14. Processos Estocásticos
Seja  o resultado de um experimento aleatório. Suponha que uma
forma de onda X ( t ,  ) é associada a cada resultado.A coleção de tais
formas de ondas formam um processo estocástico. O conjunto de { k }
e o índice de tempo t podem ser contínuo ou discreto (contável
finito ou infinito).
Se  i  S fixo, X ( t ,  ) é uma função específica do tempo.
Se t é fixo, X 1  X ( t1 ,  i ) é uma variável aleatória.
Se  i  S e t são fixos X 1  X ( t1 ,  i ) , X ( t ,  ) é um número.
X (t,  )

X (t,  )
n
X (t,  )

X (t,  )

k
2
X (t,  )
1
0
t
t
1
t
2
1
Exemplo de um processo aleatório X(t).
X ( t )  a cos(  0 t   ),
onde a e  o são constantes e  é uma v.a. uniformemente distribuída
no intervalo ( 0 , 2 ).
se X(t) é um processo estocástico, então para um t fixo, X(t)
representa uma variável aleatória. Sua função distribuição de
probabilidade é dada por:
F X ( x , t )  P{ X ( t )  x}
Note que F ( x , t ) depende de t, então para diferentes valores de t, temse diferentes variáveis aleatórias. Portanto
X

f X ( x, t ) 
dF X ( x , t )
dx
representa a função densidade de probabilidade de primeira ordem do
processo X(t).
2
Para t = t1 e t = t2, X(t) representa duas diferentes variáveis aleatórias
X1 = X(t1) e X2 = X(t2), respectivamente. Sua distribuição conjunta é
dada por
F X ( x 1 , x 2 , t1 , t 2 )  P { X ( t1 )  x 1 , X ( t 2 )  x 2 }
e
 F X ( x1 , x 2 , t1 , t 2 )
2

f X ( x1 , x 2 , t1 , t 2 ) 
 x1  x 2
representa função densidade de probabilidade de segunda ordem do
processo X(t). Da mesma forma f ( x1 , x 2 ,  x n , t1 , t 2  , t n ) representa
a função densidade de probabilidade conjunta de n-ésima ordem do
processo estocástico X(t). A especificação completa do processo
estocástico X(t) requer o conhecimento de todo t i , i  1, 2 ,  , n
e todo n. f ( x1 , x 2 ,  x n , t1 , t 2  , t n )
X
X
Média de um processo estocástico:

 ( t )  E { X ( t )} 

 
x f X ( x , t ) dx
representa o valor médio do processo X(t), em geral, a média depende
3
de t.
Função autocorrelação de um processo X(t) é definido como

R X X ( t1 , t 2 )  E { X ( t1 ) X ( t 2 )} 
*

*
x 1 x 2 f X ( x 1 , x 2 , t1 , t 2 ) dx 1 dx 2
que representa o inter-relacionamento entre as variáveis aleatórias
X1 = X(t1) e X2 = X(t2) geradas do processo aleatório X(t).
Propriedades:
1. R ( t1 , t 2 )  R * ( t 2 , t1 )  [ E { X ( t 2 ) X * ( t1 )}] *
XX
2
XX
R XX ( t , t )  E {| X ( t ) | }  0 .
2
(Potência média instantânea)
3. R ( t1 , t 2 ) representa uma função definida não negativa, isto é, para
qualquer conjunto de valores constantes {a i } in 1
XX
n
n

a i a j R XX ( t i , t j )  0 .
*
i 1 j 1
e
C XX ( t1 , t 2 )  R XX ( t1 , t 2 )   X ( t1 )  X ( t 2 )
*
representa a função autocovariância do processo X(t).
4
T
Exemplo 14.1. Se z   X ( t ) dt . Então
T
E [| z | ] 
2

