Ensino Superior
Cálculo 2
1.1 Integral Indefinida
Método da Substituição
Amintas Paiva Afonso
Integral Indefinida
Técnicas de Integração (Primitivação)
OBJETIVO: Apresentar técnicas para determinar a função F(x) –
conhecida como primitiva – tal que F’(x) = f(x) ou:
 f(x)dx  F(x)
As principais técnicas de primitivação, conforme visto no curso
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL são:
– INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEL
– INTEGRAÇÃO POR PARTES
– INTEGRAÇÃO POR DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS
– INTEGRAÇÃO UTILIZANDO SUBSTITUIÇÕES (POR MEIO DE
IDENTIDADES) TRIGONOMÉTRICAS
Integral Indefinida
Integral Indefinida
Integral Indefinida
EXEMPLO 01
Calcular
2
50
(x

1)
2x dx

Solução
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Seja u = x2 + 1
du
 2x
dx
Logo: 2x dx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
 (u)
50
du
u 51
(x2  1)51
 (u) du  51  C  51  C
50
Integral Indefinida
EXEMPLO 02
Calcular
 sen(x  9) dx
Solução
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Seja u = x + 9
du
1
dx
Logo: dx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
 sen(u) du
 sen(u) du  cos(u)  C  cos(x  9)  C
Integral Indefinida
EXEMPLO 03
Calcular
2
sen
 (x) cos(x) dx
Solução
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Seja u = sen(x)
du
 cos(x)
dx
Logo: cos(x) dx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
2
u
 du
u3
sen3 (x)
 u du  3  C  3  C
2
Integral Indefinida
EXEMPLO 04
Calcular
e

x
x
dx
Solução
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
x
Seja u =
1
1
du d  2  1  2 1 1
1

x

x


 
Então
dx dx   2
2 1 2 x
x2
Logo:
1
2 x
dx = du
Antes da substituição, a função dada será escrita de outra forma.
Integral Indefinida

e
x
x
dx  
e
x
2
1 2 x
dx   2e
1
x
2 x
dx
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
 2e
1
x
2 x
outra maneira de chegar aqui
sem manipular a função
dada é fazendo (página 08):
1
1
dx  du 
dx  2du
2 x
x
dx   2eu du
u
u
u
2e
du

2
e
du

2
e
 C  2e


Ou seja:

e
x
x
dx  2e
x
C
x
C
Integral Indefinida
EXEMPLO 05
Calcular
2
x
 x  1 dx
Solução
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Seja u = x – 1
Logo: dx = du
Se u = x – 1
Então x = u + 1
x2 = (u+1)2
x2 = u2 + 2u + 1
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
Integral Indefinida
2
(u
  2u  1) u du
ou:

1
(u 2  2u  1) u 2
1
1
 2 1
du    u u 2  2uu 2  1u 2  du




3
1
 5
   u 2  2u 2  u 2  du




Portanto:
 5
u2


3
 2u 2
1
 u2
5
1
2
u
3
1
2
u
1
1
2
u

 du 
2

C

5
3
1

1
1
1
2
2
2
Integral Indefinida
Finalmente:
3
1
7
5
3
 5
2
4
2
  u 2  2u 2  u 2  du  7 u 2  5 u 2  3 u 2  C


Escrevendo em termos de x:
2
x

7
5
3
2
4
2
x  1 dx  (x  1) 2  (x  1) 2  (x  1) 2  C
7
5
3
Integral Indefinida

Técnicas de Integração


Método da Substituição: A chave do método da substituição é dividir
a função em partes e depois encontrar uma parte da função cuja
derivada também faça parte dela.
Exemplo


sen x
 cos x dx
Podemos dividir a equação acima em duas partes:

sen x.dx e

cos x.
Repare que a derivada do cos x é -sen x, portanto,
a derivada do cosseno faz parte da função.
Integral Indefinida

Passos:




Procure na função pela parte cuja derivada esteja na
função. Se você estiver em dúvida, tente usar a que está
no denominador ou alguma expressão que esteja sendo
elevada a uma potência;
Chame-a de “u” e tome sua derivada com relação ao
diferencial (dx, dy, dt, etc.). Acrescentando esse
diferencial;
Use as expressões “u” e “du” para substituir as partes da
integral original;
A sua nova integral será mais fácil de ser calculada, mas
não esqueça de, ao final, desfazer a substituição.
Integral Indefinida
Exemplo 06:
Use o método de substituição para encontrar a integral:
Solução

sen x
 cos x dx
Devemos escolher parte da função cuja derivada esteja na função,
como a derivada de sen x = cos x e a derivada do cos x = -sen x,
e, ambas estão na função, na dúvida... selecionamos a parte que
está no denominador, isto é, cos x.

