Universidade do Estado do Pará
Centro de Ciências Sociais e Educação
Departamento de Matemática, Estatística e Informática
Curso de Licenciatura em Matemática
Stephany Glaucia de Oliveira Paulo
Da Catenária a Trigonometria Hiperbólica
Belém/PA
2014
Stephany Glaucia de Oliveira Paulo
Da Catenária a Trigonometria Hiperbólica
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao
Curso de Licenciatura em Matemática do Centro
de Ciências Sociais e Educação da Universidade
do Estado do Pará, como requisito para obtenção
do título de Licenciado em Matemática orientado
pelo Prof. Dr. Pedro Franco de Sá.
Belém/PA
2014
Dados Internacionais de Catalogação-na-publicação (CIP)
Biblioteca do CCSE/UEPA
Paulo, Stephany Glaucia de Oliveira.
Da catenária a trigonometria hiperbólica /Stephany Glaucia de Oliveira
Paulo; orientador Pedro Franco de Sá, 2014.
Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura Plena em Matemática) –
Universidade do Estado do Pará, Belém, 2014.
1. Matemática - História. 2. Trigonometria hiperbólica. I. Sá, Pedro Franco
de (orientador) II. Título.
CDD 23 ed. 516. 24
Stephany Glaucia de Oliveira Paulo
Da Catenária a Trigonometria Hiperbólica
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao
Curso de Licenciatura em Matemática do Centro
de Ciências Sociais e Educação da Universidade
do Estado do Pará, como requisito para obtenção
do título de Licenciado em Matemática orientado
pelo Prof. Dr. Pedro Franco de Sá.
Data de Aprovação:
Banca Examinadora:
______________________________– Orientador
Prof. Dr. Pedro Franco de Sá
Doutor em Educação
Universidade do Estado do Pará
______________________________
Prof. Carlos Alberto de Miranda Pinheiro
Mestre em Educação
Universidade do Estado do Pará
______________________________
Prof. Antônio Sergio dos Santos Oliveira
Mestre em docência superior
Universidade do Estado do Pará
Dedico este trabalho aos meus pais, João
Edilson da Silva Paulo e Greicy Mara de
Oliveira Paulo pelo amor, compreensão,
amizade, dedicação, carinho e apoio em
todos os momentos da minha vida.
(Stephany Glaucia de Oliveira Paulo)
AGRADECIMENTOS
À Universidade do Estado do Pará – UEPA, pelo oferecimento do Curso de
Licenciatura em Matemática, na qual me encontro em fase de conclusão.
Á Coordenação do Curso de Licenciatura em Matemática pela condução do
curso.
Ao orientador deste trabalho, Prof. Dr. Pedro Franco de Sá, pelas orientações
e colaboração para este trabalho de suma importância.
Aos professores que compõe a banca examinadora, pela participação e
colaboração para o aperfeiçoamento deste trabalho.
Aos meus pais, pelo apoio em meus estudos, na qual me encontro hoje
graças a eles.
Ao Renan Augusto, pelo incentivo neste trabalho e em todos os sentidos da
vida.
Aos colegas do curso de Licenciatura em Matemática turma de 2010, pela
amizade durante esses quatro anos, em especial para o Roger Nepomuceno e José
Guimarães.
Agradeço a Deus, pelas bênçãos concedidas e força para ultrapassar as
barreiras encontradas ao longo do curso.
Obrigada a todos!
Stephany Glaucia de Oliveira Paulo.
i
RESUMO
PAULO, Stephany Glaucia de Oliveira. Da catenária a trigonometria hiperbólica.
2014. 66 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) –
Universidade do Estado do Pará, Belém, 2014.
O presente trabalho apresenta os resultados de uma pesquisa bibliográfica sobre a
história da catenária a trigonometria hiperbólica. O objetivo do estudo foi construir
um texto sobre os precursores que contribuíram para o desenvolvimento do referido
problema. A pesquisa foi desenvolvida por meio do estudo de obras sobre história
da matemática e cálculo. Este trabalho foi dividido em três momentos: O contexto
histórico da catenária a trigonometria hiperbólica, estudo sobre a trigonometria
hiperbólica e a comparação entre as funções hiperbólicas e as funções circulares.
Os resultados apontam que a catenária foi uma curva difícil de ser encontrada, pois
matemáticos achavam que a mesma era uma parábola. Depois de encontrada a
solução correta que pôde se estudar as funções hiperbólicas. A catenária não
contribuiu apenas para a história da matemática, mas também abrangeu a
engenharia e arquitetura, pelas obras como, linhas telefônicas entre dois portes, a
ponte Pênsil, entre outros. A trigonometria hiperbólica contribuiu para o cálculo, na
avaliação de algumas integrais indefinidas, e para a física, quando a função
hiperbólica surge em movimentos vibratórios dentro de sólidos elásticos, mais
principalmente nos caso que a energia mecânica é pouco a pouco absorvida pelo
meio ambiente. Este trabalho poderá servir como ponto de partida para novas
pesquisas nesta área.
Palavras - chave: História da matemática. Catenária. Trigonometria hiperbólica.
ii
ABSTRACT
PAULO, Stephany Glaucia de Oliveira. Da catenária a trigonometria hiperbólica.
2014. 66 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) –
Universidade do Estado do Pará, Belém, 2014.
