Introdução à Geometria Hiperbólica Plana e
atividades via o Modelo do Disco de Poincaré no
software GeoGebra - Parte Teórica
Edson Agustini
Universidade Federal de Uberlândia
IBILCE - UNESP
São José do Rio Preto
Outubro de 2013
Introdução à Geometria Hiperbólica Plana e
atividades via o Modelo do Disco de
Poincaré no software GeoGebra
- Parte Teórica -
Introdução à Geometria Hiperbólica Plana e atividades via o Modelo do Disco de Poincaré - Parte Teórica
1
Antes de Começar...
Este texto-resumo é baseado em parte da dissertação de Mestrado Profissional em Matemática referenciada em [1]
de Inédio Arcari, sob orientação de Edson Agustini. Todas as demonstrações dos resultados aqui apresentados podem
ser encontradas nessa referência. Essa dissertação, por sua vez, foi baseada em diversas fontes na qual pretendeu-se
dar uma visão bastante completa para um primeiro estudo sobre Geometria Hiperbólica. Sendo assim, para o leitor
interessado em mais detalhes, recomendamos fortemente sua leitura.
Neste texto vamos abordar basicamente três assuntos:
- Modelos Euclidianos para a Geometria Hiperbólica Plana;
- Principais Teoremas da Geometria Hiperbólica Plana;
- Trigonometria Hiperbólica.
Assim como na Geometria Euclidiana Plana, construções geométricas hiperbólicas são possı́veis de serem feitas
com o auxı́lio de softwares de Geometria Dinâmica, como o GeoGebra. Tais construções geométricas são exercı́cios
muito interessantes mas não são o foco dessas notas (daı́ o subtı́tulo “Parte Teórica” que estamos adotando).
Alertamos que um curso de Geometria Euclidiana Plana com enfoque axiomático é pré-requisito para a leitura
dessas notas. Vamos admitir que o leitor possui familiaridade com o sistemas axiomáticos de Hilbert e Birkhoff, que
são adotados de forma parcial (e adaptada) pelos principais autores de textos de Geometria Euclidiana Plana. Aliás,
uma recomendação ao leitor entusiasta e estudioso da Geometria: procure os enunciados originais dos axiomas nos
sistemas de Euclides, Hilbert, Birkoff e Tarsky (que são os principais). Trata-se de uma leitura muito instrutiva.
Por fim, recomendamos fortemente que o leitor procure estudar o desenvolvimento histórico do chamado “Problema
das Paralelas”, que levou ao descobrimento das Geometrias Não Euclidianas. Trata-se de um dos mais belos episódios
da Matemática e que teve origem na contestação do “Quinto Postulado de Euclides”. O leitor se supreenderá com o
trabalho de vários matemáticos importantes que ao longo de mais de 2000 anos se envolveram com esse problema.
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Capı́tulo 1
Modelos Euclidianos para a Geometria
Hiperbólica Plana
Embora um estudo mais detalhado da Geometria Hiperbólica Plana seja objeto dos dois próximos capı́tulos, cremos
que uma introdução de alguns modelos, ou seja, ambientes nos quais é possı́vel visualizar construções geométricas
envolvendo essa geometria, será bastante útil. As construções geométricas advindas de demonstrações de teoremas
que serão apresentados posteriormente poderão ser, em nossa opinião, melhor compreendidas nos modelos.
Além disso, existem alguns programas computacionais envolvendo Geometria Dinâmica como, por exemplo, o
GeoGebra, o NonEuclid e o Cabri-Géomètre, nos quais podemos trabalhar com alguns dos modelos que citaremos, o
que faz com que a compreensão acerca de tais teoremas seja consideravelmente melhorada.
O Modelo do Disco de Poincaré, para a Geometria Hiperbólica, será apresentado com um pouco mais de detalhes.
Os demais modelos serão apresentados de forma bastante resumida.
1.1
O Conceito de Modelo para uma Geometria
Um modelo para um sistema axiomático de uma geometria é um conjunto no qual podemos representar e interpretar
os conceitos primitivos, em relação aos quais os axiomas passam a ser afirmações aceitas como verdadeiras.
Exemplo: o Plano Euclidiano tal qual o conhecemos é um modelo para o sistema axiomático de Hilbert (ou de
Euclides) pois nele é possı́vel representar ponto e reta de tal modo que os Axiomas de Hilbert passam a ser afirmações
aceitas como verdadeiras.
Vamos usar a existência de um sistema axiomático para a Geometria Euclidiana e apresentar modelos para a
Geometria Hiperbólica (1 ) que é uma geometria na qual não vale o Quinto Postulado de Euclides e, portanto, não vale
qualquer um de seus equivalentes.
Esquematicamente podemos dispor os axiomas, bem como a negação do Quinto Postulado de Euclides, conforme
quadro a seguir (2 ):
1 Veremos
em capı́tulo posterior um estudo resumido da Geometria Hiperbólica.
extraido do artigo “Costa, S. I. R. & Santos, S. A. “Geometrias Não-Euclidianas”. Ciência Hoje. Vol. 11, no. 65, agosto
de 1990, pp. 14-23.”
2 Quadro
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5o . Postulado
↘
No . paralelas = 1
−→
Geometria Euclidiana
No . paralelas > 1
−→
Geometria Hiperbólica
No . paralelas = 0
−→
Geometria Elı́ptica
↗
Axiomas de:
Incidência
Ordem
Congruência
Continuidade
↘
↗
Negação 5o . Postulado
↘
↗
Axiomas de:
Incidência
Separação
Congruência
Continuidade
1.2
Principais Modelos
O Modelo Euclidiano do Disco de Poincaré para a Geometria Hiperbólica Plana
Fixemos um disco euclidiano D de raio 1 e seja H seu interior. Usando os Axiomas de Hilbert e teoremas da
Geometria Euclidiana podemos provar que:
(i) Dados os pontos não colineares A, B e O, sendo O o centro de D, existe um único cı́rculo euclidiano c que passa
pelos pontos A e B e intersecta o bordo de D ortogonalmente (3 ), conforme ilustrado na Figura 1.1 à esquerda.
c
D
D
B
O
A
A
O B
Figura 1.1
(ii) Se os pontos A, B e O são colineares, então existe uma única reta euclidiana r passando por eles. Essa reta é
ortogonal ao bordo de D, conforme Figura 1.1 à direita à direita.
Pode-se provar que a intersecção não vazia, em H, de dois cı́rculos distintos ortogonais ao bordo de D ocorre em
um único ponto de H. Analogamente, a interseção não vazia entre um cı́rculo e uma reta, ou entre duas retas distintas,
todos(as) ortogonais ao bordo de D, também ocorre em um único ponto de H.
Façamos as seguintes interpretações em H:
Pontos: os pontos hiperbólicos são os “pontos euclidianos” de H.
Retas: as retas hiperbólicas são intersecções de H com um diâmetro de D ou intersecções de H com um cı́rculo
perpendicular ao bordo de D.
Plano: o plano hiperbólico é a região H, interior de D.
Com as interpretações dadas acima, juntamente com a observação prévia, concluı́mos que a intersecção não vazia
de duas retas hiperbólicas distintas ocorre em apenas um único ponto, permitindo verificar o primeiro axioma de
incidência de Hilbert, que diz que dois pontos distintos determinam uma única reta.
3 Isso significa que as retas tangentes à circunferência que é bordo de D e à circunferência c, nos pontos de intersecção dessas duas
circunferências, são perpendiculares.
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A noção de “estar em”: a noção de um ponto estar em uma reta (no sentido hiperbólico) coincide com a noção de
“estar em” no sentido euclidiano.
A noção de “estar entre”: a noção de um ponto estar entre outros dois pontos (no sentido hiperbólico) coincide
com a noção de “estar entre” no sentido euclidiano.
Dado um segmento hiperbólico TU (Figura 1.2 à esquerda), sejam R e S os pontos de D que são as “extremidades”
da reta hiperbólica que contém TU. Definimos o comprimento hiperbólico d (T, U) do segmento TU por:
(
)
UR · TS
d (T, U) = ln
,
TR · US
sendo que UR, TS, TR e US acima denota os comprimentos euclidianos dos respectivos segmentos (euclidianos) UR,
TS, TR e US. O logaritmando acima é chamado de razão cruzada e observemos que ele é sempre maior do que ou igual
a 1 (a igualdade ocorre quando T = U), fazendo com que d (T, U) ≥ 0.
R
D
D
s
T
tangente a s em P
P
a
U
r
S
tangente a r em P
Figura 1.2
Notemos que, com essa definição de comprimento em H, a reta, ou semirreta, hiperbólica tem comprimento infinito,
pois à medida que T tende a R ou U tende a S, d (T, U) tende a infinito. No contexto geral, o segmento hiperbólico
ligando dois pontos T e U é a curva em H de menor comprimento hiperbólico ligando estes pontos.
Ao contrário do comprimento hiperbólico em H, que difere do comprimento euclidiano, a medida de ângulo
hiperbólico em H coincide com a medida de ângulo euclidiano. Isso significa que, se em H, duas retas hiperbólicas
r e s são concorrentes em P, os quatro ângulos que elas formam possuem medidas que coincidem com as medidas
dos ângulos que as duas retas euclidianas tangentes a r e s em P formam. Na Figura 1.2 à direita, α é a medida
(em graus ou radianos) de um dos ângulos que r e s formam, que coincide com a medida de um dos ângulos que as
tangentes a r e s em P formam. (4 )
O interior H do disco D com as definições e interpretações expostas acima é chamado de Modelo Euclidiano do
Disco de Poincaré para a Geometria Hiperbólica Plana. (5 )
Temos, portanto, um modelo para o sistema axiomático da Geometria Hiperbólica Plana, onde o Axioma das
Paralelas de Hilbert é trocado pelo Axioma de Lobachewsky: “Por um ponto fora de uma reta existem pelo menos
duas retas distintas passando pelo ponto e paralela à reta dada.” (Figura 1.3)
D
D
s¢
P
s
s¢
P
s
r
r
Figura 1.3
O Modelo Euclidiano do Semiplano para a Geometria Hiperbólica Plana
4 Um ângulo hiperbólico é definido exatamente como o ângulo euclidiano, ou seja é uma figura formada por duas semi-retas hiperbólicas
