FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE
CURSO: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO
ASSUNTO: DERIVADAS E INTEGRAIS DAS FUNÇÕES,
TRIGONOMÉTRICAS E HIPÉRBOLICAS INVERSAS
PROFESSOR: MARCOS AGUIAR
CÁLCULO I
1. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
1.1 A função inversa do seno, denotada por arcsen ou sen1 x , define-se como
y  arcsenx se e somente se x  seny para 1  x  1 e 
Exemplo: Se y  arcsen
1
1
, então seny  e
2
2


2
1
 1
Se y  arcsen    , então seny   e
2
 2
 y


2

2

2
 y
, logo y 
 y

2


2
6
, logo y  

6
1.2 Propriedades de arcsenx .
(i) sen  arcsenx   x se  1  x  1
(ii) arcsen  senx   x se 

2
 y

2
 
  

Exemplo: arcsen  sen  
pois   
4 4
2 4 4

1 1
1

sen  arcsen  
se  1   1
2 2
2

 3  
2 

arcsen  sen
=
  arcsen 
3 

 2  3
1.3 A função inversa do co-seno, denotada por arccos ou cos1 x , define-se como
y  arccos x se e somente se x  cos y para 1  x  1 e 0  y  
1
1

, então cos y  e 0  y   , logo y 
2
2
3
1

 1
Se y  arccos    , então cos y   e 0  y   , logo y 
2
3
 2
Exemplo: Se y  arccos
1
1.4 Propriedades de arccos x .
(i) cos  arccos x   x se  1  x  1
(ii) arccos  cos x   x se 0  y  
2

Exemplo: arccos  cos
3

2
 2
pois 0 


3
 3

1
1
 1 
cos  arccos       se  1    1
2
2
 2 

 2 

  
arccos  cos      arccos 
=
 4 

 2  4
1.5 Identidades para funções trigonométricas inversas.
sen1 x  cos 1 x 


sen  cos x  
tg  sen x  

2
1
cos sen x  1  x 2
1
1


1  x2
1
1  x2
sec tg 1 x  1  x 2


sen sec1 x 
1  x2
x
cos1 x
1
x
1
sen x
1
sen1 x
1  x2
x
x
x2 1
x
sec1 x
1
tg x
1  x2
1
1
1.6 Derivadas das funções trigonométricas inversas do seno, co-seno, tangente e secante.
1.6.1 Derivadas das funções inversas
2
1
Teorema. (i) Dx arcsen  u  
1 u2
(ii) Dx arccos  u   
Dxu
1
1 u2
Dxu
1
Dxu
1 u2
(iii) Dx arc tg  u  
(iv) Dx arcsec  u  
1
u u2 1
Dxu
Se uma função diferenciável f admite uma função inversa g  f 1 se f '  g  c    0 , então g
é diferenciável em c e g '  c  
1
f '  g c 
Fazendo:
y  arcsenx
(i)
e
seny  x são equivalentes se 1  x  1 e 
Diferenciando seny  x implicitamente temos:
cos y

2
 y
2
.
dy
1
dx
Dx arcsen  x  
1
como cos y  1  sen2 y
cos y
e sen2 y  x 2 então cos y  1  x 2 ,
assim
Dx arcsen  u  
(ii)

1
1 u2
, para x  1 . A função inversa não é diferenciável em 1
Demonstração análoga para
Dx arccos  u   
(iii) Veremos agora a demonstração do
1
1 u2
Dx arc tg  u  
Dxu
1
Dxu
1 u2
Fazendo:
y  arctgx e
tgy  x para 

2
 y
implicitamente, temos:
3

2
, Diferenciando tgy  x
1
, como sec2 y  1  tg 2 y e tg 2 y  x 2
2
sec y
1
assim Dx arc tg  u  
1  x2
sec2 yDx y  1 conseqüentemente Dx arc tg  u  
obtemos sec2 y  1  x2
(iv) y  arc sec x
Como 0  y 

2
e sec y  x
ou   y 
Dx arc sec x  Dx y 
3
, segue-se que sec  y  tg  y   0 e então,
2
1
, como
sec  y  tg  y 
tg  y   sec2  1  x 2  1 , obtemos
Dx arcsec  u  
1
u u2 1
Dxu
Para x  1 a função inversa da secante não é diferenciável em x  1
1.7. Integrais de funções trigonométricas inversas
Integrais das funções inversas seno, tangente, e secante
(i)

1
u
du  arcsen  C
a
1 u
(ii)
a
2
(iii)
u
2
1
1
u
du  arctg  C
2
u
a
a
1
u
du  arc sec  C
a
u2  a2
Demonstração:
(ii) Fazendo u  x temos
a
2
1
1
du  2
2
u
a