This paper presents the results of a literature search on the history of the catenary
hyperbolic trigonometry. The aim of the study was to construct a text on precursors
that contributed to the development of this problem. The survey was developed
through the study of works on the history of mathematics and calculus. This work was
divided into three stages: The historical context of the OCL hyperbolic trigonometry,
hyperbolic trig study on the comparison between the hyperbolic functions and circular
functions. The results indicate that the overhead line was found to be a difficult curve
because mathematicians thought that it was a parable. Once you found the correct
solution that was able to study the hyperbolic functions. The OCL not only
contributed to the history of mathematics, but also included the engineering and
architecture, the works as telephone lines between two sizes, the Suspension Bridge,
among others. The hyperbolic trigonometry contributed to the calculation, the
assessment of some indefinite integrals, and physical, when the hyperbolic function
arises in vibratory movements within elastic solids, more particularly in the case that
the mechanical energy is gradually absorbed by the environment. This work could
serve as a starting point for further research in this area.
Key - Word: History of mathematics. Catenary. Hyperbolic trigonometry.
iii
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 01: Galileu Galilei ....................................................................................... 09
FIGURA 02: Capa do livro Sidereus Nuntius de Galileu Galilei ................................ 10
FIGURA 03: Christiaan Huygens .............................................................................. 11
FIGURA 04: Capa da Obra “Sistema Saturnium” de Christiaan Huygens ................ 13
FIGURA 05: Fases do anel de saturno, desenhado por Huygens ............................ 13
FIGURA 06: Capa da Obra “Horologium Oscillatorium” de Christiaan Huygens ...... 14
FIGURA 07: Capa da Obra “Traité de laLumiére” de Christiaan Huygens ............... 14
FIGURA 08: Gottfried Wilhelm Von Leibniz .............................................................. 15
FIGURA 09: Capa da dissertação “de arte combinatória” de Leibniz ....................... 16
FIGURA 10: Jakob e Johann Bernoulli ...................................................................... 17
FIGURA 11: O problema da Catenária ..................................................................... 19
FIGURA 12: Gráfico da catenária ............................................................................. 20
FIGURA 13: Ponte Pênsil ......................................................................................... 22
FIGURA 14: Linhas telefônicas entre dois portes ..................................................... 23
FIGURA 15: Gateway Arch em Saint Louis - Estados Unidos................................... 23
FIGURA 16: Dulles Internacional Airport - Estados Unidos ...................................... 23
FIGURA 17: Vincenzo Riccati ................................................................................... 24
FIGURA 18: Livro de Vincenzo Riccati ...................................................................... 25
FIGURA 19: Os gráficos de senh x e cosh x ............................................................ 26
FIGURA 20: A Hipérbole .......................................................................................... 28
FIGURA 21: Funções trigonométricas hiperbólicas ................................................... 29
FIGURA 22: Função seno e cosseno de α hiperbólico na hipérbole ........................ 30
FIGURA 23: Gráfico da função seno hiperbólico de x .............................................. 31
FIGURA 24: Gráfico da função inversa seno hiperbólico de x ................................. 36
FIGURA 25: Gráfico da função cosseno hiperbólico de x ........................................ 37
FIGURA 26: Gráfico da função inversa cosseno hiperbólico de x ............................ 42
FIGURA 27: Gráfico da função tangente hiperbólica de x ........................................ 43
FIGURA 28: Gráfico da função inversa tangente hiperbólica de x ........................... 45
FIGURA 29: Gráfico da função cotangente hiperbólica de x .................................... 47
FIGURA 30: Gráfico da função inversa cotangente hiperbólica de x ....................... 47
FIGURA 31: Gráfico da função secante hiperbólica de x ......................................... 49
FIGURA 32: Gráfico da função inversa secante hiperbólica de x ............................. 49
iv
FIGURA 33: Gráfico da função cossecante hiperbólico de x .................................... 50
FIGURA 34: Gráfico da função inversa cossecante hiperbólica de x ....................... 51
FIGURA 35: Gráfico das funções seno circular e seno hiperbólico .......................... 57
FIGURA 36: Gráfico das funções cosseno circular e cosseno hiperbólico ............... 57
FIGURA 37: Gráfico das funções tangente circular e tangente hiperbólico .............. 57
FIGURA 38: Gráfico das funções cotangente circular e cotangente hiperbólica ...... 58
FIGURA 39: Gráfico das funções secante circular e secante hiperbólica ................ 58
FIGURA 40: Gráfico das funções cossecante circular e cossecante hiperbólica ...... 58
v
LISTA DE QUADROS
QUADRO 01: Relações fundamentais e originadas da trigonometria hiperbólica e
circular ....................................................................................................................... 53
QUADRO 02: Funções da trigonometria hiperbólica e circular ................................. 54
QUADRO 03: Operações com arcos das funções na trigonometria hiperbólica e
circular ....................................................................................................................... 54
QUADRO 04: Equações dos arcos duplos e triplos das funções hiperbólicas e
circulares ................................................................................................................... 55
QUADRO 05: Equações do arco metade das funções hiperbólicas e circulares ...... 55
QUADRO 06: Equações de transformação em produto das funções hiperbólicas e
circulares ................................................................................................................... 56
vi
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO .................................................................................................... 07
2. CONTEXTO HISTÓRICO..................................................................................... 09
2.1. Precursores da catenária .................................................................................. 09
2.2. A catenária ........................................................................................................ 19
2.3. Precursor da trigonometria hiperbólica ............................................................... 24
2.4. Trigonometria hiperbólica .................................................................................. 26
3. A HIPÉRBOLE ..................................................................................................... 28
3.1. Funções trigonométricas hiperbólicas .............................................................. 29
3.1.1. Seno hiperbólico ............................................................................................. 31
3.1.2. Cosseno hiperbólico ....................................................................................... 36
3.1.3. Tangente hiperbólica ...................................................................................... 42
3.1.4. Cotangente hiperbólica ......................................................................................... 46
3.1.5. Secante hiperbólica ....................................................................................... 48
3.1.6. Cossecante hiperbólica ................................................................................. 50
3.1.7. Identidades hiperbólicas fundamentais .......................................................... 52
4.