de mesma origem. Entretanto, o ângulo hiperbólico em H possui aspecto geométrico diferente do ângulo euclidiano, pois em H, o ângulo
hiperbólico é formado por arcos de circunferência euclidiana ortogonais ao bordo de H. O que ocorre em H é que a medida dos ângulos
(hiperbólicos e euclidianos-tangentes) coincidem.
5 Na verdade, precisarı́amos provar que todos os Axiomas de Hilbert (exceto o das paralelas) tornam-se verdadeiros em H com as
definições e interpretações acima.
Mais especificamente:
(i) considerando H como parte do plano euclidiano;
(ii) utilizando os Axiomas de Hilbert para o plano euclidiano e;
(iii) considerando as definições e interpretações feitas no texto;
deverı́amos provar, como teoremas euclidianos, que os Axiomas de Hilbert são válidos em H.
Por ser este um trabalho longo, não faremos essas demonstrações aqui.
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Consideremos um semiplano euclidiano fechado (ou seja, que contém reta fronteira). Neste modelo as retas hiperbólicas são semicı́rculos contidos no semiplano euclidiano e com centro na fronteira do mesmo, ou semirretas
euclidianas contidas no semiplano e perpendiculares à fronteira do mesmo. (Figura 1.4)
H
H
s
s
r
r
P
s¢
Figura 1.4
Considerações:
(i) A reta euclidiana que é fronteira do semiplano não faz parte do “plano hiperbólico”.
(ii) A noção de distância é diferente daquela do Disco de Poincaré.
(iii) A medida de ângulos coincide com a medida de ângulo euclidiana, como no Disco de Poincaré.
Modelo Euclidiano de Klein para a Geometria Hiperbólica Plana
Neste modelo temos um disco aberto de raio 1 e as retas hiperbólicas são cordas desse disco. (Figura 1.5)
r
s¢
s
P
Figura 1.5
Considerações:
(i) A fronteira não pertence ao “plano hiperbólico”.
(ii) A noção de distância é diferente daquelas dos outros modelos de Poincaré.
(iii) A noção de medida de ângulo entre as retas hiperbólicas desse modelo é diferente da noção de medida de ângulo
euclidiana.
Modelo Euclidiano da Pseudo-esfera de Beltrami para a Geometria Hiperbólica Plana
A pseudo-esfera é a superfı́cie obtida pela rotação de uma curva denominada tratriz em torno de um eixo. Esta
curva pode ser concebida mecanicamente do seguinte modo: consideremos um segmento AB de comprimento unitário
perpendicular ao eixo cartesiano x no ponto A, conforme a Figura 1.6. À medida que o extremo A do segmento é
tracionado deslocando-se pelo eixo x no sentido positivo, o extremo B, “livre” (6 ), descreve uma curva no plano. Essa
curva é uma tratriz, cuja parametrização pode ser dada por:
]
[
2
α : 0, π2
−→ (
R
( ( t ))
) ,
t
7−→ − cos (t) − ln tg 2 , sen (t)
A pseudo-esfera não é um modelo plenamente adequado para a geometria hiperbólica, pois não é completo, isto é,
apresenta “pontos singulares” que impedem o prolongamento das “retas hiperbólicas”.
B
B
B
tratriz
A
A
A
x
pseudo-esfera
Figura 1.6
6 Matematicamente,
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“livre” significa que a reta que contém o segmento AB é tangente à curva que o ponto B descreve no plano.
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Capı́tulo 2
Principais Teoremas da Geometria
Hiperbólica Plana
Tomando-se os quatro primeiros grupos de axiomas de Hilbert, a saber:
(i) Axiomas de Incidência;
(ii) Axiomas de Ordem;
(iii) Axiomas de Congruência;
(iv) Axiomas de Continuidade;
juntamente com a negação do 5o . Postulado de Euclides conhecida como Postulado de Lobachewsky :
“Por um ponto não pertencente a uma reta dada, podem ser traçadas pelo menos duas retas distintas que não
intersectam a reta dada”,
temos o sistema axiomático que origina a chamada Geometria Hiperbólica.
A Figura 2.1 ilustra o Postulado de Lobachewsky no Modelo do Disco de Poincaré. (1 )
P
s
sʹ
r
Figura 2.1
À semelhança da Geometria Euclidiana, temos que ponto, reta e plano na Geometria Hiperbólica são conceitos
primitivos, portanto, não definidos.
2.1
Paralelismo na Geometria Hiperbólica
Proposição 2.1 Sejam r uma reta e P um ponto não pertencente a r.
(1) Então, existem infinitas retas que passam por P e não intersectam r.
(2) Consideremos:
C1 : conjunto das retas que passam por P e não intersectam r;
C2 : conjunto das retas que passam por P e intesectam r.
Então, existem exatamente duas retas distintas s e s′ de C1 que determinam no plano hiperbólico dois pares R1 e
R2 de regiões angulares opostas pelo vértice P de modo que Ci = Ri , i = 1, 2.
Com o intuito de ilustrar os conjuntos C1 e C2 , bem como as regiões angulares R1 e R2 temos a Figura 2.2. Nela,
os setores angulares opostos pelo vértice P rotulados pelos números 2 e 4 correspondem ao conjunto C1 . O interior
dos setores angulares opostos pelo vértice P rotulados pelos números 1 e 3 correspondem ao conjunto C2 .
1 Procuraremos, sempre que possı́vel, fazer as construções geométricas e ilustrações vinculadas à Geometria Hiperbólica utilizando o
Modelo do Disco de Poincaré.
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3
2
P
4
s
sʹ
1
r
Figura 2.2
Observemos que, embora estejamos chamando os conjuntos R1 e R2 de pares de regiões angulares, eles não possuem
a mesma natureza. De fato, R1 é um par de setores angulares (2 ) opostos pelo vértice e, portanto, é um conjunto
fechado no plano hiperbólico, tendo por fronteira os ângulos opostos pelo vértice P formados pelas retas s e s′ . Já R2
é a reunião do interior de um par de setores angulares opostos pelo vértice com o ponto P. Portanto, R2 não é um
conjunto fechado (e nem aberto) no plano hiperbólico. Sua fronteira, que também é constituida pelos ângulos opostos
pelo vértice P formados pelas retas s e s′ , não está contida em R2 .
Por fim, observemos que a decomposição do plano hiperbólico em R1 e R2 não é disjunta pois R1 ∩ R2 = {P}.
Devido à infinidade de retas que passam por P e não intersectam r, iremos alterar a definição de retas paralelas
proveniente da Geometria Euclidiana.
Sejam r uma reta e P um ponto não pertencente a r. Às retas s e s′ da Proposição 2.1, chamamos de retas
paralelas a r por P, enquanto que as demais retas que passam por P e não intersectam r chamamos de retas
hiperparalelas a r por P.
Proposição 2.2 Sejam r uma reta e P um ponto não pertencente a r. Então, as duas retas paralelas a r pelo ponto
P determinam ângulos congruentes com o segmento perpendicular à reta r baixado de P. Além disso, os ângulos
congruentes mencionados são agudos.
Consideremos P um ponto não pertencente a uma reta r dada e as retas s e s′ , passando por P e paralelas a r. A
uma das retas paralelas, s ou s′ , chamamos de reta paralela a r por P no sentido positivo. À outra chamamos
de reta paralela a r por P no sentido negativo.
Deste modo, uma reta paralela a uma reta dada por um ponto em um determinado sentido é única.
Seja Q o pé do segmento perpendicular a r baixado de P. Os ângulos agudos enunciados na Proposição 2.2 (3 ) são
chamados de ângulo de paralelismo entre s e r em P e de ângulo de paralelismo entre s′ e r em P. (Figura
2.3).
sʹ
s
P
A aʹ a
Q
B
r
b é ângulo de paralelismo entre s′ e r em P, enquanto que QPB
b é ângulo de paralelismo entre s e r
Figura 2.3: APQ
em P.
Como existem exatamente duas retas s e s′ paralelas a r por P, existem exatamente dois ângulos de paralelismo α
e α′ em P (que são congruentes), sendo α determinado por s e α′ determinado por s′ . Desta forma, podemos associar
cada ângulo de paralelismo a um sentido de paralelismo e vice-versa.
A próxima proposição será útil para simplificar algumas das definições envolvendo paralelismo.
Proposição 2.3 (1) Seja s reta paralela a r por P em um determinado sentido. Então, a reta s é paralela a r nesse
mesmo sentido por qualquer um de seus pontos.
(2) Se s é paralela a r, então r é paralela a s.
(3) Se as retas s e t são paralelas à reta r em um determinado sentido, então a reta s é paralela à reta t.
2 Um
setor angular é a reunião de um ângulo não raso com seu interior.
desses ângulos é formado por uma das semirretas de s com origem em P, enquanto que a outra semirreta tem origem em P e passa
por Q. O outro ângulo de paralelismo é formado pela mesma semirreta com origem em P passando por Q e por uma das semirretas de s′
com origem em P.
3 Um
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O Item (1) da proposição acima permite-nos livrar do ponto P em algumas das definições envolvendo paralelismo
que temos até agora, ou seja: dizemos que a reta s é paralela à reta r em um determinado sentido quando s for
paralela a r neste mesmo sentido por qualquer um de seus pontos. Também é usual omitir a expressão “em um
determinado sentido”, ficando implı́cito que quando se diz “s é paralela a r” significa que s é paralela a r em um dois
dois possı́veis sentidos.
Já o Item (2) significa que a propriedade simétrica envolvendo paralelismo é válida.
Finalmente, o Item (3) significa que vale a propriedade transitiva na noção de paralelismo em um determinado
sentido.
2.2
Pontos Ideais e Triângulos Generalizados
Pontos Ideais
−−−→
−−→
Dizemos que duas semirretas s1 = OA e s′1 = O′ A′ são paralelas em um mesmo sentido quando suas
−−→
retas suportes s e s′ são paralelas e, além disso, qualquer semirreta s′′1 = OA′′ contida no interior do setor angular
−−→
b ′ intersecta s′ (ou, equivalentemente, qualquer semirreta s′′′ = −
O′ A′′′ contida no interior
determinado pelo ângulo AOO
1
1
c′ O intersecta s1 ), conforme ilustrado na Figura 2.4.