T
T
 T  T
T
*
E { X ( t1 ) X ( t 2 )} dt 1 dt 2
T
 T  T R
XX
( t1 , t 2 ) dt 1 dt 2
Examplo 14.2. Considere o processo aleatório
X ( t )  a cos(  0 t   ), com
 ~ U ( 0 , 2 ).
Determine a média e a função autocorrelação de X(t)
 ( t )  E { X ( t )}  aE {cos(  0 t   )}
X
 a cos  0 t E {cos  }  a sin  0 t E {sin  }  0 ,
E {cos  } 
visto que
1
2
2
0
cos  d   0  E { sin  }.
Similarmente
R XX ( t1 , t 2 )  a E {cos(  0 t1   ) cos(  0 t 2   )}
2
R XX ( t1 , t 2 ) 
a
2
2
E {cos  0 ( t1  t 2 )  cos(  0 ( t1  t 2 )  2 )} 
a
2
2
cos  0 ( t1  t 2 ).
5
Processos Estocásticos Estacionários
Processos estacionários apresentam uma importante propriedade
estatística: São invariantes ao deslocamento do índice de tempo.
Assim, por exemplo, estacionariedade de segunda ordem implica que
as propriedades estatística dos pares {X(t1) , X(t2) } e {X(t1+c) ,
X(t2+c)} são as mesmas para qualquer c.
Da mesma forma estacionariedade de primeira ordem implica que as
propriedade estatísticas de X(ti) e X(ti+c) são as mesmas para todo c.
Processo Estocástico Estritamente Estacionário
Um processo é estritamente estacionário se:
f X ( x 1 , x 2 ,  x n , t1 , t 2  , t n )  f X ( x 1 , x 2 ,  x n , t1  c , t 2  c  , t n  c )
Para qualquer c, onde o lado direito da equação representa a f.d.p.
conjunta das as v.a’s X 1  X ( t1 ), X 2  X ( t 2 ),  , X n  X. ( t n ) , e o
lado esquerdo representa a f.d.p. conjunta das v.a.'s aleatórias
X 1  X ( t1  c ), X 2  X ( t 2  c ),  , X n  X ( t n  c ).
t i , i  1, 2 ,  , n , n  1, 2 ,  e qualquer
c.
6
Para um processo estacionário no sentido estrito, tem-se
f X ( x,t)  f X ( x,t  c)
, para qualquer c. Em particular, se c = – t
f X ( x, t )  f X ( x)
isto é, a f.d,p. de primeira ordem de X(t) é independente de t. Neste
caso

E [ X ( t )] 
 
x f ( x ) dx   , a constant.
Considerando-se a estatística de segunda ordem, tem-se
f X ( x1 , x 2 , t1 , t 2 )  f X ( x1 , x 2 , t1  c , t 2  c )
para qualquer c. Para caso onde c = – t2, tem-se
f X ( x1 , x 2 , t1 , t 2 )  f X ( x1 , x 2 , t1  t 2 )
isto é, a f.d.p.conjunta de segunda ordem, de um processo
estacionário no sentido estrito depende somente da diferença de
tempo t1  t 2   .
7
Para a função autocorrelação tem-se:

R X X ( t1 , t 2 )  E { X ( t1 ) X ( t 2 )}

*

x 1 x 2 f X ( x 1 , x 2 ,   t1  t 2 ) dx 1 dx 2
*

 R X X ( t1  t 2 )  R X X ( )  R X X (   ),
*
isto é, a função autocorrelação de segunda ordem de um processo
estacionário no sentido estrito depende somente da diferença de tempo
Processo Estacionário no Sentido Amplo
Um processo estocástico é denominado de estacionário no sentido
amplo se:
i)
e ii) E { X ( t1 ) X * ( t 2 )}  R ( t1  t 2 ),
E { X ( t )}  
Isto é, não diz nada a respeito da função densidade de probabilidade
do processo aleatório, mas somente se refere à média e à função
autocorrelação. Assim pode-se afirmar que estacionariedade no
sentido estrito implica em estacionariedade no sentido amplo. No
entanto, a recíproca não é verdadeira, com exceção para processos
8
gaussianos.
XX
Isto segue do fato de que, se X(t) é um processo gaussiano, então, por
definição X 1  X ( t1 ), X 2  X ( t 2 ),  , X n  X ( t n ), são variáveis
conjuntamente gaussianas para qualquer t1 , t 2  , t n , cuja função
característica é dada por:
n
n
j
 ( 1 ,  2 ,
X
, n )  e
  ( tk )  k    C
k 1
XX
( ti , t k )  i  k / 2
l ,k
onde C ( t i , t k ) é a matriz covariância. Se X(t) é estacionário no
n
n
n
sentido amplo, então
1
XX
j
 ( 1 ,  2 ,
X
, n )  e
  k  2   C
k 1
XX
( ti  t k )  i  k
11 k 1
assim se o conjunto de índices de tempo forem deslocados de uma
constante c, gera um novo conjunto de variáreis aleatórias
conjuntamente gaussianas
X 1  X ( t1  c ), X 2  X ( t 2  c ),  , X n  X ( t n  c )
Assim o conj. de variáveis aleatórias { X i } in 1 e { X i} in 1 tem a mesma
função distribuição de probabilidade para todo n e todo c,
9
estabelecendo a estacionariedade de um processos gaussiano.
Resumindo: se X(t) é um processo gaussiano, então estacionaridade
no sentido amplo implica em estacionariedade no sentido estrito.
No caso do processo X ( t )  a cos(  0 t   ), ele é estacionário no
sentido amplo, mas é não no sentido estrito.
Se X(t) é um processo estacionário no sentido amplo, com média nula,
T
então a variância da v.a. z   X ( t ) dt . , é dada por:
T
 Z  E [| z | ] 
2
T
T
T
T
 
E { X ( t1 ) X ( t 2 )} dt 1 dt 2 
*
T
T
T
T
 
R XX ( t1 , t 2 ) dt 1 dt 2
t
Como t1 e t2 variam de –T a +T,   t1  t 2 varia
de –2T a + 2T. R ( ) é constante sobre a área
da região hachuriada, que é dada por:(  0 )
 T
2
  t1  t 2
XX
T

t
1
  T
1
( 2T   ) 
2
2
1
2T  
( 2T    d  )  ( 2T   ) d 
2
2
que se reduz a:

2
z

2T
 2t
R XX ( )( 2 T  |  |) d  
1
2T
2T
 2t
R XX ( )( 1 
| |
)d .
2T
10
Sistemas com Entrada Aleatória
Um sistema deterministico1 transforma uma forma de onda de entrada
X ( t ,  i ) em uma forma de onda Y ( t ,  i )  T [ X ( t ,  i )] operando somente
sobre a variável de tempo t. Assim, um conjunto de formas de ondas
correspondentes a um processo X(t), gera um novo conjunto de formas
{Y ( t ,  )} na saída do sistema associado a um novo processo Y(t).
Y (t,  )
X (t,  )
i
i


X (t)
T []


Y (t)
t
t
Nossa meta é estudar as propriedades estatísticas da saída em termos
das propriedades estatísticas da entrada.
1A stochastic
system on the other hand operates on both the variables t and  .
11
Sistemas Determinísticos
Sistemas sem memória
Sistemas com memória
Y ( t )  g [ X ( t )]
Variantes
no tempo
Invariantes
no tempo
Sistemas lineares
Y ( t )  L [ X ( t )]
Sistemas lineares
invariantes no tempo (LTI)
X (t )
h (t )
LTI system
Y (t ) 