COMPARAÇÃO
DA
TRIGONOMETRIA
HIPERBÓLICA
PARA
A
TRIGONOMETRIA CIRCULAR ............................................................................... 53
4.1. Comparação das fórmulas entre funções trigonometricas hiperbolicas e
trigonometricas circulares......................................................................................... 53
4.2. Comparação dos gráficos das funções trigonométricas hiperbólicas e
trigonométricas circulares.......................................................................................... 56
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................. 59
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 60
7
1.
INTRODUÇÃO
Antigamente incentivava-se a competição entre os matemáticos por meio de
problemas propostos por eles mesmos, para comprovar quem seria o mais sábio,
como o problema de mecânica cujo nome Braquistócrona, proposto em 1696, que
obteve cinco soluções corretas, por Newton, Leibniz, L’Hospital, Jakob Bernoulli e
Johann Bernoulli. Essas competições eram comum na família Bernoulli.
Neste sentido, outro problema proposto foi o da catenária. Problema este, que
alguns matemáticos não encontravam a curva correta por imagina-la como uma
parábola.
O problema da catenária solicita encontrar a curva formada por um fio
suspenso por dois pontos e submetido à ação da gravidade, proposto por Galileu
Galilei, em 1646, que pensava ser uma parábola. 44 anos depois, este problema foi
proposto novamente pelo Jakob Bernoulli, que também achava que a curva era uma
parábola, na qual o problema obteve três soluções corretas, por Johann Bernoulli,
Leibniz e Huygens.
Atualmente a catenária serve pra a engenharia e arquitetura, na construção
de várias obras, como a linha telefônica entre dois portes, a Ponte Persil, o
aeroporto internacional dos Estados Unidos, entre outros. Explicado mais
detalhadamente no decorrer do trabalho.
Após o surgimento dessa nova curva, a catenária, estudos foram levantados
sobre a trigonometria hiperbólica, que foi introduzida pelo jesuíta Vincenzo Riccati.
Pois sua curva coincide com a função cosseno hiperbólico.
A função cosseno hiperbólico é descrito por Refatti e Beltrame (2004, p. 142)
“A função cosseno hiperbólico pode ser usada para descrever a forma de um cabo
ou corrente flexível, uniforme, cujas extremidades estão fixas a uma mesma altura”.
As funções hiperbólicas são úteis na avaliação de algumas integrais
indefinidas e na física. Segundo Anton, Bivens e Davis (2007, p. 497) Na física, a
função hiperbólica surge em movimentos vibratórios dentro de sólidos elásticos,
mais especialmente nos casos que a energia mecânica é pouco a pouco absorvida
pelo meio ambiente.
Segundo Refatti e Beltrame (2004, p. 139) Essas funções têm muitas
características em comum com as funções trigonométricas.
8
As autoras relatam sobre a paridade das propriedades em comum nas
funções hiperbólicas e funções trigonométricas circulares, devido à equação da
hipérbole se assemelhar a equação da circunferência, respectivamente, x² - y² = 1 e
x² + y² = 1.
O objetivo do estudo foi construir um texto sobre os precursores que
contribuíram para o desenvolvimento da catenária e da trigonometria hiperbólica, de
modo a incentivar pesquisas nesta área. A pesquisa foi desenvolvida por meio do
estudo de obras sobre história da matemática e cálculo.
Neste sentido apresentamos a seguir a primeira sessão relatando o contexto
histórico, posteriormente exibimos algumas propriedades das funções hiperbólicas e
por fim comparamos as características das funções trigonométricas hiperbólica com
as funções trigonométricas circulares.
9
2.
CONTEXTO HISTÓRICO
2.1. PRECURSORES DA CATENÁRIA
Na matemática existem grandes personagens, que lutavam para alcançar a
solução de algum problema, pela necessidade em que o cotidiano os colocava ou
pelo simples fato de resolver por disputa. Isso aconteceu com o problema da
catenária, que contou com a participação de Galileu Galilei, Christiaan Huygens,
Leibniz, Jakob Bernoulli e Johann Bernoulli.
Galileu Galilei
Figura 01: Galileu Galilei
Fonte: http://www.infoescola.com/biografias/galileu-galilei/
Galileu
Galilei
nasceu
na
Itália,
em
1564,
filho
mais
velho
de
Alaudista Vincenzo Galilei e de Giulia Ammannati. Considerado um grande
astrônomo, matemático e físico dos séculos XVI e XVII. Galilei durante seu estudo
contestava as afirmações de Aristóteles, principalmente que a terra era o centro do
universo e que corpos leves e pesados caiam em velocidades diferentes.
Segundo o site sua pesquisa, Galilei afirmou que o sol é o centro do universo.
Esse descobrimento se deu pela informação da construção do primeiro telescópio na
Holanda. Assim, ele construiu a primeira luneta astronômica e pode observar a
composição estelar da via Láctea, os satélites de Júpiter, as machas do sol e as
fases de Vênus, e registrou tudo no seu livro Sidereus Nuntius (figura 02), que
10
significa Mensageiro das estrelas, em 1610. Através das fases de Vênus, que ele
pode perceber o Helíocentrismo.
Figura 02: Capa do livro Sidereus Nuntius de Galileu Galilei publicado em 1610.
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Sidereus_Nuncius_1610.Galileo.jpg
Segundo o site sua pesquisa, Galileu Galilei foi considerado herege, devido
sua afirmação sobre o helíocentrismo. Sendo obrigado a assinar um decreto do
tribunal da aquisição, na Roma, em 1611. Onde alegava que sua descoberta era
apenas uma hipótese. Mas em 1632 voltou a defender ideia do sistema heliocêntrico
e continuou os seus estudos.