do setor angular determinado pelo ângulo A′ O
s1ʹʹʹ
O
Aʹʹʹ
A
Aʹ
Oʹ
s1
s 1ʹ
Aʹʹ
s1ʹʹ
Figura 2.4
Assim como nas retas, é comum omitir a expressão “em um mesmo sentido” no caso de semirretas paralelas.
Indiquemos o plano hiperbólico por H e consideremos o conjunto S de todas as semirretas de H.
Embora o conceito de paralelismo entre retas introduzido na seção anterior não admita que duas retas paralelas
possam ser iguais (pois aı́ terı́amos apenas uma reta e não duas), vamos convencionar, por enquanto, que uma reta
possa ser paralela a ela mesma para podermos introduzir uma relação de equivalência ∼ em S envolvendo tal conceito.
Sejam s1 , s2 ∈ S. Definimos
s1 ∼ s2 ⇐⇒ s1 é paralela a s2 .
Considerando a convenção de que uma reta ou semirreta pode ser paralela a ela mesma e as duas últimas proposições
acima, temos que a relação ∼ é uma relação de equivalência em S.
As classes de equivalência da relação ∼ definida acima no conjunto S das semirretas do plano hiperbólico H são
chamadas de pontos ideais ou pontos no infinito ou pontos ômega de H. Na Figura 2.5 à esquerda temos
algumas semirretas que representam uma mesma classe de equivalência da relação ∼.
W+
W
B
r
W-
A
Figura 2.5
Geralmente uma classe de equivalência acima é indicada pela letra Ω.
É bastante útil pensar em um ponto ideal Ω como um ponto do bordo do modelo do Disco de Poincaré e considerálo como o “ponto de convergência” de todas as semirretas da classe que o define, conforme ilustrado na Figura 2.5
ao centro.
Sejam r uma reta e A ∈ r. Logo, A define duas semirretas em r que podem ser representantes de duas classes de
equivalência acima definidas. Qualquer outro ponto B ∈ r definirá as mesmas classes que A define. Assim, podemos
dizer que uma reta r determina dois pontos ideais, um para cada sentido de paralelismo em r. Indicando tais pontos
ideais por Ω− e Ω+ , podemos imaginá-los com os mesmos papéis dos pontos −∞ e +∞ associados à reta dos números
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reais. Neste sentido, tendo a noção de reta orientada com sentido positivo e negativo em mente, é conveniente pensar
em Ω− como sendo um ponto que vem “antes” de todos os pontos de r e Ω+ como sendo um ponto que vem “depois”
de todos de r. A Figura 2.5 à direita ilustra a reta r com seus dois pontos ideiais Ω− e Ω+ .
Por fim, é conveniente observar que pontos ideais não são pontos do plano hiperbólico (assim como +∞ não é
ponto da reta real). Para distingui-los é comum chamar os pontos do plano hiperbólico de pontos ordinários.
Triângulos Generalizados
Sejam:
(i) A, B pontos ordinários e Ω ponto ideal do plano hiperbólico (Figura 2.6 à esquerda). A figura geométrica formada
pelas semirretas AΩ, BΩ e o segmento AB é chamada de triângulo generalizado (ou triângulo com um vértice
ideal , ou triângulo ômega) ABΩ.
W
B
W2
A
A
W1
W1
W2
W3
Figura 2.6
(ii) A ponto ordinário e Ω1 , Ω2 pontos ideais do plano hiperbólico (Figura 2.6 ao centro). A figura geométrica
formada pelas semirretas AΩ1 , AΩ2 e a reta Ω1 Ω2 é chamada de triângulo generalizado (ou triângulo com
dois vértices ideais, ou triângulo ômega) AΩ1 Ω2 .
(iii) Ω1 , Ω2 , Ω3 pontos ideais do plano hiperbólico (Figura 2.6 à direita). A figura geométrica formada pelas retas
Ω1 Ω2 , Ω1 Ω3 e Ω2 Ω3 é chamada de triângulo generalizado (ou triângulo com vértices ideais, ou triângulo
ômega) Ω1 Ω2 Ω3 .
Dadas as semirretas PΩ e QΩ, consideremos suas retas suportes Ω′ Ω e Ω′′ Ω. A figura geométrica formada por
b ′′ e sua medida é definida como sendo nula. Tal ângulo pode ser
Ω Ω e Ω′′ Ω é chamada de ângulo ideal Ω′ ΩΩ
b
também indicado por PΩQ.
Desta forma, um triângulo generalizado possuirá pelo menos um ângulo interno ideal, cuja medida é nula.
Seja S1 o semiplano originado por Ω′ Ω e que contenha Ω′′ Ω. Seja S2 o semiplano originado por Ω′′ Ω e que
contenha Ω′ Ω. Ao conjunto (S1 ∩ S2 ) − (Ω′ Ω ∪ Ω′′ Ω), ou seja, interseção dos semiplanos S1 e S2 excetuando-se as
b ′′ .
retas que os originam, é chamado de interior do ângulo ideal Ω′ ΩΩ
′
À intersecção dos interiores dos ângulos internos de um triângulo generalizado chamamos de interior do triângulo
generalizado.
Polı́gonos convexos generalizados podem ser definidos de modo análogo.
Dizemos que uma reta entra em um triângulo generalizado quando a intersecção desta reta com o interior do
triângulo generalizado for não vazia.
Seja ABΩ um triângulo generalizado. Dizemos que uma reta r passa por um dos vértices de ABΩ quando A ∈ r
ou B ∈ r ou Ω é um dos pontos ideais de r. Analogamente, este conceito estende-se para triângulos generalizados
AΩ1 Ω2 ou Ω1 Ω2 Ω3 .
Proposição 2.4 (1) Se uma reta r entra em um triângulo generalizado ABΩ, AΩ1 Ω2 ou Ω1 Ω2 Ω3 passando por um
de seus vértices, então r intersecta o lado do triângulo generalizado oposto a esse vértice.
(2) Se uma reta r entra em um triângulo generalizado ABΩ, AΩ1 Ω2 ou Ω1 Ω2 Ω3 intersectando um de seus lados
mas não passando por nenhum de seus vértices, então r intersecta um dos outros dois lados do triângulo generalizado.
Devido a analogia com o que ocorre com na Geometria Euclidiana, a proposição acima é, às vezes, chamada de
“Axioma de Pasch” para triângulos generalizados.
b e ABΩ
b
Seja ABΩ triângulo generalizado. Os ângulos externos de ABΩ são os ângulos suplementares de BAΩ
construı́dos sobre as retas suportes de AB, AΩ e BΩ. Desta forma, há dois pares de ângulos externos no triângulo
ABΩ, sendo cada par composto por ângulos opostos pelo vértice (Figura 2.7 à esquerda, na qual α1 ≡ α2 e α3 ≡ α4 ).
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A a1
11
A a1
a2
a2
W
W1
a3
B
a4
W2
Figura 2.7
b 2
Seja AΩ1 Ω2 triângulo generalizado. Os ângulos externos de AΩ1 Ω2 são os ângulos suplementares de Ω1 AΩ
construı́dos sobre as retas suportes de AΩ1 e AΩ2 . Desta forma, há um par de ângulos externos no triângulo ABΩ,
opostos pelo vértice A (Figura 2.7 à direita, na qual α1 ≡ α2 ).
Triângulos generalizados Ω1 Ω2 Ω3 não possuem ângulos externos.
Proposição 2.5 (Teorema do Ângulo Externo para Triângulos Generalizados) Um ângulo externo de um triângulo
generalizado é sempre maior do que os ângulos internos que não lhe sejam adjacentes.
b ≡A
c′ e B
b ≡ Bb′ .
Dizemos que dois triângulos generalizados ABΩ e A′ B′ Ω′ são congruentes quando AB ≡ A′ B′ , A
′ ′ ′
Indicaremos por ABΩ ≡ A B Ω .
b ≡A
c′ . Indicaremos por
Dizemos que dois triângulos generalizados AΩ1 Ω2 e A′ Ω′1 Ω′2 são congruentes quando A
′
′ ′
AΩ1 Ω2 ≡ A Ω1 Ω2 .
Definimos que todos os triângulos generalizados Ω1 Ω2 Ω3 são congruentes entre si.
b ≡ B.
b (4 )
Dizemos que o triângulo generalizado ABΩ é isósceles de base AB quando A
A proposição abaixo estabelece três casos de congruência envolvendo triângulos generalizados.
Proposição 2.6 (1) (Caso “lado-ângulo” - LA - de congruência para triângulos generalizados) Sejam ABΩ e A′ B′ Ω′
b ≡A
c′ , então ABΩ ≡ A′ B′ Ω′ .
triângulos generalizados. Se AB ≡ A′ B′ e A
(2) (Caso “ângulo-ângulo” - AA - de congruência para triângulos generalizados) Sejam ABΩ e A′ B′ Ω′ triângulos
b ≡A
c′ e B
b ≡ Bb′ , então ABΩ ≡ A′ B′ Ω′ .
generalizados. Se A
(3) (Caso “triângulos isósceles” de congruência para triângulos generalizados) Todos os triângulos generalizados
isósceles com bases de mesma medida são congruentes entre si, ou seja, se ABΩ e A′ B′ Ω′ são tais que AB ≡ A′ B′ ,
b ≡B
b eA
c′ ≡ Bb′ , então ABΩ ≡ A′ B′ Ω′ .
A
2.3
O Ângulo de Paralelismo
Consideremos, conforme já definido, o ângulo α de paralelismo entre as retas s e r no ponto P, conforme ilustrado na
Figura 2.3.
Notemos que a noção de ângulo de paralelismo está associada a um triângulo retângulo generalizado PQΩ e que
b é exatamente o ângulo α de paralelismo entre s e r em P. Sendo assim, iremos chamar o ângulo
seu ângulo interno P
b
P também de ângulo de paralelismo do triângulo retângulo generalizado PQΩ relativo à altura PQ, de
acordo com a Figura 2.8 à esquerda.
P
q(h) = a
ha
W
Q
a
h
Pʹ q(-h) = p - a
P
a
Q
W
Figura 2.8
b depende apenas da altura PQ do triângulo retângulo generalizado PQΩ.
Notemos que o ângulo de paralelismo P
Logo, podemos definir uma função, chamada de função ângulo de paralelismo, do seguinte modo:
θ:
R+
h
−→
7−→
R
α
4 Observe que essa definição difere da definição de triângulo isósceles ordinário (dois lados de mesmo comprimento) pois, nesse caso,
ângulos congruentes na base é conseqüência da definição.
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12
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tal que h é a medida da altura PQ do triângulo retângulo generalizado PQΩ e α é a medida, em radianos, de seu
ângulo de paralelismo relativo a PQ.
Sobre a função ângulo de paralelismo temos a seguinte proposição.
Proposição 2.7 A função ângulo de paralelismo é:
(1) Estritamente decrescente e, portanto, injetiva.
]
[
(2) Sobrejetiva se restringirmos seu contra-domı́nio ao intervalo aberto 0, π2 ⊂ R.
(3) Contı́nua.
Podemos estender o domı́nio da função ângulo de paralelismo ao conjunto dos números reais R. Para tanto, fazemos
θ (0) = π2 e quando x < 0, definimos θ (x) = π − α, sendo −x = h > 0 a medida da altura PQ do triângulo retângulo
generalizado PQΩ e α a medida, em radianos, de seu ângulo de paralelismo relativo a PQ. A Figura 2.8 à direita
mostra uma interessante interpretação geométrica de θ (x) para x negativo.
Assim, a chamada função ângulo de paralelismo estendida θ é dada por:
θ:
R
−→ 
R
 α, se x > 0
π/2, se x = 0
7−→

