Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Educação Matemática e Tecnologia (MAT01074)
Profº Marcus Basso
Funções Hiperbólicas
das aplicações às definições
Juliana Zys Magro
Karen Maria Jung
Lucas Backes
Rene Baltazar
Motivação
Ao observar um fio usado para transporte de energia
elétrica, preso em dois postes, notamos que o peso do
mesmo faz com que ele fique um pouco arredondado,
dando a impressão de que o gráfico formado pela curva
representa uma parábola, mas na verdade, tal curva é o
gráfico da função cosseno hiperbólico, conhecida como a
catenária (do latim catena=cadeia), pois foi através de uma
corrente metálica formada por elos (cadeias) que se
observou primeiramente tal curva.
Problemas
Um paraquedista salta, com velocidade inicial nula, a partir de
uma altura h acima do solo, e atua sobre ele uma resistência do
ar Newtoniana, isto é, proporcional ao quadrado da velocidade.
Escolhendo “para cima” como sentido positivo, podemos
escrever:
dv
m  m g  kv2 ;
dt
v(0)  0
Problemas
Esta equação diferencial é do tipo a variáveis separáveis e o
problema de valor inicial acima tem solução:
1/ 2
1/ 2
 mg 
v(t )  

 k 
e  At  1
,
 At
e 1
gk
onde A  2  . Observamos que, quando t tende ao infinito,
1/ 2
m
mg


v(t) tende à velocidade limite v    . Na verdade, esta
 k 
velocidade não é atingida, porque o paraquedista atinge o solo
em algum instante de tempo finito.
Problemas
A solução pode ser reescrita fazendo uso de tangente
hiperbólica, pois:
 At
 At / 2
 At / 2
e 1 e
(e
e )
 At 
  At / 2  At / 2
  tanh .
 At
At / 2
e 1 e
(e
e )
 2 
At / 2
Um exemplo com números:
m  120kg;
k  0,21N .s 2 / m 2 ;
g  10m / s 2 ,
leva ao gráfico para v(t ) :
Problemas
Também encontramos problemas que envolvem funções
hiperbólicas relacionados à Combinatória, por exemplo:
Encontrar o número de r-seqüências quaternárias que
contém somente um número par de zeros.
Para resolvermos uma parte desse problema, encontramos a
função geradora para o dígito zero, que é:
2
4
x
x
x6
1 x x
1 
  ...  (e  e )  cosh(x).
2! 4!
6!
2
Podemos ver que neste caso encontramos a expressão cosh(x).
Definição
e e
2
t
sinh(t)=
e e
cosh(t)=
2
t
t
t
tanh(t)=
t
e e
t
t
e e
t
Por que o nome
FUNÇÕES HIPERBÓLICAS?
Lembra-se das funções circulares?
sen(x) - cos(x) - tg(x) - sec(x) - cosec(x) - cotg(x)
Por que elas têm este nome?
Pois a partir de uma combinação de sen(x) e cos(x) podese “gerar” uma circunferência. Veja:
y

x



Esta circunferência é dada pela equação paramétrica
(x,y) = (cos(t), sen(t)), com 0 ≤ t ≤ 2pi.
Vamos nos convencer construindo-a usando o software Winplot.
Vá até o ícone
Equação/Paramétrica
Faça f(t)=cos(t) e g(t)=sin(t)
Para mudar a cor, a espessura da
linha do gráfico basta ir até o ícone
desejado e mudar;
Após feitas as escolhas bastar
clicar em ok
Será que estas funções ditas hiperbólicas tem
este nome porque através destas é possível
“gerar” uma hipérbole? SIM, verificaremos
isto fazendo os gráficos.
Primeiro faremos o gráfico da
hipérbole dita unitária
x  y 1
2
2
Para isto vamos até o ícone
Equação/Implícita e abrirá a seguinte
janela:
No campo maior digitamos a equação da
hipérbole da seguinte forma:
X^2-y^2=1
Para melhor visualização do gráfico
mudaremos sua cor para amarelo (para
isto basta ir até o ícone cor e escolher a
cor
amarelo)
espessura para 5
e
mudaremos
sua
Agora faremos os gráficos de:
(x,y)=(cosh(t), sinh(t))
(x,y)=(cosh(t), -sinh(t))
(x,y)=(-cosh(t), sinh(t))
(x,y)=(-cosh(t), -sinh(t))
Para isto basta ir até o ícone Equação/Paramétrica e digitar as
equações acima (uma de cada vez) e, para melhor
visualização dos resultados, mude a cor do gráfico para preto
com espessura da linha 1;
Vejamos os resultados obtidos:
A que conclusão podemos
chegamos?
Principais Identidades
• Trigonometria circular
• Trigonometria hiperbólica
x² + y² = 1
cos²(t) + sen²(t) = 1
tg(t) = sen(t)/cos(t)
cot(t) = cos(t)/sen(t)
sec(t) = 1/cos(t)
csc(t) = 1/sen(t)
sen(2t)=2sen(t)cos(t)
cos(2t)=cos²(t)-sen²(t)
tg(2t)=2tg(t)/(1-tg²(t))
x² - y² = 1
cosh²(t) - senh²(t) = 1
tgh(t) = senh(t)/cosh(t)
coth(t) = cosh(t)/senh(t)
sech(t) = 1/cosh(t)
csch(t) = 1/senh(t)
senh(2t)=2senh(t)cosh(t)
cosh(2t)=cosh²(t)+senh²(t)
tgh(2t)=2tgh(t)/(1+tgh²(t))
Referências:
• Anton, Howard. Cálculo. 8. ed. Porto
Alegre: Bookman, 2007. 1 v.
• Santos, Jose Plinio de Oliveira. Introdução à
análise combinatória. 3. ed. rev. Campinas,
SP: Editora UNICAMP, c2002. x, 297 p. : il.
• Contribuição da professora Maria Cristina
Varriale no primeiro problema .