Outra afirmação de Aristóteles que Galilei contestou foi a dos corpos leves e
pesados. Na qual Aristóteles defendia que os corpos leves e pesados caiam em
velocidades diferentes. Mas Galilei disse que não, que esses corpos caiam em
velocidades iguais. A partir dai introduziu a lei dos corpos e enunciou a o principio da
inércia.
Em 1642, Galileu Galilei faleceu, mas deixou seus estudos e contribuições na
física e da astronomia para todos.
11
Christiaan Huygens
Figura 03: Christiaan Huygens
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Christiaan_Huygens
Christiaan Huygens nasceu no dia 14 de abril de 1629, na cidade de Haia,
Holanda. Filho de Constantijn Huygens (1596 – 1687). Seu pai foi poeta, latinista e
matemático, um homem muito considerado na época, no qual sua casa era visitada
por grandes poetas, pintores e filósofos, um deles era René Descartes (1590 –
1650). Os primeiros empenhos em geometria de Christiaan Huygens Deixaram
Descartes muito admirado, que influenciou Huygens na sua formação matemática.
Segundo Uzênda (2011, p. 8) Huygens ingressou na Universidade de Leiden
em 1645, onde estudou direito e matemática, e permaneceu até 1647. Persistindo
em seus estudos de 1647 a 1649, na cidade de Brenda, Holanda.
Durante seus estudos, teve professores muito talentosos, por influência de
seu pai, Christiaan estabeleceu ligação com Marin Mersenne (1588 – 1648). Que por
sua vez propôs a ele, Segundo Uzêda (2011, p. 8), “encontrar a forma de uma corda
com distribuição de massa homogênea presa em seus extremos e sob a ação da
gravidade”. Além de resolver este problema, solucionou outro proposto por Galileu
Galilei.
Terminando seus estudos em Brenda, continuou contribuindo com suas
descobertas e publicando em suas obras. Suas publicações iniciaram em 1651 com
a obra “cyclometriae”, neste trabalho, segundo Uzêda (2011, p. 8) “Huygens mostrou
que os argumentos utilizados pelo jesuíta Grégoire de Saint - Vincent (1584-1667)
para construir um quadrado com a mesma área de um circulo (usando apenas régua
12
e compasso) eram falaciosos”. Seu próximo trabalho foi “De Circuli Magnitudi ne
Inventa” publicado em 1654, abordava o mesmo tema do anterior, Porém com mais
detalhes. Huygens em sua ida para Paris, em 1655, conheceu Blaise Pascal (16231662) e Pierre de Fermat (1601-1665) que seus estudos foram influenciadores para
o primeiro trabalho sobre teoria da probabilidade, publicado em 1657, na obra “De
ratiociniis in ludialeae”, que significa “Do cálculo no jogo de azar”.
Huygens não parou por ai, em 1658, publicou ainda um artigo titulado
“Horolorium”, que constitui dos resultados de seus estudos em física, no qual
descreveu a aplicação de um pêndulo na construção do primeiro relógio de pêndulo
do mundo. Sendo que esse assunto já havia sido investigado por Galileu Galilei
(1564 – 1642), foi o que inspirou Huygens.
Além de sua contribuição, como inventor do relógio de pêndulo, colaborou
para a astronomia, junto a seu irmão Constantijn. Em 1654, desenvolveu uma nova
maneira de polir lentes, construindo assim com o telescópio mais avançado da
época. Na qual, enquanto o telescópio desenvolvido por Galileu aumentava por volta
de 20 vezes o de Huygens majorava perto de 90 vezes. Assim, Huygens descobriu
uma lua de saturno e a batizou de Titan, que foi sua maior descoberta na
astronomia. Vários outros fatos ele foi descobrindo, a partir do telescópio. Conforme
Uzêda:
Foi Huygens o primeiro a perceber que, na verdade, havia um anel
em torno de Saturno que não o tocava em nenhum ponto. As
primeiras descobertas relativas à Saturno, feitas em 1655, foram
publicadas inicialmente em 1656, em um pequeno trabalho intitulado
“De Saturni luna observato nova”. (Uzêda, 2011, p. 13)
Porem ele não publicou os resultados do anel de saturno, devido a um
conselho de Johannes Capellanus que o convenceu a não publicar se não estivesse
inteiramente certo.
Posteriormente, Huygens divulgou o resultado dito anteriormente em sua obra
“Sistema Saturnium” (Figura 04), publicado em 1659.
13
Figura 04: Capa da Obra “Sistema Saturnium” de Christiaan Huygens, publicada em 1659.
Fonte: Uzêda (2011, p. 14)
Nessa obra ele explica que “Saturno é rodeado por um anel tênue, plano, que
nele não toca e que está inclinado para a eclíptica” (Uzêda, 2011, p. 24).
Figura 05: Fases do anel de saturno, desenhado por Huygens.
Fonte: Uzêda (2011, p. 15)
Em 1673, Huygens publica mais uma obra titulada “Horologium oscillatorium
sive do motu pendulorum ad horologia aptato demostrationes geometriae” (Figura
06) que significa Relógio de pêndulo, ou demonstrações geométricas do movimento
pendular aplicado a relógios, considerado o seu melhor trabalho. Na qual apresenta
uma descrição do relógio de pêndulo.
14
Figura 06: Capa da Obra “Horologium Oscillatorium” de Christiaan Huygens, publicada em 1673.