π − α, se x < 0
x
Observemos que o fato de θ ser contı́nua em R+ implica em θ ser contı́nua em R − {0}.
Também somos induzidos, pela representação geométrica de θ dada na Figura 2.8 à direita, a considerar que
lim+ θ (x) = π2 . Como
x→0
lim θ (x) = lim+ θ (−x) = lim+ (π − θ (x)) = π − lim+ θ (x) = π −
x→0−
x→0
somos levados a crer que lim θ (x) =
x→0
x→0
π
2
x→0
π
π
= ,
2
2
= θ (0), ou seja, que θ seja contı́nua em 0 e, portanto, contı́nua em R.
Na próxima proposição apresentamos uma (na verdade duas) expressão(ões) analı́tica(s) para θ, onde podemos
constatar que θ é, de fato, contı́nua, decrescente e bijetiva quando restringimos o contra-domı́nio ao intervalo aberto
]0, π[ ⊂ R. Esse resultado está antecipado no desenvolvimento natural da teoria que estamos apresentando, uma vez
que sua demonstração depende de fórmulas de Trigonometria Hiperbólica.
Proposição 2.8 Seja
θ:
R −→
a 7−→
]0, π[
θ (a) = α
a Função Ângulo de Paralelismo. Então:
(1)
θ (a) = arccos (tgh (a)) ,
ou seja,
cos (α) = tgh (a) ,
sendo tgh (a) =
(2)
ea −e−a
ea +e−a .
(
)
θ (a) = 2 arctg e−a ,
isto é,
tg
2.4
(α)
2
= e−a .
Quadriláteros de Saccheri e de Lambert e Consequências
Um quadrilátero convexo ABCD é dito Quadrilátero de Saccheri de base AB, topo DC e laterais AD e BC quando
os lados laterais são congruentes e perpendiculares ao lado base, ou seja, AD ≡ BC, AD ⊥ AB e BC ⊥ AB (Figura
2.9 à esquerda).
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C
C
D
D
B
a
A
A
B
Figura 2.9
Sobre Quadriláteros de Saccheri temos a seguinte proposição.
Proposição 2.9 (1) O segmento ligando os pontos médios da base e do topo de um Quadrilátero de Saccheri ABCD
beD
b são congruentes
é perpendicular a esses lados. Além disso, os ângulos do topo C
(2) A base e o topo de um Quadrilátero de Saccheri fazem parte de retas hiperparalelas.
(3) Os ângulos do topo de um Quadrilátero de Saccheri são agudos.
Dizemos que dois Quadriláteros de Saccheri ABCD e A′ B′ C′ D′ com bases AB e A′ B′ e lados AD, BC ⊥ AB e
A′ D′ , B′ C′ ⊥ A′ B′ , respectivamente, são congruentes quando AB ≡ A′ B′ e AD ≡ A′ D′ .
Um quadrilátero é dito Quadrilátero de Lambert quando possuir três ângulos internos retos (Figura 2.9 à
direita).
Sobre Quadriláteros de Lambert temos a seguinte proposição.
Proposição 2.10 (1) O ângulo interno não conhecido de um Quadrilátero de Lambert é agudo.
b ≡
(2) Seja ABCD um quadrilátero convexo com base AB e laterais AD e BC perpendiculares à base, ou seja, A
π
b
B = 2 . Então,
b<D
b ⇐⇒ AD < BC.
C
Construção Geométrica de Uma Reta Paralela a Uma Reta Dada
A construção com “régua e compasso” de uma reta paralela a outra na Geometria Hiperbólica não é tão trivial
quanto a construção semelhante que estamos acostumados a fazer na Geometria Euclidiana. O interessante dessa
construção, é que ela faz uso de um Quadrilátero de Lambert. A proposição abaixo estabelece essa construção, que
pode ser acompanhada na Figura 2.10.
Proposição 2.11 Sejam r uma reta e B ∈
/ r.
Trace o segmento perpendicular BE a r com E ∈ r.
Trace um segmento perpendicular BC a BE.
Trace o segmento perpendicular CD a BC de modo que D ∈ r.
Trace o cı́rculo de centro B e raio ED. Esse cı́rculo determina um ponto A ∈ DC.
←
→
Então, a reta s = AB é para a r passando por B.
s
a
C
B
a
r
E
A
a
D
W
Figura 2.10
A Soma dos Ângulos Internos de Triângulos e Polı́gonos
Um dos resultados mais conhecidos de Geometria Hiperbólica é o teorema que afirma que a soma das medidas dos
ângulos internos de um triângulo hiperbólico é menor do que a medida de um ângulo raso. Sintetizamos esse resultado
e outros relacionados na proposição abaixo.
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Proposição 2.12 (1) A soma dos ângulos internos de um triângulo ordinário é menor do que dois retos.
(2) A soma dos ângulos internos de um polı́gono convexo ordinário de n lados possui medida (em radianos) menor
do que (n − 2) π.
(3) A soma dos ângulos internos de um triângulo generalizado é menor do que dois retos.
(4) A soma dos ângulos internos de um polı́gono convexo generalizado de n lados possui medida (em radianos)
menor do que (n − 2) π.
Sabemos que há 5 casos de congruência de triângulos na Geometria Euclidiana que também valem para triângulos
ordinários na Geometria Hiperbólica (pois não dependem do Quinto Postulado de Euclides). Os casos de congruência
são os conhecidos LAL, LLL, ALA, LAA0 e o caso exclusivo para triângulos retângulos “cateto-hipotenusa”. Também
vimos que para triângulos generalizados há 3 casos de congruência, a saber: LA, AA e o caso exclusivo para triângulos
isósceles generalizados.
Por fim, vamos ao oitavo e último caso de congruência de triângulos hiperbólicos: o caso AAA (que é caso de
semelhança na Geometria Euclidiana).
Proposição 2.13 (Caso de Congruência AAA da Geometria Hiperbólica) Se ABC e A′ B′ C′ são triângulos ordinários
b ≡A
c′ , B
b ≡ Bb′ e C
b ≡ Cb′ , então ABC ≡ A′ B′ C′ .
tais que A
Variação da Distância entre Duas Retas
Um Quadrilátero de Saccheri pode ser dividido em dois Quadriláteros de Lambert por meio de um segmento que
liga os pontos médios de sua base e topo. Isso significa que há retas hiperparalelas que possuem uma reta perpendicular
comum. Este resultado está enunciado abaixo.
Proposição 2.14 Duas retas hiperparalelas possuem uma, e somente uma, reta perpendicular em comum.
Observações.
(i) Duas retas concorrentes não possuem uma reta perpendicular em comum. Caso contrário, terı́amos um triângulo
ordinário com dois ângulos internos retos ou um ângulo raso com medida diferente de π radianos.
(ii) Duas retas paralelas não possuem uma reta perpendicular em comum. Caso contrário, terı́amos um triângulo
generalizado com dois ângulos internos retos.
A distância de um ponto P a uma reta r é o comprimento do segmento PQ sendo Q o pé da perpendicular baixada
de P a r. Indiquemos a distância de P a r por d (P, r).
Proposição 2.15 (1) Sejam r e s retas concorrentes em um ponto O. Seja P ∈ r. A distância de P a s cresce
quando P se afasta de O, tornando-se arbitrariamente grande, e decresce quando P se aproxima de O tornando-se
arbitrariamente pequena.
(2) Sejam r e s retas paralelas com ponto ideal Ω em comum. Seja P ∈ r. A distância de P a s decresce quando
P se move no sentido de Ω, tornando-se arbitrariamente pequena. A distância de P a s cresce quando P se move no
sentido oposto de Ω tornando-se arbitrariamente grande.
(3) Sejam r e s retas hiperparalelas e RS o segmento perpendicular comum a r e s com R ∈ r e S ∈ s. Seja P ∈ r.
A distância de P a s decresce quando P se aproxima de R, tornando-se igual a RS quando P = R. A distância de P a
s cresce quando P se afasta de R tornando-se arbitrariamente grande.
2.5
Horocı́rculos e Curvas Equidistantes
Sejam r e s retas distintas e P ∈ r, Q ∈ s pontos distintos. Dizemos que P e Q são pontos correspondentes quando
