EE –05
Princípios de Telecomunicações
AULA 6
Modulação em Ângulo
Definição

Neste tipo de modulação o ângulo da
portadora varia de acordo com o sinal em
banda base.
s(t )  Ac cos[i (t )]

a)
b)
Neste tipo de modulação temos:
Modulação em freqüência (FM);
Modulação em fase (PM);
Definições

Modulação em fase: O ângulo da portadora
varia linearmente com o sinal de mensagem
m(t).
s(t)  Ac cos[2fc t  k p m(t)]
 fc
é a freqüência da portadora não modulada;
 kp é a sensibilidade do modulador em rad/V;
Definições

Modulação em freqüência: A freqüencia
instantânea varia linearmente com a portadora.
fi (t)  fc  k f m(t)
 fc é
a freqüência da portadora não modulada;
 kf é a sensibilidade do modulador (Hz/V)
Modulação FM

A freqüência instantânea de um sinal é dada
por:
1 d
fi 
2 dt
Onde  é a fase do sinal em radianos.
Assim, se a partir da freqüência, quisermos
obter a fase tem-se que:

  2  f i .dt
Modulação FM

Assim, se quisermos obter um sinal FM,
tem-se que: s(t)  A cos[ (t)] 1
c
i
fi (t )  fc  k f m(t ) (2)
i  2 f i .dt

(3)
Substituindo (2) em (3), tem-se que:
i  2f c t  2k f  m( t )dt

Finalmente, tem-se o sinal FM, dado por:
s( t )  A c cos[ 2f c t  2k f  m( t )dt ]
Relação entre modulação FM e modulação PM.
(a) Esquema de geração de FM usando um
modulador de fase. (b) Esquema de geração de
PM usando um modulador de freqüência.
Modulação FM

Observa-se que o processo de modulação
FM é um processo não linear, pois o sinal
s(t) é uma função não linear do sinal de
mensagem m(t).

Isto dificulta sobremaneira a análise
espectral do sinal, ao contrário do sistema
de modulação em amplitude.
Modulação FM


Consideremos um sinal senoidal como sinal
modulador. Assim, tem-se que:
m(t )  Am cos(2f m t )
Assim, a freqüência do sinal modulado pode ser
escrita como:
f i  f c  k f A m cos(2f m t ) 
 f c  f . cos(2f m t )

Onde f =kf.Am é chamado de desvio de freqüência.
Modulação FM

Assim sendo, o sinal FM pode ser escrito como:
s(t )  Ac cos[i (t )]
fi  f c  f . cos(2f m t )
f
i ( t )  2 f i ()d 2f c t 
. sen(2f m t ) 
fm
0
t
 2f c t  . sen(2f m t )

=f/fm é chamado de índice de modulação do
sinal FM.
Modulação FM

O sinal FM pode então ser escrito como:
s(t)  Ac cos[2f c t   sen(2f m t)]
Se  for pequeno comparado a 1 rad, tem-se a
modulação FM faixa estreita (Narrowband FM);
 Se  for grande comparado a 1 rad, tem-se a
modulação FM faixa larga (Wideband FM);

Modulação FM Faixa Estreita

Através da relação anterior tem-se que:
s(t )  Ac cos[2f c t   sen(2f m t )] 
Ac cos(2f c t ).cos[ sen(2f m t )]  Acsin (2f c t ).sin[ sen(2f m t )]

Considerando <<1, tem-se que:
cos[. sen(2f m t )]  1;
sin[. sen(2f m t )]  . sen(2f m t )

E o sinal FM fica assim:
s(t )  Ac cos(2fc t)  .Ac sen(2fc t).sen(2f m t )
Diagrama de blocos de um método de
geração de FM faixa estreita.
s(t )  Ac cos(2fc t)  .Ac sen(2fc t).sen(2f m t )

O sinal FM faixa estreita fica assim
1
s( t )  A c cos( 2f c t )  A c {cos[ 2(f c  f m ) t  cos[ 2(f c  f m ) t ]}
2

Comparemos com o sinal AM
1
s AM ( t )  A c cos( 2f c t )  A c {cos[ 2(f c  f m ) t  cos[ 2(f c  f m ) t ]}
2

Vejamos o diagrama fasorial
Modulação FM-Faixa larga

O sinal FM pode ser escrito como:
s( t )  Re[A c e j2 f c t .e jsin ( 2 f m t )) ] 
~
 Re[s( t )e j2 f c t ]
~

s( t )
FM

é chamado de envelope complexo do sinal
~
s( t )  A c e
j sen( 2 f m t )
Observar que este sinal é periódico, portanto é
possível determinar a sua série de Fourier
Complexa.
Modulação Faixa Larga

Determinemos os coeficientes da série de
Fourier complexa.

~
s( t )   c n e j2 nf m t


Onde os coeficientes são calculados da
seguinte forma:
T
2~
c n  f m  s( t )e  j2 nf m t dt 

T
2
T
2
 f m A c  e j sen( 2 f m t )  j2 nf m t dt

T
2
Modulação Faixa Larga

O resultado desta integral não é analítico,
assim, tem-se como resultado as funções de
Bessel, tal que:
c n  Ac J n (  )

Substituindo-se na representação inicial do
sinal, tem-se que:
s( t )  A c  J n (  ) cos[2 (f c  nfm ) t ]


Cuja transformada de Fourier é:
Ac
S(f ) 
2

 J n (  )[ (f  fc  nfm )   (f  fc  nfm )]

Modulação Faixa Larga
Ac
S(f ) 
2

 J n (  )[ (f  fc  nfm )   (f  fc  nfm )]

Largura de Faixa para
transmissão FM

Regra de Carson’s (Empírica)
BT  2 f (1 

1

)
Outra maneira é tomar uma largura de faixa
cuja componente tem valor inferior a 1% da
portadora não modulada, ou seja:
| J n (  ) | 0,01
Modulação Faixa Larga
Exemplo

Nos Estados Unidos, o máximo valor do
desvio de freqüência f é 75 kHz para FM
comercial. Se a largura em banda base é de
15 kHz, que é tipicamente a máxima
freqüência de aúdio de interesse, qual é
largura de faixa requerida.
Exemplo

O índice de modulação é dado pela razão
entre o desvio máximo de freqüência e a
máxima freqüência do sinal de modulação,
ou seja:


 f 75 kHz

5
f m 15 kHz
De acordo com o critério da regra de Carson
BT  2(75 
75
)  160 kHz
15
Exemplo

De acordo com o critério de 1%,
analisando-se o gráfico dado anteriormente,
tem-se que:
BT  3.2f  3.2(75)  240kHz

Na prática é alocada para cada rádio FM
uma largura de faixa de 200 kHz
Diagrama de blocos da geração indireta
do sinal de FM – Método de Armstrong
Diagrama de blocos de um multiplicador
de freqüência
Demodulação FM