Fonte: Uzêda (2011, p. 18)
No mesmo ano da publicação da obra dita anteriormente, ele começou a
investigar sobre sua teoria ondulatória da luz. Em 1681, apresentou sua teoria da
gravitação para Real Academia de Londres, Que foi publicado somente em 1690.
Em 1690, Huygens publica sua obra “Traité de la Lumiére”, abordava seus
estudos e resultados em ótica. Na qual Newton publicou sua versão, em 1704, na
sua obra “Optika”. Duas obras muito importante para aquela época.
Figura 07: Capa da Obra “Traité de la Lumiére” de Christiaan Huygens, publicada em 1690.
Fonte: Uzêda (2011, p. 22)
Huygens fez seu ultimo trabalho sobre relógio em 1693, Faleceu em 1695 em
sua cidade de origem. Escreveu também um livro relatando sobre vida terrestre, mas
15
só foi publicado em 1698, intitulado “Conjecturas a Respeito de Mundos Planetários,
seus Habitantes e Produções”. Ele Contribui não apenas nas áreas da matemática,
física e astronomia, mas também na música.
Leibniz
Figura 08: Gottfried Wilhelm Von Leibniz
Fonte: http://www.infoescola.com/biografias/gottfried-leibniz/
Gottfried Wilhelm Von Leibniz foi filósofo, cientista, matemático e diplomata.
Nasceu em Leipzig, Alemanha, no dia 1 de julho de 1646, veio de uma família
luterana. Seu pai, Friedrich Leibniz, que era professor de filosofia moral em Leipzig,
morreu em 1712, quando Leibniz tinha apenas seis anos, Segundo Santos, Pedro
Neto e Silva (2007, p. 6) Leibniz herdou de seu pai “uma vasta biblioteca.
Aparentemente, foi com recurso a estes livros que Leibniz aprendeu, aos 12 anos,
Latim e Grego a um nível superior ao que era ministrado na escola, tendo-se tornado
um leitor obsessivo para toda a vida”.
Segundo Santos, Pedro Neto e Silva (2007, p. 7) Leibniz aos quinze anos
ingressou na Universidade de Leipzig e aos dezessete anos possuiu seu diploma de
bacharel em direito. Leibniz quando tinha vinte anos de idade, receberia o titulo de
doutor em direito, mas foi recusado a ele por ser muito novo. Portanto, saiu de
Leipzig e foi adquirir o grau de doutor em direito em Nuremberg, pela universidade
de Altdorf.
Ele introduziu, em sua dissertação “De arte combinatória” (figura 09), as leis
do pensamento, que é assunto de análise combinatória, no qual estabeleceu
16
um modelo que é o antecessor teórico de computação moderna, defende que tudo é
redutível a uma combinação ordenada de elementos. Sempre buscando a
Characteristica Universalis, que reduz o pensamento a combinação a uma forma
algébrica.
Figura 09: Capa da dissertação “de arte combinatória” de Leibniz publicado em 1666.
Fonte: Santos, Pedro Neto e Silva (2007, p. 7)
Segundo Santos, Pedro Neto e Silva (2007, p. 8) Após receber seu titulo de
doutor, Leibniz recusou um cargo acadêmico na Universidade e se dedicou à
diplomacia. No qual teve que viajar muito para a Europa concedendo a oportunidade
de conhecer os melhores cientistas e filósofos daquela época.
Para Santos, Pedro Neto e Silva (2007, p. 9) Leibniz deslocou-se a Paris, em
1672, com o intuito de persuadir Luiz XIV a invadir o Egito. Porem seu objetivo não
foi bem sucedido inicialmente. Mesmo assim, em Paris teve oportunidade de estudar
física e matemática com Christian Huygens, que foi seu orientador. Nesta mesma
época foi admitido na Academia de ciência de Paris.
Em 1673, Segundo Santos, Pedro Neto e Silva (2007, p. 9) Leibniz viajou
para Londres, no qual apresentou na Real Academia de ciências a sua maquina de
calcular, ainda em construção. Que servia para somar, subtrair, multiplicar e dividir.
Após apresentar sua maquina de calcular, Leibniz se tornou membro na Real
Academia de ciências. Que proporcionou seu primeiro contato com os trabalhos de
Isaac Newton.
Outras contribuições de Leibniz para a matemática foi o desenvolvimento de
base numeração binária e o Calculo Infinitesimal.
Em relação ao calculo infinitesimal, Segundo Santos, Pedro Neto e Silva
(2007, p. 13) Leibniz publicou a sua versão em 1684, porém Newton desenvolveu o
17
seu em 1671, mas sem publicar. Essa situação gerou uma polemica que acarretou
em partidários de ambos.
Segundo Santos, Pedro Neto e Silva (2007, p. 13) “A classe inglesa uniu-se
em apoio a Newton, a continental Apoiou Maioritariamente Leibniz”.
As ideias de Newton e Leibniz em relação ao cálculo, aparentemente, foram
independentemente desenvolvidas, devido estas ser apresentadas de forma
diferente, apesar de se tratar de uma mesma teoria.
Diz-se que Leibniz morreu em Hanover, em 1716, amargurado devido à
disputa acerca da invenção do Cálculo.
Irmãos Bernoulli (Jakob Bernoulli – Johann Bernoulli)
Figura 10: Jakob e Johann Bernoulli
Fonte: http://www.biografiasyvidas.com/biografia/b/bernoulli.htm
Na família Bernoulli três se destacou dentre os demais, que são eles, os
irmãos Jakob e Johann, e o segundo filho de Johann, Daniel. Sendo que o primeiro
a se destacar na matemática foi Jakob.