   h ( t   ) X ( ) d 

   h ( ) X ( t   ) d  .
12
Sistemas sem memória:
A saída Y(t) neste caso depende somente do valor atual da entrada
X(t). i.e.,
Y ( t )  g { X ( t )}
(14-25)
entrada estacionária
no sentido estrito
Sistema
sem memória
entrada estacionária
no sentido amplo
Sistema
sem memória
X(t) estacionário
Gaussiano com
Sistema
sem memória
R XX ( )
Fig. 14.4
saída estacionária
no sentido estrito
Não precisa ser
estacionária em qq
sentido
Y(t) estationario, mas
não Gaussiano com
R XY ( )   R XX ( ).
13
Sistemas Lineares : L[.] representa um sistema linear se
L { a 1 X ( t1 )  a 2 X ( t 2 )}  a 1 L { X ( t1 )}  a 2 L { X ( t 2 )}.
Assim, Y ( t )  L{ X ( t )} representa a saída de um sistema linear.
Sistema invariante no tempo: L[.] representa um sistema
invariante no tempo se
Y ( t )  L{ X ( t )}  L{ X ( t  t 0 )}  Y ( t  t 0 )
isto é, o deslocamento da entrada resulta no mesmo deslocamento na
saía. Se L[.] satisfaz as duas condições acima, então o sistema é
linear e invariante no tempo: LTI.
Sistema LTI podem ser completamente especificados pela resposta ao
impulso:
h(t)
Resposta
ao impulso
 (t )
LTI
h (t )
t
Impulso
Resposta
ao impulso
14
Então
Y (t)
X (t)
X (t)
t
t
Y (t)
LTI
Y (t ) 
arbitrary
input


   h ( t   ) X ( ) d 

   h ( ) X ( t   ) d 
Demonstração: Expressndo X(t) como
X (t ) 

   X ( ) ( t   ) d 
Relacionando X(t) com a saída Y(t) do sistema LTI
Y ( t )  L { X ( t )}  L { 





X ( ) ( t   ) d  }

   L { X ( ) ( t   ) d  }
By Linearity

   X ( ) L { ( t   )} d 

   X ( ) h ( t   ) d 

By Time-invariance

   h ( ) X ( t   ) d  .
15
Saída do sistema: Usando a definição de valor médio e relacionado
a entrada com a saída

 ( t )  E {Y ( t )} 
   E { X ( ) h ( t   ) d  }
Y


  
X
( ) h ( t   ) d    X ( t )  h ( t ).
Da mesma forma, definindo a função correlação cruzada entre o processo
de entrada e de saída, então:
R XY ( t1 , t 2 )  E { X ( t1 )Y ( t 2 )}
*
 E { X ( t1 ) 



 

 


*
X ( t 2   ) h ( ) d  }
*
*
E { X ( t1 ) X ( t 2   )} h ( ) d 
*
R XX ( t1 , t 2   ) h ( ) d 
*
 R XX ( t1 , t 2 )  h ( t 2 ).
*
A função autocorrelação da saída é dada por:
16
R YY ( t1 , t 2 )  E {Y ( t1 )Y ( t 2 )}
*
 E {



 


X ( t 1   ) h (  ) d  Y ( t 2 )}
*
*
E { X ( t1   )Y ( t 2 )} h (  ) d 

  R
XY
( t1   , t 2 ) h (  ) d 
 R XY ( t1 , t 2 )  h ( t1 ),
ou
R YY ( t1 , t 2 )  R XX ( t1 , t 2 )  h ( t 2 )  h ( t1 ).
*
 (t )
 (t )
h(t)
X
Y
(a)

R XX ( t1 , t 2 ) 
h*(t2)
XY
1 2



(b)
R
( t ,t )
h(t1)

 R YY ( t1 , t 2 )
17
Em particular se X(t) é estacionário no sentido amplo, então
 ( t )   e portanto
X
X
 (t )  
Y
X



h ( ) d    X c , a constante.
ainda R ( t1 , t 2 )  R ( t1  t 2 ) , tal que
XX
XX

R XY ( t1 , t 2 ) 
 
R XX ( t1  t 2   ) h ( ) d 
*

 R XX ( )  h (  )  R XY ( ),
*
  t1  t 2 .
Assim, X(t) e Y(t) são conjuntamente estacionários no sentido amplo.
A função autocorrelação de saída é então simplificada
R YY ( t1 , t 2 ) 

  R
XY
( t1    t 2 ) h (  ) d  ,
  t1  t 2
 R XY ( )  h ( )  R YY ( ).
substituindo R (τ ) , obtém-se:
XY
R YY ( )  R XX ( )  h (   )  h ( ).
*
18