o segmento PQ forma com r e s ângulos congruentes em um mesmo lado de PQ. Também podemos dizer que P
corresponde a Q. Na Figura 2.11 temos a ilustração de pontos correspondentes nas 3 posições relativas de r e s
no plano hiperbólico: r e s concorrentes, paralelas e hiperparalelas, respectivamente.
P
s
r
s W
r
Q
P
P
Q
Q
r
s
Figura 2.11
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Proposição 2.16 (1) Dadas duas retas paralelas, existe um ponto ordinário equidistante dessas duas retas.
(2) Sejam r e s retas paralelas com o ponto ideal Ω em comum. Seja M um ponto ordinário equidistante de r e s.
←−→
Então, a reta MΩ é equidistante de r e s.
(3) Sejam r e s retas paralelas e P ∈ r. Então, existe um único ponto Q ∈ s tal que P e Q são pontos correspondentes.
(4) Sejam r, s, t retas paralelas distintas em um mesmo sentido e P ∈ r, Q ∈ s, R ∈ t. Se P corresponde a Q e Q
corresponde a R, então P, Q e R são pontos não colineares.
(5) Sejam r, s, t retas paralelas distintas em um mesmo sentido e P ∈ r, Q ∈ s, R ∈ t. Se P corresponde a Q e Q
corresponde a R, então P corresponde a R.
←−→
A reta MΩ do Item (2) da proposição acima é chamada de reta bissectora das retas paralelas r e s.
Observações.
(i) Os Itens (1), (2), (4) e (5) da proposição acima podem ser adaptados para retas concorrentes. Os Itens (1), (2),
(3) e (5) da proposição acima podem ser adaptados (com o auxı́lio da Proposição 2.14) para retas hiperparalelas.
(ii) O Item (4) da proposição acima é falso para retas hiperparalelas. De fato, se r e s são retas hiperparalelas e
PR é o segmento perpendicular a ambas, então a reta t perpendicular a PR passando pelo ponto médio Q de PR é
reta hiperparalela a r e a s. Assim, r, s, t são hiperparalelas, P e Q são pontos correspondentes, Q e R são pontos
correspondentes e P, Q, R são pontos colineares, conforme Figura 2.12.
r
P
s
Q
R
t
Figura 2.12
Sejam o feixe (conjunto) de todas as retas paralelas em um mesmo sentido com um ponto ideal Ω em comum e P
um ponto ordinário em uma reta desse feixe. O lugar geométrico de todos os pontos correspondentes a P nas demais
retas do feixe chamamos de horocı́rcul o (ou horociclo) de centro Ω e raio PΩ, conforme ilustrado na Figura 2.13
à esquerda.
P
4
4
3
3 2 2 1 1
P
5
5
6
6
7
7
8
W
8
AAA
AA
A
A
W
9
9
Figura 2.13
Observemos que um horocı́rculo fica determinado por um ponto ideal Ω (centro) e um ponto ordinário P.
Se tomarmos um cı́rculo com centro em A ∈ PΩ e raio AP e fizermos A “tender” a Ω, então o cı́rculo de centro A e
raio AP “tende” ao horocı́rculo de centro Ω e raio PΩ (Figura 2.13 à direita). Esta interpretação geométrica significa
que, no Modelo do Disco de Poincaré, um horocı́rculo possui a forma de um cı́rculo euclidiano tangente ao bordo do
modelo, uma vez que cı́rculos hiperbólicos no referido modelo coincidem com cı́rculos euclidianos (naturalmente com
centros diferentes).
Dados um horocı́rculo H e uma reta r, dizemos que r é tangente a H quando r ∩ H for um conjunto constituı́do
por apenas um ponto.
Devido à interpretação geométrica acima, a proposição seguinte é natural.
Proposição 2.17 Uma reta é tangente a um horocı́rculo se, e somente se, for perpendicular a um de seus raios em
sua extremidade.
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Seja r uma reta. Consideremos o conjunto P de todas as retas perpendiculares a r. Seja P um ponto pertencente
a uma dessas retas e P ∈
/ r. O lugar geométrico C de todos os pontos correspondentes de P nas demais retas de P é
chamado de curva equidistante de r. A distância de P a r é chamada de distância de C a r, conforme a Figura
2.14.
P
C
6
4 3
5
6
7
7
8
8
Pʹ
5 4
3
2
2
Q Qʹ
11
W2
r
W1
Figura 2.14
Observações:
(i) C não é uma reta hiperbólica.
(ii) Se P, P′ ∈ C e Q, Q′ são os pés das perpendiculares baixadas de P, P′ a r, então PQQ′ P′ é um Quadrilátero de
Saccheri. Como em tais quadriláteros os lados laterais são congruentes, concluı́mos que todos os pontos de C estão à
mesma distância de r, o que justifica o nome “curva equidistante”.
2.6
Áreas
A diferença entre π e a soma dos ângulos internos de um triângulo ordinário ou generalizado, medida em radianos, é
chamada de defeito do triângulo.
O conceito de defeito está intimamente relacionado ao conceito de área, conforme proposição abaixo.
Proposição 2.18 Dados dois triângulos (ordinários ou generalizados), se eles possuem o mesmo defeito, então eles
possuem a mesma área.
Seja um triângulo ABC e D ∈ AB, como na Figura 2.15. O que podemos dizer da relação entre o defeito de ABC
e os defeitos de ACD e BCD?
C
g
q
b
l
B
d
e
a
D
A
Figura 2.15
Temos
[π − (α + ε + λ)] + [π − (β + δ + θ)] = 2π − (α + β + λ + θ + ε + δ)
= 2π − (α + β + γ + π)
= π − (α + β + γ)
Deste modo, concluı́mos que o defeito de ABC é a soma dos defeitos de ACD e BCD.
Esse procedimento pode ser estendido para uma decomposição qualquer de um triângulo ∆ em uma quantidade
finita de triângulos menores ∆i ; i = 1, ..., n; e, assim, o defeito do triângulo ∆ será a soma dos defeitos dos triângulos
∆i .
Na verdade, a recı́proca da proposição acima é verdadeira. Isto é decorrência do Teorema de Gauss Bonnet, que
tem por corolário, que a integral da curvatura gaussiana do plano hiperbólico sobre um triângulo ∆ é igual a diferença
entre a soma das medidas dos ângulos internos do triângulo e π, isto é:
∫∫
(α + β + γ) − π =
kdσ,
∆
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17
sendo α, β, γ, medidas dos ângulos internos do triângulo ∆, k curvatura gaussiana
do plano hiperbólico (que é sempre
√
constante e negativa) e dσ elemento de área hiperbólica, isto é, dσ = EG − F2 dxdy, sendo E, F, G coeficientes da
Primeira Forma Quadrática relativa a uma parametrização local do plano hiperbólico que contém ∆. Deste modo,
A (∆) = k ((α + β + γ) − π) .
Logo, juntando a proposição acima ao Teorema de Gauss-Bonnet, podemos enunciar a proposição abaixo.
Proposição 2.19 Dois triângulos (ordinários ou generalizados) possuem mesmo defeito se, e somente se, possuem
mesma área.
Como a curvatura do plano hiperbólico é constante e negativa, concluı́mos que a área de um triângulo T na
geometria hiperbólica é proporcional ao seu defeito. Tomando a curvatura gaussiana k igual a −1 (que corresponde a
tomarmos o modelo do disco de Poincaré com raio euclidiano igual a 1), temos que a área de um triângulo hiperbólico
T será exatamente o seu defeito. Sintetizamos esse resultado na proposição abaixo.
Proposição 2.20 Fazendo a curvatura gaussiana do plano hiperbólico igual a −1, temos
A (∆) = π − (α + β + γ) .
Seja um polı́gono convexo de n lados. Chamamos de defeito do polı́gono a diferença entre (n − 2) π e a soma dos
ângulos internos do polı́gono. Deste modo, podemos generalizar o resultado acima para polı́gonos