Jakob Bernoulli nasceu, em 1654, na cidade de Basiléia, Suíça. Em 1671, se
formou em filosofia pela universidade de Basiléia. Seguindo assim, na área de
matemática, física e astronomia. Ele Viajou e encontrou com os fundamentais
cientistas da sua época, como, Robert Hooke (1635 – 1703) e Robert Boyle (1627 –
1691). Em 1684, retornou a sua cidade de origem e assumiu um cargo de professor
na Universidade da Basiléia, e lá permaneceu até o dia de sua morte, em 1705.
Johann Bernoulli, irmão mais novo de Jakob, nasceu em 1667, na cidade de
Basiléia, Suíça. Primeiramente estudou medicina, mas logo se interessou por
18
matemática como o seu irmão. Em 1683, foi morar com Jakob, onde os dois
seguiram suas carreiras juntos.
Segundo Maor (2003, p. 153) os irmãos Bernoulli queriam seguir a área do
cálculo, mas naquela época era difícil dominar tal conteúdo, pois não haviam livros
publicados sobre o mesmo. Mas os dois tinham correspondência com Leibniz,
portanto não foi tão difícil aprenderem. Logo quando dominaram o cálculo, decidiram
transmitir seus conhecimentos a partir de aulas particulares.
Guillaume François Antoine de L’Hospital (1661 – 1704), que escreveu o
primeiro livro sobre cálculo titulado de “Analyse dês infinimentpetits”, foi um dos
alunos de Johann. Neste livro L’Hospital, de acordo com Maor (2003, p. 153)
“Apresentou uma regra para calcular expressões indeterminadas da forma 0/0”,
conhecida como “Regra de L’Hospital. Na verdade quem descobriu essa regra foi
Johann, mas quando foi lecionar para L’Hospital assinou um contrato no qual
relatava que todas as suas descobertas pertenceria a L’Hospital.
Em 1696, Johann propôs um problema de mecânica para os matemáticos
mais inteligentes do mundo e deu 6 meses para que pudessem resolver, isso fez
aumentar ainda mais a rivalidade com seu irmão Jakob. Esse problema é conhecido
como Braquistócrona, significa tempos curtos. Foram apresentadas cinco soluções
corretas, por Newton, Leibniz, L’Hospital e os dois irmãos Bernoulli.
Johann e Jakob Apresentaram cálculos diferente, na qual Johann utilizou a
física para tal resultado, já Jakob usou a matemática. A resolução de Jakob explorou
um ramo novo da matemática desenvolvido por ele, conhecido como o calculo da
variação. A resolução de Johann apesar de esta correta utilizou uma derivação
errada, que mais tarde ele apresentou a resolução de Jakob como sua.
Johann que era professor da universidade de Groningen, na Holanda.
Quando Jakob morreu, ele assumiu o seu cargo de professor na universidade de
Basiléia. Johann faleceu em 1748.
Durante todo esse processo os Bernoullis, apesar da rivalidade, contribuíram
bastante para todo campo da matemática, fundaram a teoria da probabilidade e o
calculo das variações, e da física.
19
2.2. A CATENÁRIA
O problema de encontrar a curva formada por um fio suspenso entre dois
pontos e submetido à ação da gravidade (Figura 11) foi inicialmente proposto por
Galileu Galilei, que presumiu que a curva era uma parábola. Mas, em 1646, um
cientista holandês chamado Christian Huygens, provou que está curva não poderia
ser uma parábola, isso quando ele tinha dezessete anos de idade. No entanto não
tinha ideia de como encontrar a curva certa.
Figura 11: O problema da Catenária
Fonte: Maor (2003, p. 184)
Em maio de 1690, foi proposto novamente por Jakob Bernoulli, no jornal de
Leibniz, chamado de Acta eruditorum. Na qual o problema proposto foi escrito da
seguinte forma: “E agora vamos propor este problema: encontrar a curva formada
por um fio pendente, livremente suspenso a partir de dois pontos fixos”. (MAOR,
2003, p. 183). Um problema muito notado naquela época, que criou discórdia entre
os irmãos Jakob Bernoulli e Johann Bernoulli.
O problema obteve três resoluções com a mesma solução. Por Huygens,
Leibniz e Johann Bernoulli. As resoluções foram publicadas no Acta em 1691, um
ano depois de o problema ter sido proposto.
Segundo Maor (2003, p. 184) A resolução de Huygens foi pelo método
geométrico, de Leibniz e Johann era analítico. Mas todos com mesma solução para
o problema.
20
Esta curva foi batizada de catenária por Leibniz, no qual sugeriu que a
catenária poderia ser utilizada nos cálculos dos logaritmos. Segundo Talavera (2008,
p. 43) “A descoberta da equação da catenária pode ser considerada como uma
importante solução dos problemas desafiadores da história do calculo”.
A definição da catenária Segundo Maor (2003, p. 185):
A catenária revelou-se a curva cuja equação, na notação
moderna, é y = (eax+ e-ax)/ 2a, onde a é uma constante cujo valor
depende dos parâmetros físicos da corrente – sua densidade linear
(massa por unidade de comprimento) e a tensão com a qual ela é
segura. (Maor, 2003, p. 185).
A equação da catenária conveio para cálculos desafiadores na matemática,
como os do cálculo diferencial, além de ser uma grande influência para o surgimento
das funções hiperbólicas.
A formalização matemática da catenária
Atualmente, a catenária é descrita da forma y =
(
+
) na qual sua
demonstração encontrasse abaixo. Demonstração esta localizada na obra de
Simmons (1987, p. 611).