1
x
1  
a
2
dx (1)
4
Mudando (1) da variável x para a variável v, v 
a
2
a
2
a
2
a
2
1
1
du  
2
u
a
x
1
, dv    dx temos:
a
a
1
1
 dx
x a
1  
a
2
1
1
1
du  
dv
2
u
a 1  v2
1
1
du  arctg  v   C
2
u
a
1
1
x
du  arctg    C
2
u
a
a
Exemplo:
e2 x
Calcular

Solução:
Fazendo u  e2x




e2 x
1 e
4x
e2 x
1 e
4x
e2 x
1 e
4x
e2 x
1  e4 x
1  e4 x
dx  
dx
1
 
1 e
2x
2
diferenciando temos du  2e2 x dx
dx
dx 
1
1
du

2 1 u2
dx 
1
arcsen  u   C
2
dx 
1
arcsen e2 x  C
2
 
2. FUNÇÕES HIPERBÓLICAS
5
du
 e2 x
2
Definição: As funções seno hiperbólico, denotada por senh e co-seno hiperbólico, denotada
por cosh se definem como
senhx 
e x  e x
2
e cosh x 
e x  e x
2
para todo real x.
Os Gráficos
Co-seno
hiperbólico
Seno hiperbólico
Fonte: Swokowski, 1994, p. 558
Teorema.
cosh 2 x  senh2 x  1
Demonstração:
2
 e x  e x   e x  e x 
cosh x  senh x  
 

 2   2 
2
2
2
cosh 2 x  senh2 x 
e2 x  2  e2 x e2 x  2  e2 x

4
4
cosh 2 x  senh2 x 
e2 x  2  e2 x  e2 x  2  e2 x
4
 cosh 2 x  senh2   1
4
4
Definição:
6
(i)
tghx 
(iii)
senhx e x  e x

cosh x e x  e e
sec hx 
1
2
 x x
cosh x e  e
(ii)
cotghx 
cos hx e x  e x

,
sen h x e x  e x
x0
(iv)
c sc hx 
1
2
 x x ,
sen h x e  e
x0
Gráficos:
Fonte: Swokowski, 1994, p. 561
Dividindo por cosh 2 x ambos os membros da identidade cosh 2 x  senh2  1 temos:
cosh 2 x senh2
1


2
2
cosh x cosh
cosh 2 x
(i) 1  tgh2 x  sec h2 x
7
Dividindo por sen h 2 x ambos os membros da identidade cosh 2 x  senh2  1 temos:
cosh 2 x senh2 x
1


2
2
sen h x sen h x sen h 2 x
(ii) cot gh2 x 1  c sc h2 x
DERIVADAS DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS
Sendo u  g  x  e g diferenciáveis
(i)
Dx senhu  cosh uDxu
(ii) Dx cos hu  sen h uDxu
(iii) Dxtghu  sech 2 uDxu
(v)
Dx sec hu   sech uthuDxu
(iv)
Dx cot ghu   csch 2 uDxu
(vi)
Dx csc hu   csch u cot ghuDxu
DEMONSTRAÇÃO
 e x  e x
(i) Dx senhx  Dx 
 2
 e x  e x
 cosh x

2

 e x  e x
D
coshx

D
(ii) x
x
 2
 e x  e x
 s en h x

2

(iii) Dx tghx  Dx
senhx
cosh x
Dx tghx 
cosh xDx senhx  senhxDx cosh x
cosh 2 x
Dx tghx 
cosh x cos hx  senhxsen h x cosh 2 x  senh2 x
1


 sec h2 x
2
2
2
cosh x
cosh x
cosh x
8
INTEGRAIS DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS
 senhxdx  cosh x  c
(i)
(ii)  cos hxdx  sen h x  c
(iv)  csc h2 xdx   cot g h x  c
(iii)  sec h2 xdx  tghx  c
 sec hxtghxdx  se ch x  c
(v)
(vii)  sec haxdx 
(ix)
 c sc hxctghxdx  cs ch x  c
(vi)
2
arctgeax  c
a
(viii)  csc haxdx 
1
 tghaxdx  a ln cosh ax  c
(x)
1
ax
lnt g h
a
2
1
 cotghaxdx  a ln sen h ax  c
EXERCÍCIOS.
Determine f '  x  para f  x  dada.
1. f  x   senh  5x 
2. f  x   senh x 2  1


3.
f  x   senh x3
4. f  x   cosh 3  x 
5
f  x   xtgh
 x
6.
f  x   arctg  tagh  x  
1
7. f  x   ctgh  
 x
f  x 
8.
cot gh  x 
9.
cot g  x 
 
f  x 
 
sec h x 2
x 1
2
Calcule a integral
cosh  x3 dx
1.
x
5.
 cos h 3xdx
9.
 tgh 3x  sec h 3x dx
2
1
2
2.
6.
1
 sec h7 xdx
 sec h 5x dx
2
10.
3.
7

senh x
x
 c sec h
2
1 
 x dx
2 
 cotgh  6x  co sec h  6x dx
9
dx
4.
 xsenh  2 x  dx
2
8.  cot g h xdx
FUNÇOES HIPERBÓLICAS INVERSAS
A função seno hiperbólico é contínua e crescente para todo x e, por conseguinte admite uma
função inversa contínua crescente, denotada por argsenhx ou senh1 x como o seno
hiperbólico é definida em temos de e , é de se esperar que argsenhx possa expressar-se em
termos da inversa, ln, da função exponencial natural.
Teorema:




