P, com P  QI, e de seus
simétricos em relação ao eixo das abscissas, à origem O e ao eixo das
ordenadas.
Simetria no estudo do cosseno
Exemplo
Observe, nas figuras a seguir, o cosseno de alguns arcos do
1o quadrante e o cosseno de seus simétricos em relação aos eixos ou
à origem O.
 cos
= cos
 cos
= sen
=
=–
Simetria no estudo do cosseno
Exemplo
∎
∎
∎
∎
Simetria no estudo do cosseno
Exemplo
Observação
Os valores do cosseno dos arcos 0,
valores notáveis.
e 2 são chamados de
Redução ao 1o quadrante
Para a, em radiano, no 1o quadrante:
 cos ( – a) = –cos a
 cos ( + a) = –cos a
 cos (2 – a) = cos a
Redução ao 1o quadrante
Exemplo
Vamos calcular o cosseno de 11 e o cosseno de seus simétricos em
6
relação aos eixos e à origem O.
Variação do cosseno
Observação
No ciclo trigonométrico, para todo a ∈ ℝ, 0 ≤ a ≤ 2, temos:
–1 ≤ cos a ≤ 1
Exemplo
Determinar os valores reais de m para que se tenha cos x – 2m = 4.
Resolução:
cos x = 4 + 2m → como – 1 ≤ cos x ≤ 1, então – 1 ≤ 4 + 2m ≤ 1 →
→ – 1 – 4 ≤ 2m ≤ 1 – 4 → – 5 ≤ 2m ≤ – 3 → – 5/2 ≤ m ≤ – 3/2
Função seno
Considerando a projeção ortogonal de P
no eixo vertical, a ordenada do ponto P é
o seno do arco de medida x.
Logo:
A função seno é a função f: ℝ → ℝ que associa cada
número real x a um único sen x, ou seja, f(x) = sen x.
O gráfico da função seno
Vamos construir o gráfico da função f(x) = sen x com base em uma
tabela de valores para x tal que x ∈ [0, 2].
x
0
sen x
0

1
0
2
–1
0
O gráfico da função seno
A curva obtida no intervalo [0, 2] repete-se para x > 2 e x < 0.
Características da função seno
 É periódica, de período 2 (cada ciclo se completa em um intervalo
de 2).
 É limitada, ou seja, seus valores estão no intervalo [–1, 1]; seu
conjunto imagem é Im = [–1, 1].
 É crescente nos intervalos
intervalos
etc. e decrescente nos
etc.
Características da função seno
 É positiva para x nos intervalos ]0, [, ]2, 3[ etc. e
negativa para x nos intervalos ]–, 0[, ], 2[, ]3, 4[ etc.
 Tem amplitude (metade da diferença entre as ordenadas máxima e
mínima dos pontos do gráfico) igual a 1.
Função cosseno
Considerando a projeção ortogonal de P no
eixo horizontal, a abscissa do ponto P é o
cosseno do arco de medida x.
Logo:
A função cosseno é a função f: ℝ → ℝ que associa cada
número real x a um único cos x, ou seja, f(x) = cos x.
O gráfico da função cosseno
Vamos construir o gráfico da função f(x) = cos x com base em uma
tabela de valores para x tal que x ∈ [0, 2].
x
0
cos x
1

0
–1
2
0
1
O gráfico da função cosseno
A curva obtida no intervalo [0, 2] repete-se para x > 2 e x < 0.
Características da função cosseno
 É periódica, de período 2 (cada ciclo se completa em um intervalo de
2).
 É limitada, ou seja, seus valores estão no intervalo [–1, 1], o que
significa que seu conjunto imagem é Im = [–1, 1].
 É crescente nos intervalos [–, 0], [, 2] etc. e
decrescente nos intervalos [0, ], [2, 3] etc.
 É positiva nos intervalos
negativa nos intervalos
etc. e
etc.
Características da função cosseno
 Tem amplitude igual a 1.
 O gráfico da função cosseno forma uma “onda’’ semelhante à do
gráfico da função seno, com deslocamento de
esquerda.
rad para a
Função tangente
Vamos considerar o ponto T da intersecção
entre a reta OP e a reta tangente à
circunferência pelo ponto A(1, 0).
A ordenada do ponto T é a tangente do arco
de medida x.
Logo:
A função tangente é a função f:
, que
associa cada número real x (com exceção dos valores
côngruos a
e
) a um único valor tg x, ou seja, f(x) = tg x.
Características da função tangente
 A função tangente é periódica, de período .
 A função tangente não é limitada, ou seja, seu conjunto imagem é
Im =]–∞, +∞[ ou ℝ.
 A função tangente é crescente nos intervalos
onde
k ∈ ℤ.
 A função tangente assume valores positivos para x nos intervalos
etc. e valores negativos para x nos intervalos
etc.
EXEMPLO
1. Determinar o domínio da função
.
Resolução
De acordo com a restrição do domínio para a função
tangente, temos:
Logo:
DOMÍNIO – IMAGEM - PERÍODO
Nas funções do tipo f(x) = a + b.sen cx e g(x) = a + b.cos cx temos que:
EXEMPLO
1. Determinar domínio, imagem e período de f(x) = 2 ∙ cos
Resolução:
a = 0, b = 2 e c = 1
.
2. Obter domínio, imagem e período de f(x) = –4 + 4 ∙ sen 3x.
Resolução:
a = – 4, b = 4 e c = 3
3. Ciência. Em uma cidade litorânea, a altura h da maré (em metro),
em função do tempo, é dada pela expressão h(t) = 2 + 0,5 ∙ cos
na qual t é o tempo, medido em hora, a partir da meia-noite
(t = 0 representa meia-noite). Determinar a altura máxima e a altura
mínima da maré e de quanto em quanto tempo a maré faz um ciclo
completo.