Figura 12: Gráfico da catenária
Fonte: Simmons (1987, p. 611)
Pode obter a diferenciação da catenária quando a parte da corrente entre o
ponto mais baixo e (x, y) está em equilíbrio estático sob a ação de três forças: a
tensão
no ponto mais baixo, a tensão variável T em (x, y) que age na direção da
21
tangente devido à flexibilidade do fio e uma força para baixo
igual ao peso do fio
entre esses pontos. Seja s o comprimento do arco entre esse ponto e um ponto
variável (x, y) e seja
a densidade linear (peso por unidade de comprimento) do
fio.
Igualando o membro horizontal de T a
e o membro vertical de T ao peso da
corrente, temos,
e
Dividindo um pelo outro, o T é eliminado e obtém
= s, onde
que é igual a,
=
Assim, eliminando a variável s e derivando em relação à x, temos,
= √
=
( )
(1)
A equação (1) encontrada é a equação diferencial da catenária.
Determinando agora a equação (1) por integrações sucessivas. Esse
procedimento é promovido pela entrada da variável auxiliar p=
. Substituindo-se
em (1) teremos,
= √
Obtemos a equação abaixo, separando as variáveis e as integrando,
∫√
Substituindo p = tg
e√
=∫
(2)
no primeiro membro da igualdade, obtemos dp = sec² d
= sec . Assim,
∫√
=∫
=∫
+ tg ) = ln (√
= ln (
+ p).
Logo a equação (2) se transforma em
+ p) =
(√
.
Se x = 0, logo p = 0, portanto = 0; Assim,
(√
+ p) =
Resolvendo a equação em p. Teremos:
=p= (
+
),
22
Integrando ambos os membros, temos:
(
y=
+
)+
.
Se Colocarmos equação anterior na origem do sistema de coordenadas no
ponto (0, ), como mostra a (figura 12), a equação adota sua forma final,
y=
(
+
)
(3)
A equação (3) revela a natureza matemática precisa da catenária e pode ser
usada como base para posteriores investigações de suas propriedades.
Utilização da catenária
Na arquitetura e engenharia civil, a forma da catenária serviu para a
construção de muitas obras, como ponte pênsil (figura 13), as linhas telefônicas
entre dois portes (figura 14), Gateway Arch em Saint Louis no Estados Unidos
(figura 15), Dulles International Airport no Estados Unidos (figura 16), entre outros.
Figura 13: Ponte Pênsil.
Fonte:http://guiadolitoral.uol.com.br/sao_vicente-2633_2009.html
23
Figura 14: Linhas telefônicas entre dois portes
Fonte: Refatti e Beltrame (2004, p.156)
Figura 15: Gateway Arch em Saint Louis - Estados Unidos. (Catenária invertida)
Fonte: www.cultura.sp.gov.br
Figura 16: Dulles International Airport - Estados Unidos
Fonte: www.cultura.sp.gov.br
24
2.3. PRECURSOR DA TRIGONOMETRIA HIPERBÓLICA
A curva chamada catenária foi de grande importância para os estudos sobre a
trigonometria hiperbólica, devido ao fato de que o gráfico da função cosseno
hiperbólico ser análogo à curva da catenária. Estas funções hiperbólicas foram
introduzidas por Vincenzo Riccati.
Vincenzo Riccati
Figura 17: Vincenzo Riccati
Fonte: http://mathematica.sns.it/autori/1372/
Vincenzo Riccati nasceu, em 1707, na cidade Treviso, Itália. Filho de Jacopo
Riccati e Elisabetta dei Conti d'Onigo. A educação de Vincenzo se restringiu em
casa, só quando completou 10 anos de idade foi estudar no Colégio Jesuíta de San
Francesco Saverio em Bolonha, no qual pode aprender matemática e filosofia.
Segundo O´Connor e Robertson (2012) Vincenzo lecionou literatura no
colégio dos Jesuítas em Piacenza, em 1728. Depois de um ano, foi lecionar no
colégio de Pádua, posteriormente tornou-se professor de literatura, italiano e latim
no colégio de Santa Caterina em Parma, em 1734. Retornando a Bolonha, em 1739,
na qual lecionou matemática no colégio de San Francesco Saverio e no colégio
Santa Lucia, Permanecendo por 30 anos.
25
De acordo com O´Connor e Robertson (2012) Vincenzo Riccati deu
continuidade ao trabalho de seu pai sobre integração e equações diferenciais, na
qual Giorgio Bagni comentou:
A partir de uma primeira comparação entre as obras de Vincenzo
Riccati e aqueles de seu pai Jacopo, algumas diferenças entre o
caráter científico dos dois estudiosos emerge claramente: comparar o
estilo versátil, normalmente enciclopédica, de Jacopo, com os
interesses da Vincenzo que parecem ser concentrados em ciência e
da física matemática. Campo favorito de Vincenzo de pesquisa é a
análise, em particular, que estabelece o tratamento analítico de
problemas mecânicos, conduzidos por resolver equações
diferenciais, de construção adequada. (O´Connor e Robertson, 2012,
p. 1)
Vincenzo Riccati publicou o livro “De usu motus tractorii in constructione A
equationum Differentialium Commentarius” (figura 18) publicado em 1752. Na qual,
colaborou com métodos para solucionar certos tipos equações diferenciais.
Figura 18: Livro de Vincenzo Riccati, publicado em 1752.
Fonte: http://it.wikipedia.org/wiki/Vincenzo_Riccati
Neste livro ele se baseia nos trabalhos de Euler, que o inspirou para os
métodos para solucionar as equações diferenciais.
Segundo O´Connor e Robertson (2012) Vincenzo começou a estudar as
funções hiperbólicas, na qual culminou no seu próximo livro “Opusculorum ad res
physic a setmathematicas pertinentium (1757-1762)”. Posteriormente, publicou o
livro “Institutiones Analyticae ” juntamente com Girolamo Saladini (1731-1813), em
1765 foi publicado volume 1 e em 1767 o volume 2. Este livro relata as fórmulas de
adição e subtração das funções hiperbólicas.
