Transmissão de Calor
Prof. Dr. Vicente Luiz Scalon
Aproximação Unidimensional
para Condução de Calor
em Superfícies Estendidas
Prof. Dr. Vicente Luiz Scalon
email: [email protected]
Disciplina: Transmissão de Calor
DEM/FEB/UNESP/Bauru
Aproximação Unidimensional de
um Problema Bidimensional
Balanço energético:
Ė s
h ,T ∞
Ė e

q dq =q

dq
x
x
x
dq x =dq conv
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dqconv q dq
x
x
qx
conv
x
qx
d 
dT
dq x =
−k⋅A sr⋅
⋅dx
dx
dx


dqconv =h⋅P⋅dx⋅T ∞−T 
dx
x
k e Asr constantes
2
d T
−k⋅A sr⋅ 2 =h⋅P⋅T ∞−T 
dx
2
d T h⋅P
−
⋅T −T ∞ =0
2
k⋅Asr
dx
Condicionando a E.D.O.
●
para homogeneizar a equação:
d  dT d 2  d 2 T
=T −T ∞ 
=
 2= 2
dx dx
dx
dx
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2
d T h⋅P
−
⋅T −T ∞ =0
2
k⋅Asr
dx
2
d  h⋅P
−
⋅=0
2
k⋅A sr
dx
2
m sendo que:
2
d 
2
2
−m ⋅=0 ou ' ' −m ⋅=0
2
dx
m=

h⋅P
k⋅A sr
Solução da E.D.O.
 ' ' −m2⋅=0 sendo a solução geral: = A⋅exp b⋅x
{
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' = A⋅b⋅exp b⋅x
As derivadas ficam:
e na EDO:
2
 ' ' = A⋅b ⋅exp b⋅x
A⋅b2⋅expb⋅x −m2⋅A⋅exp b⋅x=0  b2 −m2 =0 ou b=±m
A solução final é resultado da combinação linear das raízes obtidas:
=C 1⋅exp m⋅xC 2⋅exp −m⋅x 
Uma solução equivalente em termos de funções hiperbólicas:
=C 1 '⋅senh m⋅xC 2 '⋅cosh m⋅x
Aplicação de Condição de
Contorno na parede
x=0  T  x=0=T b  0=T b−T ∞=b
0=C 1⋅exp m⋅0C 2⋅expm⋅0
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b=C 1C 2
(Condição I)
x
x ' = L− x :
 1⋅senh[m⋅
 2⋅cosh [m⋅
=C
L− x  ]− C
L− x ]
A outra solução é utilizada uma orientação
x'
x'
x=0 T  x=0=T b  0=T b−T ∞=b
 1⋅senh m⋅LC
 2⋅cosh m⋅L
0= C
 1⋅senh m⋅L C
 2⋅cosh m⋅L
b = C
(Condição II)
x'
A condição na outra ponta
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Condições típicas na outra face:
●
Aleta muito longa
●
Aleta sem troca de calor na ponta (adiabática)
●
Aleta engastada a outra parede
●
Aleta com convecção na ponta
Aleta muito Longa
x  ∞  T ∞=T ∞  ∣x  ∞=T ∞−T ∞=0
∣x  ∞=C 1⋅exp∞C
2⋅exp −∞=0  C 1 =0

=0
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Usando este resultado associado à Condição I :
b=C 1C 2=C 2 
C 2=b
Assim, a solução para o perfil de temperaturas na aleta é:
 x=b⋅exp −m⋅x ou T  x−T ∞=T b−T ∞ ⋅exp−m⋅x
ou ainda:
 x T  x −T ∞
=
=exp−m⋅x
b
T b −T ∞
Calor Dissipado em uma
Aleta muito Longa
O fluxo de calor na aleta respeita a igualdade:
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
qdis

Calor que entra
Calor que
pela base por = é dissipado por
Condução
Convecção

'  x

dT
= − k⋅A ⋅
sr
dx


 x
L
x =0
=∫0 h⋅P⋅T

−T ∞  dx
Utilizando o “Calor que entra pela base por Condução”:
qdis =−k⋅Asr '  x=0 sendo que  '  x =−m⋅b⋅exp−m⋅x
Assim:

h⋅P
qdis =−k⋅Asr⋅−m⋅b =k⋅Asr⋅
⋅b = h⋅P⋅k⋅Asr⋅b
k⋅Asr
Aleta com ponta adiabática
x=L  T '  L=0  '  L=0
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 1⋅senh [m⋅ L− x] C
 2⋅cosh [m⋅ L− x ]
usando  x= C
 1⋅cosh [m⋅ L− x ] C
 2⋅senh [m⋅ L− x]}
 '  x=−m⋅{C
 1⋅cosh 0 C
 2⋅senh 0]=−m⋅C
 1 C
 1=0
Assim  '  L=−m⋅[ C
Utilizando a Condição II:
b
 2=
 2⋅cosh m⋅L  C
b = C
cosh m⋅L
A solução final fica:
 x T  x −T ∞ cosh [m⋅ L− x]
=
=
b
T b −T ∞
cosh m⋅L
Calor Dissipado numa
Aleta com ponta adiabática
Novamente o “Calor que entra pela base por Condução” é:
qdis =−k⋅Asr '  x=0
{
b
sendo que  '  x =−m⋅
⋅senh [m⋅ L− x ]
cosh m⋅L
}
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que substituída na equação acima:
 {
b
h⋅P
qdis =k⋅Asr⋅
⋅
⋅senh m⋅L
k⋅Asr cosh m⋅L
}
Rearranjada, esta equação fica:
senh m⋅L
qdis = h⋅P⋅k⋅A sr b
=  h⋅P⋅k⋅A sr b tanh m⋅L
cosh m⋅L
Aleta engastada em outra
parede com temperatura
conhecida
x=L  T  L=T L   L=T L −T ∞= L
 2 = L
 1⋅senh 0C
 2⋅cosh 0  C
usando  x= L=C
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Utilizando a Condição II:
b− L⋅cosh m⋅L
 1⋅senh m⋅L L⋅cosh m⋅L  C
 1=
b = C
senh m⋅L
L
 x 1− L /b⋅cosh m⋅L
=
⋅senh [ m⋅ L− x] ⋅cosh [m⋅ L−x]
b
b
senh m⋅L
ou
 x T  x −T ∞  L / b senh m⋅x senh [m⋅ L− x]
=
=
b
T b −T ∞
senh m⋅L
Fluxo de Calor em
Aleta Engastada
Novamente o “Calor que entra pela base por Condução” é:
qdis =−k⋅Asr '  x=0
{
 L /b cosh m⋅x−cosh [m⋅ L− x]
sendo '  x =m⋅b⋅
senh m⋅L
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que substituída na equação acima:
 {
h⋅P  L /b−cosh m⋅L
qdis =−k⋅Asr⋅
⋅
k⋅A sr
senh m⋅L
}
Rearranjada, esta equação fica:
[
cosh m⋅L− L /b
qdis =  h⋅P⋅k⋅A sr b
senh m⋅L
]
}
Aleta com Convecção na ponta
x=L −k⋅T '  L=h⋅T L −T ∞ −k⋅ '  L=h⋅ L
 1=h⋅C
2  C
 1= h ⋅C
2
 k⋅m⋅C
m⋅k
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Utilizando a Condição II:
[
]
h

b= C 2⋅
senh m⋅Lcosh m⋅L
m⋅k
b
 2=
 C
h /m⋅k senh m⋅Lcosh m⋅L
Assim
 x T  x−T ∞ h/m⋅k ⋅cosh [m⋅ L−x]senh[ m⋅ L−x]
=
=
b
T b−T ∞
h/m⋅k senh m⋅Lcosh m⋅L
Calor Dissipado por
Aleta com Convecção na ponta
Novamente o “Calor que entra pela base por Condução” é:
qdis =−k⋅Asr '  x=0
{
h /m⋅k ⋅cosh [m⋅ L− x]sinh [ m⋅ L− x]
sendo  '  x=−m⋅b⋅
h/m⋅k senh m⋅Lcosh m⋅L
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que substituída na equação acima:
 [
h⋅P h /m⋅k ⋅cosh m⋅Lsinh m⋅L
qdis =k⋅Asr⋅
⋅
k⋅Asr h/m⋅k senh m⋅Lcosh m⋅L
]
e rearranjada, esta equação fica:
qdis =
[
h
⋅cosh m⋅Lsinh m⋅L
m⋅k
h⋅P⋅k⋅A sr b h
⋅senh m⋅Lcosh m⋅L
m⋅k
]
}
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Aproximação Unidimensional
para Condução de Calor
em Superfícies Estendidas
(continuação)
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Efetividade de Aletas
Definição: É a relação entre o calor trocado pela
superfície com a presença da aleta em relação ao
valor sem a sua presença.
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qcom aleta
=
qsem aleta
Para o caso de uma aleta infinita:
h⋅P⋅k⋅A sr⋅b  h⋅P⋅k⋅A sr