Área (polı́gono) = k (−defeito (polı́gono)) .
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Capı́tulo 3
Trigonometria Hiperbólica
O objetivo deste capı́tulo é introduzir a Lei dos Senos, Leis dos Cossenos (são duas) e Teorema de Pitágoras Hiperbólico,
bem como uma expressão analı́tica para a Função Ângulo de Paralelismo, já introduzida no capı́tulo anterior. Esses
resultados permitirão “fazer contas” na Geometria Hiperbólica Plana.
As ilustrações foram inspiradas nas construções geométricas realizadas no Modelo do Disco de Poincaré para
a Geometria Hiperbólica Plana. As mesmas podem ser reproduzidas com o auxı́lio de um software de geometria
dinâmica, como o GeoGebra.
3.1
Arcos Correspondentes de Horocı́rculos Concêntricos e Distâncias
⌢
⌢
Sejam AB e A′ B′ arcos de horocı́rculos H e H′ , respectivamente, com extremos nos mesmos raios AΩ e BΩ de H (como
na Figura 3.1 à esquerda). Tais arcos são chamados de arcos correspondentes de horocı́rculos concêntricos
(ou, simplesmente, arcos correspondentes, quando o contexto não deixar dúvidas).
H
A
Aʹ
Hʹ
Pʹ
Bʹ
P
H
A
s0
d
W
Aʹ
sd
Hʹ
W
Bʹ
B
B
Figura 3.1
Proposição 3.1 Segmentos de raios entre arcos correspondentes de horocı́rculos concêntricos são congruentes.
⌢
Tendo por base a Figura 3.1 à esquerda, a proposição acima garante que para qualquer P ∈ AB temos PP′ ≡
⌢
⌢
AA′ ≡ BB′ . Isto permite definir inequivocamente a distância entre os arcos correspondentes AB e A′ B′ de
forma inequı́voca, como sendo o comprimento de qualquer segmento de raio de horocı́rculo de H que liga um ponto de
⌢
⌢
AB a um ponto de A′ B′ .
⌢
⌢
Proposição 3.2 A razão entre as medidas dos arcos correspondentes AB e A′ B′ de horocı́rculos concêntricos depende
⌢
somente da distância d entre eles, ou seja,
AB
⌢
A′ B′
= f (d).
Assim como na Geometria Euclidiana, o análogo dessa proposição para “arcos correspondentes de cı́rculos hiperbólicos concêntricos” é falsa.
A importância da proposição acima reside no fato de que, podemos estabelecer uma unidade de medida hiperbólica
que não seja convencionada, como ocorre com quase todas as unidades de medida na Geometria Euclidiana. Calculando
f (1), toda vez que tomamos arcos correspondentes de horocı́rculos concêntricos cuja razão entre seus comprimentos
seja f (1), estamos definindo a unidade de distância hiperbólica, que é a distância entre esses arcos. Notemos que essa
idéia de definir unidade de medida por meio de quociente é análoga à definição de radiano na Geometria Euclidiana
(aliás uma das poucas medidas da Geometria Euclidiana que surge de maneira natural e não é convencionada).
É possı́vel mostrar (utilizando Geometria Diferencial) que quando
⌢
AB
⌢
A′ B′
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= e,
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⌢
⌢
⌢
⌢
a distância hiperbólica entre AB e A′ B′ é 1, sendo AB e A′ B′ arcos correspondentes de horocı́rculos concêntricos, ou
seja,
⌢
⌢
′ ′
⌢
d(AB, A B ) = 1 ⇐⇒
AB
⌢
A′ B′
= e.
A próxima proposição generaliza a discussão acima, tendo por base a Figura 3.1 à direita.
Proposição 3.3 Se s0 e sd são comprimentos hiperbólicos de dois arcos correspondentes em horocı́rculos concêntricos
com sd < s0 , sendo d a distância entre eles, então
s0
= ed .
sd
A unidade de medida hiperbólica também pode ser obtida sob a forma de um arco de horocı́rculo construı́do de
modo muito simples, conforme estabelece a Proposição 3.5 adiante. Antes porém, necessitamos das duas próximas
proposições, que apresentam as propriedades da construção geométrica simples de que precisamos.
Proposição 3.4 Sejam m = Ω1 Ω2 e n = Ω3 Ω4 retas perpendiculares em A e H horocı́rculo com centro em Ω1
passando por A. Seja r = Ω1 Ω3 . Então, r intersecta H em um ponto B e a reta t perpendicular a r por B é paralela
a m.
A Figura 3.2 à esquerda ilustra a construção geométrica associada a esta proposição.
W3
C
W3
u
t
E
D
B
r
W2
m
W1
A
B
C
D
W2
A
H
y
s
W1
H
n
A
W4
W4
Figura 3.2
A construção geométrica da Figura 3.2 à esquerda irá desempenhar um papel importante na obtenção de fórmulas
trigonométricas. Entretanto, cabe ressaltar o resultado bastante curioso que citamos acima, cuja demonstração faz
uso da Geometria Diferencial.
⌢
Proposição 3.5 Nas condições das proposições acima, o comprimento do arco de horocı́rculo AB é unitário.
Mais usa vez, temos a unidade de medida universal na Geometria Hiperbólica sendo obtida com o auxı́lio do
conceito de horocı́rculo.
Estamos em condições de estabelecer algumas relações bastante importantes.
Consideremos a Figura 3.2 à direita deriva da Figura 3.2 à esquerda, sendo C um ponto de AΩ3 e D a intersecção
de CΩ1 com o horocı́rculo H.
Observemos que construı́mos uma figura ACD muito interessante (cuidado: não é um triângulo hiperbólico) que é
objeto da próxima proposição.
Proposição 3.6 Nas condições estabelecidas na Figura 3.2 à direita, sendo s o comprimento do arco de horocı́rculo
⌢
AD, AC = y e CD = u, então
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{
1 − s = e−y−u
.
1 + s = ey−u
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21
Com o objetivo de simplificar as expressões que surgirão doravante, definamos
senh (y) =
tgh (y) =
senh (y)
,
cosh (y)
ey − e−y
,
2
sech (y) =
cosh (y) =
1
,
cosh (y)
ey + e−y
,
2
cosech (y) =
1
,
senh (y)
sendo que na função cossecante hiperbólica devemos ter y ̸= 0.
Veremos adiante que a nomenclatura adotada acima, inspirada nas funções trigonométricas euclidianas, será conveniente quando do estabelecimento de fórmulas trigonométricas hiperbólicas.
Proposição 3.7 Nas condições da proposição acima valem as seguintes fórmulas:
eu = cosh (y)
e
s = tgh (y) .
⌢
⌢
Consideremos a Figura 3.3, sendo D ∈ AB, DE perpendicular a m = Ω1 Ω2 , s o comprimento do arco AD e
DE = a.
W3
D
D
W2
m
W1
A E
s
a
H
A
E
W4
Figura 3.3
Proposição 3.8 Nas condições da Figura 3.3 vale
s = senh (a) .
3.2
Um Sistema de Coordenadas para o Plano Hiperbólico
Existem vários sistemas de coordenadas que podem ser definidos no plano hiperbólico. Um dos mais usuais é o que
passamos a descrever.
Consideremos duas retas perpendiculares em O e orientadas a partir de O. Chamemos estas retas orientadas de
eixos coordenados hiperbólicos e os indiquemos por Ox e Oy . Seja P um ponto do plano hiperbólico. Associemos
a P dois números reais a e b tais que:
(i) |a|: distância da projeção ortogonal Px de P em Ox até O, sendo:
a > 0 se Px situa-se na semirreta de orientação positiva de Ox .
a < 0 se Px situa-se na semirreta de orientação negativa de Ox .
(ii) |b|: distância de P a Px .
b > 0 se P estiver no semiplano determinado por Ox que contém a semirreta de orientação positiva de Oy .
b < 0 se P estiver no semiplano determinado por Ox que contém a semirreta de orientação negativa de Oy .
Chamamos a e b de coordenadas hiperbólicas de P, sendo a a abscissa e b a ordenada de P, conforme a Figura