Chamamos u = cos x;

Agora derivamos u com relação a “x”, portanto: du = -sen x.dx;

Como na função original a função seno é positiva, basta multiplicar
ambos os lados por –1 para que ela fique positiva;
 du  sen x.dx
Integral Indefinida

Solução
 Basta re-escrever a integral original com as expressões
“u” e “du”;

Integral original:
sen x.dx
 cos x
 du
 u

Nova integral:

Que também pode ser re-escrito como:
du

u
Integral Indefinida

Solução


du
Basta calcular: 
 u   ln | u | C ;
O passo final é desfazer a substituição de u pelo
o valor da original:
du

  ln | cos x | C
u
Integral Indefinida
Exemplo 07

Use o método de substituição para encontrar a integral:
 cos( 3x).dx
Solução

Chamamos u = 3x;

Agora derivamos u com relação a “x”, portanto: du = 3.dx;

Basta re-escrever a integral original com as expressões
“u” e “du”;

Note que 3.dx não está na equação original, apenas dx.
Para ficar apenas com dx, fazemos:
du
 dx
3
Integral Indefinida

Solução
Basta re-escrever a integral original com as expressões “u” e
“du”;

Integral original:
 cos( 3x).dx

Nova integral:
du
 cos u. 3

1
Que também pode ser re-escrita:
cos u.du

3
Integral Indefinida
Solução


1
1
1
cos
u
.
du

. sen u  C
Calculando  cos u.du , temos: 
3
3
3
Substituindo u pelo seu valor original, teremos:
1
1
cos u.du  . sen 3 x  C

3
3
Integral Indefinida
EXEMPLO 08
INTEGRAÇÃO DE POTÊNCIAS QUADRÁTICAS DAS
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SEN(X) E COS(X)
Sejam as identidades trigonométricas:
sen 2 x 
1  cos2x
2
cos 2 x 
1  cos2x
2
Assim,
2
sen
 x dx  
1  cos2x
1
1
dx   dx   cos2x dx
2
2
2
1  x 01  1  sen2x
 
 
2  0  1 2  2 
2
 sen x 
x sen 2x

C
2
4
 cos2xdx
u  2x
du
du
2 
 dx
dx
2
1
cos2xdx 
cos u du
2
1
 sen u  C
2


Integral Indefinida
Da mesma forma, e utilizando a outra identidade trigonométrica:
2
cos
 x
x sen 2x

C
2
4
A integral
 sen
2
x cos 2 x dx
pode ser resolvida fazendo:
 1  cos2x   1  cos2x 
2
2
sen
x
cos
x
dx


  2   2  dx


1
1  cos2x  1 1  cos2x  dx
2
2


1
1  cos 2 2x dx

4
Integral Indefinida



1
2
1

cos
2x dx

4

1
1
2
1
dx

cos
2x dx


4
4
 cos 2x dx
2
u  2x

 cos 2x dx
2

x 1  x sen4x
  
4 4 2
8 

x sen4x

C
8
32
du
 dx
2
1
1  u sen 2u  u sen 2u x sen 4x

cos2 u du   
 
 

2
2 2
4  4
8
2
8
Integral Indefinida
EXEMPLO 09
Determinar

(x  2) sen(x2  4x  6) dx
Solução
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Seja u = x2 + 4x – 6
Então:
du
 2x  4
dx
du  (2x  4) dx  2 (x  2) dx
Integral Indefinida
Mas:

Logo, seja:
(x  2) sen(x2  4x  6) dx
du
 (x  2) dx
2
Assim,


(x  2) sen(x 2  4x  6) dx  sen(u)

du 1

sen(u) du
2 2
Sabe-se que:
 sen(u)du  cos(u) C
TABELA
Integral Indefinida
Então:

(x  2) sen(x 2  4x  6) dx 
1
(cos(u)  C)
2
Portanto:

1
(x  2) sen(x 2  4x  6) dx   cos(x 2  4x  6)  C
2
Integral Indefinida
EXEMPLO 10
Determinar

x
dx
x  x 1
2
Solução
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Seja u = x2 + x + 1
Então:
du
 2x  1
dx
du  (2x  1) dx
Na integral original, fazer:

x
x  x 1
2
dx 
1
2

2x
x  x 1
2
dx 
1
2

2x  1  1
x  x 1
2
dx
Integral Indefinida
Mas:
1
2

2x  1  1
x  x 1
2
dx 
1
2

2x  1
x  x 1
2
dx 
1
2

1
x  x 1
2
1
1
1
2
1
2
dx
2
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO


2x  1
x  x 1
2
1
1
du 
2
u
1
2

dx 

1

u 2
1
2

1
du
u
ver detalhes na página anterior
  1 1 
 1
1
1  u 2  1 u 2 
du  
    u2  u

2   1  1 2  1 
 2 
 2 
2x  1
x2  x 1
dx  x 2  x  1  C
Integral Indefinida
2
TABELA

1
a2  u2
du  ln u  a 2  u 2  C
A segunda integral a ser resolvida está (ou pode ser colocada)
na forma acima:
1
2

1
x  x 1
2
dx 
1
2

1
1  3


x


  
2   2 

2
2
dx 
onde:
u x
1
2
du  dx
a
3
2
1
2

1
u a
2
2
du
Integral Indefinida
Portanto:
1
2

1
1
1
dx  ln x  
2
2
x2  x 1
2
3 
1
x    C
4 
2
Então, finalmente:

x
1
1
dx  x  x  1  ln x  
2
2
x2  x 1
2
2
3 
1
x   C
4 
2
Integral Indefinida

Bibliografia utilizada:





Flemming, D. M. & Gonçalves, M. B. Cálculo A. Person Education.
São Paulo, 1992.
Abdounur, O. J. & Hariki, S. Matemática Aplicada. Saraiva. São
Paulo, 2006.
Stewart, J. Cálculo. Volume I. Thomson. São Paulo, 2006.
Priestley, W. M. Calculus: An Historical Approach. SpringerVerlag. New York, 1979.
Eves, H. Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics.
Dover, 1990.