=
=
h Asr T
s −T ∞ 

h A sr


k⋅P
=
h Asr
b
Assim sendo ≥1 - indicado 2
Eficiência de uma Aleta
Definição: É a relação entre o calor trocado por
uma aleta real e uma outra hipotética onde a
temperatura é uniforme e igual à da base.
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q real
qdis
=
=
q ideal h⋅Aconv⋅b
e como Aconv =P⋅L as expressões para os casos anteriores fica:
h⋅P⋅k⋅Asr⋅b

aleta infinita: =
=
h⋅P⋅L⋅b

k⋅A sr 1
1
⋅
 =
h⋅P L
m⋅L
h⋅P⋅k⋅A sr⋅b⋅tanh m⋅L

ponta adiabática: =
h⋅P⋅L⋅b
tanh m⋅L
 =
m⋅L
Resistência Térmica
de uma Aleta
Da definição de Resistência térmica:
 T b
R ter =
=
q
q dis
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Usando expressões para o fluxo de calor anteriormente calculadas:
1
aleta infinita: q dis=  h⋅P⋅k⋅A sr⋅b  R ter =
 h⋅P⋅k⋅Asr
ponta adiabática: q dis=  h⋅P⋅k⋅A sr⋅b tanh m⋅L
 R ter =
1
 h⋅P⋅k⋅Asr tanh m⋅L
1
eficiência de uma aleta: q dis =⋅h⋅Aconv⋅b  R ter =
⋅h⋅Aconv
Hipótese de Aleta Infinita
●
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●
●
A hipótese de aleta infinita depende é valida a partir
da seção em que não há mais condução na direção
normal à parede
uma hipótese de teste é comparar o calor dissipado
com uma aleta de ponta adiabática
quando a diferença entre os dois fluxos de calor é
menor que 1%, ela é considerada infinita
2,65
qiso  h⋅P⋅k⋅A sr⋅b⋅tanhm⋅L ∞ 
=
≥0,99  m⋅L ∞ ≥atanh0,99

q∞
 h⋅P⋅k⋅Asr⋅ b
para que uma aleta se comporte como infinita:
2,65
L≥
m
Trabalhando com aletas em
paredes planas largas
●
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●
considere o caso que vai analisar a melhora
na troca de calor por unidade de largura de
uma parede plana
supõe-se que a espessura tem tamanho
desprezível em relação à sua largura, logo:



h⋅2W t 
h⋅P
2⋅h
m=
=
e se W ≫t tem-se m=
k⋅A sr
k⋅W⋅t 
k⋅t
q∞ =  h⋅P⋅k⋅Asr⋅b=  h⋅2 W t ⋅k⋅W⋅t ⋅b e se W ≫t tem-se:

q∞
=q ∞ ' =  2⋅h⋅k⋅t⋅b
W
Comprimento Corrigido
●
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●
●
o comprimento corrigido é um artifício
para se trabalhar com aletas que
apresentam convecção como se
fossem de ponta adiabática
 Lc
desta forma a área da ponta é convertida numa
extensão do seu comprimento  L c.
o comprimento é corrigido de maneira a se obter a
mesma área de troca para aleta:
Asr
A sr = P⋅ L c   L c =
P
Comprimento Corrigido em
Geometrias
Asr ⋅D 2 /4
  Lc= =
P
⋅D
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w
t
Asr
  Lc=
P
W⋅t
se W ≫t tem-se:  L c =
2W t 
D
  Lc=
4
W⋅t
  Lc=
2W t 
t
  Lc=
2
Aletas de Seção Transversal
não Constante
●
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●
●
●
a solução da EDO utilizada não é válida pois
área de seção reta não é constante


d
h

a EDO, neste caso, é:
A sr⋅d
= ⋅P  x ⋅
dx
dx k
ela deve ser resolvida dependendo das
funções A(x) e P(x).
soluções normalmente bastante complexas e,
nestes casos especificamente, é usual se
trabalhar com Gráficos de Rendimento.
Gráfico de Rendimento para
Aletas Circunferenciais
1
R2c /R2c/R1
R1
1
1.5
2
3
4
5
7.5
10
0.9
Rendimento ( )
0.8
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
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
t
2
Lc= R2c −R1
R 2c=R 2 
0.2
0.1
0
0.5
1
1.5
h
Lc^{3/2} sqrt{h/(k Lc t)}
3/ 2
Lc

k⋅Lc⋅t
2
2.5
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Gráficos para Aletas
Triangulares e Parabólicas