3.4.
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22
Introdução à Geometria Hiperbólica Plana e atividades via o Modelo do Disco de Poincaré - Parte Teórica
P = (a,b)
+
Oy
2° Quadrante
1° Quadrante
b
QX
-
+
a
-c
PX
O
-d
3° Quadrante
Q = (c,d)
OX
4° Quadrante
Figura 3.4
Observemos que, deste modo, existe uma correspondência biunı́voca entre os pontos do plano e os pares ordenados de
números reais.
Nas condições estabelecidas acima dizemos que os eixos coordenados hiperbólicos estabelecem um sistema de
coordenadas hiperbólicas no plano hiperbólico.
Observações:
(1) Se definı́ssemos b como sendo a distância da projeção ortogonal Py de P em Oy até O (como nas coordenadas
cartesianas da Geometria Euclidiana), não haveria uma correspondência biunı́voca entre os pontos do plano e os pares
ordenados de números reais. Por exemplo, seja a ∈ R tal que θ(a) = π4 (θ: função ângulo de paralelismo). Não
existiria o ponto do coordenadas (a, a) (Figura 3.5 à esquerda).
Oy
+
Oy
+
W
Py
a
-
O a
+ Ox
-
-
O
P
b
a P + Ox
x
Figura 3.5
Por outro lado, se partirmos do ponto P, sempre existiria Px e Py e, portanto, existiriam as coordenadas a e b como
na Geometria Euclidiana.
(2) nas condições como definimos o sistema de coordenadas na Geometria Hiperbólica, um ponto P = (a, b) é tal
que d(O, Py ) < b, como na Figura 3.5 à direita. De fato, OPx PPy é um Quadrilátero de Lambert e, portanto,
d(O, Py ) < d(P, Px ) = b.
De posse de um sistema de coordenadas no plano hiperbólico, é natural o estudo de equações de curvas nesse
sistema. A próxima proposição estabelece as equações do horocı́rculo H e da reta r que utilizamos para deduzir as
importantes relações do final da seção anterior.
Proposição 3.9 (1) Seja Ω+ ponto ideal do eixo coordenado Ox no lado de orientação positiva. A equação do
horocı́rculo de centro Ω+ passando pela origem O no sistema de coordenadas hiperbólicas é
ex = cosh (y) .
(2) A equação da reta paralela aos eixos coordenados hiperbólicos situada no 1o quadrante é
ex tgh (y) = 1 .
3.3
Versão Hiperbólica do Teorema de Pitágoras, Lei dos Senos e Lei
dos Cossenos
Teorema 3.1 (Teorema de Pitágoras Hiperbólico) Em um triângulo retângulo com hipotenusa medindo c e catetos
medindo a e b vale
cosh (c) = cosh (a) cosh (b) .
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23
Exemplo. Seja um triângulo retângulo hiperbólico com catetos medindo 3 e 4. A hipotenusa mede aproximadamente
∼ 274, 93 o que fornece c = 6, 30966.
6, 30966. De fato, temos cosh (c) = cosh (3) cosh (4) =
Observemos que a hipotenusa é “maior” no caso hiperbólico do que no caso euclidiano.
Teorema 3.2 (Primeira Lei dos Cossenos) Em um triângulo hiperbólico ordinário com lados medindo a, b, c e ângulo
interno de medida λ oposto ao lado de medida a, vale
cosh (a) = cosh (b) cosh (c) − senh (b) senh (c) cos (λ) .
Teorema 3.3 (Lei dos Senos) Em um triângulo hiperbólico ordinário com ângulos internos de medidas λ, µ, ν opostos
aos lados de medidas a, b, c, respectivamente, vale
senh (b)
senh (c)
senh (a)
=
=
.
sen (λ)
sen (µ)
sen (ν)
Exemplos:
(1) A área de um triângulo retângulo com catetos medindo 3 e 4 na Geometria Hiperbólica é 1, 43488196 unidades de
área.
De fato:
Precisamos encontrar os ângulos internos na Figura 3.6 à esquerda.
3a
a
c
1
a
b
2
b
4
30o
Figura 3.6
Pelo Teorema de Pitágoras Hiperbólico,
∼ 6, 30966.
cosh (c) = cosh (3) cosh (4) =⇒ c =
Pela Lei dos Senos,
senh (3) ∼ senh (6, 30966)
∼ 0, 036438166 =⇒ β =
∼ 0, 036446234 rad (ou β =
∼ 2, 088◦ ) .
( )
=⇒ sen (β) =
=
sen (β)
sen π2
Analogamente,
senh (4) ∼ senh (6, 30966)
∼ 0, 099262 =⇒ α =
∼ 0, 0994257 rad (ou α =
∼ 5, 6966◦ ).
( )
=⇒ sen (α) =
=
sen (α)
sen π2
Assim,
(
)
∼ π − π + 0, 036446234 + 0, 0994257 =
∼ 1, 43488196 unidades de área.
Área(ABC) =
2
∼ 36, 87◦ ; α =
∼ 53, 13◦ e Área(ABC) = 6.
Observação: se o triângulo fosse euclidiano, β =
(2) Um triângulo possui lados medindo 1 e 2 e o ângulo entre eles é de 30◦ , conforme a Figura 3.6 à direita. A
medida do terceiro lado é 1, 380472 unidades de área e os demais ângulos medem 18, 3887◦ e 76, 7979◦ .
De fato, pela Primeira Lei dos Cossenos,
∼ 2, 1141193 =⇒ a =
∼ 1, 380472.
cosh (a) = cosh (1) cosh (2) − senh (1) senh (2) cos (30◦ ) =
Pela Lei dos Senos,
senh (1)
senh (a)
∼ 0, 320944 rad =
∼ 18, 3887◦
=
=⇒ β =
◦
sen (30 )
sen (β)
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24
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e
senh (2)
senh (a)
∼ 1, 340376 rad =
∼ 76, 7979◦ .
=
=⇒ α =
sen (30◦ )
sen (α)
(3) O comprimento de uma circunferência hiperbólica de raio r é c = 2π senh (r).
De fato, consideremos um polı́gono hiperbólico regular com n lados inscrito em um cı́rculo hiperbólico de raio r.
Logo, este polı́gono pode ser decomposto em 2n triângulos retângulos com hipotenusa medindo r, catetos medindo a
π
e b e ângulos internos medindo π2 , n
e α, sendo o ângulo de medida α oposto ao cateto de medida a. Observemos
que o comprimento da circunferência será melhor aproximado quanto maior for o número de lados do polı́gono regular
inscrito, ou seja,
c = lim 2nb.
n→∞
Pela Lei dos Senos Hiperbólica,
(
( π ))
senh (r)
senh (b)
(π) =
( π ) =⇒ b = senh−1 senh (r) sen
.
n
sen n
sen 2
Logo,
c = 2 lim
(
( π ))
senh−1 senh (r) sen n
1
n
n→∞
.
Embora n seja uma variável real discreta, para efeito de cômputo do limite acima, vamos substituir n pela variável
real contı́nua x para podermos aplicar a Regra de L’Hospital. Logo,
senh(r) cos( π
x )(−
c = 2 lim
π
x2
)
cosh(senh−1 (senh(r) sen( π
x )))
x→∞
− x12
( )
cos πx
(
= 2π senh (r) lim
(
( )))
x→∞
cosh senh−1 senh (r) sen πx
= 2π senh (r) .
(4) A área de um cı́rculo hiperbólico de raio r é A = 4π senh2
(r)
2
.
De fato, consideremos um polı́gono hiperbólico regular com n lados inscrito em um cı́rculo hiperbólico de raio r.
Logo, este polı́gono pode ser decomposto em 2n triângulos retângulos com hipotenusa medindo r, catetos medindo a
π
e b e ângulos internos medindo π2 , n
e α, sendo o ângulo de medida α oposto ao cateto de medida a. Observemos que
a área do cı́rculo será melhor aproximada quanto maior for o número de lados do polı́gono regular inscrito, ou seja,
(
(π π
))
(π π
)
A = lim 2n π −
+ + α = 2 lim n
− −α .
n→∞
n→∞
2 n
2 n
Pela Lei dos Senos Hiperbólica,
senh (b)
senh (r)
senh (a)
(π) =
(π) =
=⇒
sen (α)
sen n
sen 2
senh (a) = senh (r) sen (α)
e
senh (b) = senh (r) sen
(π)
n
.
Pelo Teorema de Pitágoras Hiperbólico,
cosh (r) = cosh (a) cosh (b) =⇒
(
)(
)
cosh2 (r) = 1 + senh2 (a) 1 + senh2 (b) =⇒
( π ))
(
)(
cosh2 (r) = 1 + senh2 (r) sen2 (α) 1 + senh2 (r) sen2
=⇒
(π) n
(π)
cosh2 (r) = 1 + senh2 (r) sen2 (α) + senh2 (r) sen2
+ senh4 (r) sen2 (α) sen2
=⇒
n
n
(π)
( π )))
(
(
senh2 (r) = senh2 (r) sen2
+ sen2 (α) 1 + senh2 (r) sen2
=⇒
n
n
(π)
( π ))
(
cos2
= sen2 (α) 1 + senh2 (r) sen2
=⇒
n
n 