(i) senh1 x  ln x  x 2  1
(ii) cos h1 x  ln x  x 2  1
1 1 x
(ii) tgh1 x  ln
,
2 1 x
(iv) sec h1 x  ln
x 1
x 1
1  1  x2
,
x
0  x 1
DEMONSTRAÇÃO
(i) y  arg senh1 x, se e somente se x  senhy
x  senhy 
e y  e y
2
e y  2 x  e y  0, multiplicando ambos os membros por e y temos
e2 y  2 xe y  1  0,
Resolvendo a equação temos:
e y  x  x2  1, como x  x2  1  0 e e y nunca é negativa, devemos ter:
e y  x  x2  1 , aplicando ln em ambos os membros temos:

ln e y  ln x  x 2  1

10


y  ln x  x 2  1

Isto é, arg senhx  ln x  x 2  1

(ii) y  arg cos h1 x, se e somente se x  cos hy , y  0
e y  e y
x  cos hy 
2
e y  2 x  e y  0, multiplicando ambos os membros por e y temos
e2 y  2 xe y  1  0,
Resolvendo a equação temos:
e y  x  x 2  1,
e y  x  x2  1 , aplicando ln em ambos os membros temos:

ln e y  ln x  x 2  1

y  ln x  x 2  1



Isto é, arg cos hx  ln x  x 2  1

(iii) y  arg tghx, se e somente se x  tghy , para x  1
x  tghy 
e y  e y
e y  e y

x

e y  e y
e y  e y
e y  e y  xe y  xe y multiplicando ambos os membros por e y temos
e2 y 1  xe2 y  x
e
2y

1  x   x  1  e
2y
e2 y  xe2 y  x  1
x 1
x 1


 ey 
1 x
1 x
1
 x 12
e 

 1 x 
y
1
1  x 1
 x 12
y
aplicando ln em ambos os membros temos: ln e y  ln 
  e  ln 

2  1 x 
 1 x 
11
1 x 1
Isto é, arg tghx  ln
2 1 x
DERIVADAS DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS INVERSAS
Teorema:
1
(i) Dx arg senhu 
u2 1
1
(ii) Dx arg cos hu 
(ii) Dx arg tghu 
u2 1
Dx u
1
Dx u,
u 1
x 1
2
(iv) Dx arg se c hu 
u 1
Dx u,
1
u 1 u2
0  u 1
Dx u,
DEMONSTRAÇÃO:

(i) Dx arg senhu  Dx ln x  x 2  1


Dx ln x  x 2  1 


x 
x2  1  x
1





2
2
2
2
x  x 1 
x 1 
x  x 1 x 1
1


1
x2  1
Exemplo.
Se y  arg senh  tgx  calcule
dy
dx
Solução:
Dx arg senhu 
1
u2 1
Dx u 
1
d
1
1
2
tgx 
sec2 x 
sec x  sec x
sec x
tg 2  1 dx
sec2 x
INTEGRAIS DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS INVERSAS
Teorema.
12


(i)

1
u
du  arg senh  c  ln u  a 2  u 2  d para a  0
a
a2  u 2
(ii)

u
du  arg cosh  c  ln u  a 2  u 2  d para 0  a  u
a
u a
(iii)
a
(iv)
u
2


1
2
2


1
u
du  arg senh  c  ln u  a 2  u 2  d para
2
u
a
x a


u
1
du   arg senh  c  ln u  a 2  u 2  d para
a
a
a2  u 2
1
x a
Exercícios:
Determine f '  x  para f  x  dada.
1. f  x   arg senh  5x 
2. f  x   arg senhe x
3.
f  x   arg cosh x
6.
f  x   arg tgh  sen3x 
4. f  x   arg cosh x
5
f  x   arg tgh  4 x 
7. f  x   arg sec hx2
8.
f  x 
1
arg senhx 2
f  x   arg sec h 1  x
9.
Calcule a integral.
a)
e)


1
81  16 x
ex
e2 x  16
2
dx
dx
b)
f)

1
16 x  9
2
2
 5  3x
2
dx
dx
1
c)
 49  4 x
g)
x
2
1
9  x4
dx d)
dx

senx
1  cos 2 x
h)

dx
1
5  e2 x
dx
REFERENCIA BIBLIOGRAFICA:
SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica. v. 1.São Paulo: Makron Books do
Brasil, 1994.
ANTON HOWARD. Cálculo um novo horizonte volume I 6ª ed.- Porto Alegre Bookman
2000
13