(π)
cos n


α = arcsen √
(π) .
2
2
1 + senh (r) sen n
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Desta forma,
(
π
2
−
π
n
)
√
− arcsen
A = 2 lim
π
cos( n
)
π
1+senh2 (r) sen2 ( n
)
.
1
n
n→∞
25
Embora n seja uma variável real discreta, para efeito de cômputo do limite acima, vamos substituir n pela variável
real contı́nua x para podermos aplicar a Regra de L’Hospital. Logo,
√
1+senh2 (r) sen2
( πx )(− xπ2 )
− sen
π
x2




1−
A = −2π lim 
x→∞ 





A = −2π lim 1 −
x→∞ 


A = −2π lim 
1−
x→∞ 


A = −2π lim 1 −
x→∞
(
A = −2π lim
x→∞
( )
=⇒
√
senh2 (r) sen( π ) cos2 ( π )
x
x
√
sen( π
1+senh2 (r) sen2 ( π
x)
x )+
1+senh2 (r) sen2
1+senh2 (r) sen2 ( π
x)
2 π
1+senh2 (r) sen2 ( π
x )−cos ( x )
1+senh2 (r) sen2 ( π
x)

( πx ) 


 =⇒



2
2 π
2
2 π
π
sen( π
x )(1+senh (r) sen ( x ))+senh (r) sen( x ) cos ( x )
√
π
π
2
2
2
2
1+senh (r) sen ( x )(1+senh (r) sen ( x ))
√
2
2 π
sen2 ( π
x )+senh (r) sen ( x )
√
1+senh2 (r) sen2 ( π
x)
2
2 π
2
2 π
sen( π
x )(1+senh (r) sen ( x )+senh (r) cos ( x ))
1+senh2 (r) sen2 ( π
x)
√
)
(π) (
sen2 x 1 + senh2 (r)
2
sen( π
x )(1+senh (r))
1+senh2 (r) sen2 ( π
x)
sen
(π)
x
cosh (r)
)
cos2
− x12
√
( )(
( )
2 senh2 (r) sen π cos π
− π
x
x
n2
√
2 1+senh2 (r) sen2 π
x
π
x
( )
( πx )
1+senh2 (r) sen2 ( π )
x
1+senh2 (r) sen2
v
u
u
t1−
−
A = 2 lim
x→∞
( πx )−cos( πx )



 =⇒



 =⇒



 =⇒
cosh (r)
1−
( )
1 + senh2 (r) sen2 πx
)
=⇒
A = −2π (1 − cosh (r)) =⇒
(
(r)
( r ))
− senh2
=⇒
A = −2π 1 − cosh2
2
2
(r)
A = 4π senh2
.
2
3.4
Uma Segunda Lei dos Cossenos
b = α,
Proposição 3.10 (Segunda Lei dos Cossenos) Seja um triângulo ABC tal que BC = a, AC = b, AB = c, A
b
b
B = β e C = γ. Então,
cosh (c) =
cos (α) cos (β) + cos (γ)
.
sen (α) sen (β)
Exemplos:
(1) Um triângulo possui ângulos internos 30◦ , 45◦ e 60◦ (Figura 3.7 à esquerda). Os lados opostos a esses ângulos
medem 1, 3120735; 1, 6230837 e 1, 8130936; respectivamente.
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Edson Agustini
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A
b
1
a
45o
o
30o 60
a
r
1
b
c
1
c
1
d
1
1
b
h
C
a
B
Figura 3.7
De fato,
cos (30◦ ) cos (45◦ ) + cos (60◦ )
sen (30◦ ) sen (45◦ )
cos (60◦ ) cos (45◦ ) + cos (30◦ )
cosh (b) =
sen (60◦ ) sen (45◦ )
cos (60◦ ) cos (30◦ ) + cos (45◦ )
cosh (c) =
sen (60◦ ) sen (30◦ )
cosh (a) =
∼ 3, 146264 =⇒ a =
∼ 1, 8130936
=
∼ 1, 991563 =⇒ b =
∼ 1, 3120735
=
∼ 2, 632993 =⇒ c =
∼ 1, 6230837
=
(2) O raio da circunferência inscrita em um triângulo equilátero hiperbólico de lados medindo 1 (Figura 3.7 ao
centro) é 0, 2637354 unidades de medida.
De fato, temos α =
π
3.
Pela Lei dos Senos,
( )
senh 12
senh (1)
( ) =
( ) =⇒
β
sen π2
sen 2
( )
( )
senh 21 ∼
β
sen
=
= 0, 44340944 =⇒
2
senh (1)
β ∼
= 0, 4593989 rad =⇒
2
∼ 0, 9187978 rad =
∼ 52, 643◦
β=
Assim,
( )
senh 12
senh (r)
∼ 0, 2637354.
( )=
( π ) =⇒ r =
sen 3
sen β
2
(3) Dado um triângulo ABC, seja h a altura relativa ao vértice A (Figura 3.7 à direita). Então, colocando h em
função dos lados a, b, c temos
√

2
2
2
cosh
(a)
cosh
(b)
cosh
(c)
−
cosh
(b)
−
cosh
(c)

h = cosh−1 
senh (a)
De fato,
cosh (c) = cosh (h) cosh (d − a) = cosh (h) (cosh (d) cosh (a) − senh (d) senh (a))
cosh (b) = cosh (h) cosh (d)
cosh2 (d) − senh2 (d) = 1
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Logo,

√
(
)2

cosh (b)
cosh (b)
cosh (a) − −1 +
senh (a)
cosh (h)
cosh (h)
√
= cosh (b) cosh (a) − − cosh2 (h) + cosh2 (b) senh (a) =⇒
√
cosh (c) − cosh (b) cosh (a)
= − − cosh2 (h) + cosh2 (b) ⇒
senh (a)
(
)2
cosh (c) − cosh (b) cosh (a)
2
2
− cosh (h) + cosh (b) =
=⇒
senh (a)
√
2 cosh (a) cosh (b) cosh (c) − cosh2 (b) − cosh2 (c)
.
cosh (h) =
senh (a)
cosh (c) = cosh (h) 
3.5
Comparação Entre as Trigonometrias Hiperbólica e Euclidiana
Estamos tomando como unidade de medida a distância entre dois arcos correspondentes de horocı́rculos concêntricos
cujo quociente é e.
⌢
⌢
⌢
⌢
Temos, por proposição já vista, que se x é a distância entre AB e CD, então CD = ABe−x . Tomemos x = k1 com
k > 0.
Podemos considerar k1 como sendo unidade de medida. Logo, para k grande, a unidade de medida é pequena e os
⌢
⌢
arcos AB e CD possuem quase o mesmo comprimento.
Com esta unidade de medida, as fórmulas trigonométricas ficam do seguinte modo.
(1) Teorema de Pitágoras Hiperbólico:
cosh
(2) Lei dos Senos:
(c)
k
= cosh
( )
(a)
b
cosh
.
k
k
( )
( )
( )
senh a
senh bk
senh kc
k
=
=
.
sen (α)
sen (β)
sen (γ)
(3) Primeira Lei dos Cossenos:
cosh
(c)
k
= cosh
(a)
(4) Segunda Lei dos Cossenos:
cosh
k
cosh
(a)
k
=
( )
( )
(a)
b
b
− senh
senh
cos (γ) .
k
k
k
cos (β) cos (γ) + cos (α)
.
sen (β) sen (γ)
Note que, fazendo k grande, nossos triângulos
são “pequenos”.
(x)
em torno do zero temos
Da Fórmula de Taylor para senh
k
( x )n
(n)
(x)
(0)
∞ senh
∑
x
x3
x5
k
senh
=
= +
+
+ ···
3
k
n!
k 3!k
5!k5
n=0
Analogamente,
( x )n
(n)
cosh
(0)
∞
∑
x2
x4
k
cosh
=
=1+
+
+ ···
k
n!
2!k2 4!k4
n=0
(x)
Deste modo, para valores grandes de k podemos considerar
(x) x
≃
senh
k
k
e
cosh
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(x)
k
≃1+
x2
2k2
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(1) Teorema de Pitágoras Hiperbólico:
( )
(a)
b
cosh
= cosh
cosh
=⇒
k
k
k
(
)(
)
c2
b2
a2
1+ 2 ≃ 1+ 2
1 + 2 =⇒
2k
2k
2k
(c)
1+
c2
a2
b2
a2 b2
≃1+ 2 + 2 +
=⇒
2
2k
2k
2k
4k4
a2 b2
c2 ≃ a2 + b2 +
.
2k2
Para k grande temos
c2 ≃ a2 + b2
que é, aproximadamente, o Teorema de Pitágoras Euclidiano.
(2) Lei dos Senos:
( )
( )
( )
senh a
senh bk
senh kc
k
=
=
=⇒
sen α
sen (β)
sen (γ)
a
k
≃
b
k
≃
c
k
sen (α)
sen (β)
sen (γ)
a
b
c
≃
≃
sen (α)
sen (β)
sen (γ)
=⇒
que é, aproximadamente, a Lei dos Senos Euclidiana.
(3) Primeira Lei dos Cossenos:
( )
( )
(a)
b
b
cosh
= cosh
cosh
− senh
senh
cos (γ) =⇒
k
k
k
k
k
(
)
(
)
c2
b2
a2
ab
a2
b2
a2 b2 ab
1+ 2 ≃ 1+ 2
1+ 2 −
cos (γ) = 1 + 2 + 2 +
− 2 cos (γ) =⇒
2k
2k
2k
kk
2k
2k
4k4
k
(c)
(a)
c2 ≃ a2 + b2 − 2 cos (γ) +
a2 b2
=⇒
2k2
c2 ≃ a2 + b2 − 2 cos (γ)
para k grande, que é, aproximadamente, a Lei dos Cossenos euclidiana.
(4) Segunda Lei dos Cossenos:
(a)
cos (β) cos (γ) + cos (α)
=⇒
k
sen (β) sen (γ)
cos (β) cos (γ) + cos (α)
a2
=⇒
1+ 2 ≃
2k
sen (β) sen (γ)
cos (β) cos (γ) + cos (α)
1≃
=⇒
sen (β) sen (γ)
sen (β) sen (γ) ≃ cos (β) cos (γ) + cos (α) =⇒
− cos (α) ≃ cos (β + γ) =⇒
cos (π − α) ≃ cos (β + γ) =⇒
cosh
=
π − α ≃ β + γ =⇒
π ≃ α + β + γ.
Conclusão: Para unidades de medida muito pequenas, os triângulos hiperbólicos são “quase” euclidianos, ou então, o
plano hiperbólico é “localmente euclidiano”.
Edson Agustini
Universidade Federal de Uberlândia
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Introdução à Geometria Hiperbólica Plana e atividades via o Modelo do Disco de Poincaré - Parte Teórica
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Universidade Federal de Uberlândia
Edson Agustini