Em 1775, Vincenzo faleceu em sua cidade natal, na qual foi enterrado ao lado
de seu pai, no tumulo da família na catedral.
26
2.4. TRIGONOMETRIA HIPERBÓLICA
De acordo com Maor (2003, p. 187) O jesuíta Italiano Vincenzo Riccati (1707
– 1775) notou que a equação da catenária y = (eax+ e-ax)/2a, considerando a
constante a = 1, a tal equação é:
(4)
y=
A partir da quarta equação, pode-se supor uma quinta equação:
(5)
y=
Sendo que se essas equações consideradas como funções de x, apresentam
algumas semelhanças com as funções circulares cos x e sen x da trigonometria
circular.
Segundo Maor (2003, p.188) Riccati introduziu, em 1757, a notação Ch x e Sh
x para essas funções:
Ch x =
·
Sh x =
.
(6)
Ele demonstrou que elas satisfazem a identidade (Ch𝜑)² - (Snh𝜑)² = 1, que
deriva da equação da hipérbole x² - y² = 1, e é semelhante à identidade
trigonométrica (cos 𝜑)² + (sen𝜑)² = 1, que deriva da equação do circulo unitário x² +
y² = 1. Onde a letra 𝜑 nas funções hiperbólicas não exerce um papel de ângulo,
assim como no caso das funções circulares.
As notações de Riccati hoje são conhecidas como cosh x “cosseno
hiperbólico de x” e senh x “seno hiperbólico de x”
Figura 19: Os gráficos de senh x e cosh x
Fonte: Maor (2003, p. 188)
27
A maioria das fórmulas usadas na trigonometria circular é análoga às da
hiperbólica. Nem todas vão ser, pois a trigonometria circular é referente ao circulo
unitário enquanto a hiperbólica é alusiva à hipérbole, na qual o circulo é uma curva
fechada e periódica, onde se repete a cada 2π, diferentemente da hipérbole.
As funções hiperbólicas, devido não ser periódica no conjunto dos números
reais, tem pouca aplicação na matemática. Porem elas são úteis na avaliação de
algumas integrais indefinidas.
Segundo Anton, Bivens e Davis (2007, p. 497) Na física, a função hiperbólica
surge em movimentos vibratórios dentro de sólidos elásticos, mais especialmente
nos caso que a energia mecânica é pouco a pouco absorvida pelo meio ambiente.
28
3.
A HIPÉRBOLE
Está sessão apresenta uma adaptação do trabalho de Pino G. (2013, p. 1-31)
tradução nossa. Que define a hipérbole como:
O lugar geométrico dos pontos P de um plano cuja diferença das distâncias
dos pontos fixos é constante e igual a 2a, os pontos fixos se chamam foco.
Figura 20: A Hipérbole
Fonte: Pino G. (2012, p. 1)
0: Centro
Excentricidade: e =
V, V’: Vértices
=
√
F(c, 0), F’ (-c, 0): Focos
̅̅̅̅̅̅, ̅̅̅̅̅: Assíntotas
Distância do centro ao foco: √
̅̅̅̅̅: Eixo transversal: 2a
Diferença das distâncias de um ponto sobre a
hipérbole dos focos: 2a
̅̅̅̅: Eixo conjugado = 2b ̅̅̅̅ , ̅̅̅̅̅: Lados retos.
Equação da hipérbole com centro na origem:
=1
(7)
Assíntotas: ± .
Equação da hipérbole se o eixo maior coincide com o eixo Y:
=1
(8)
29
Assíntotas: ± .
Equação da hipérbole, com centro (h, k) y eixo transversal paralelo ao eixo X:
(9)
=1
Assíntotas: ± .
Equação da hipérbole, com centro (h, k) y eixo transversal paralelo ao eixo Y:
=1
(10)
Assíntotas: ± .
Forma geral da equação de uma hipérbole quando os eixos são paralelos aos
eixos coordenados:
Ax² + cy² + Dx + Ey + F = 0, AC < 0.
(11)
Para uma hiperbole equilatera ou retangular: a = b = 1; e = √ .
As assíntotas são perpendiculares
3.1. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS HIPERBÓLICAS
Em muitas aplicações de analise matemática se encontram combinações das
funções exponenciais do tipo: y =
, y=
; Tais combinações se consideram
como novas funções y se designam:
Cosh α =
; senh α =
Figura 21: Funções trigonométricas hiperbólicas
Fonte: Pino G. (2012, p. 4).
30
As expressões x² - y² = 1 é a equação da hipérbole retangular ou equilátera,
para a qual as assíntotas são perpendiculares e a longitude desde o centro da
hipérbole a seu vértice é igual à longitude media de seu eixo menor (a = b = 1).
x = coshα
y = senhα
São as equações paramétricas da hipérbole x² - y² = 1.
Das definições de senhα e cosh α, se deduz que,
coshα + senhα =
e
coshα - senhα =
Demonstração:
coshα + senhα =
coshα - senhα =
+
–
–
=
=
–
=
–
=
Figura 22: Função seno e cosseno de α hiperbólico na hipérbole
Fonte: Pino G. (2012, p. 5)
{(x, y): x² - y² = 1}
Multiplicando membro a membro ambas as igualdades:
(cosh α + senhα) (cosh α - senhα) =
= 1.
31
Das definições de senhα e coshα igualmente se pode deduzir que senh 0 = 0
e cosh 0 = 1.
3.1.1. SENO HIPERBÓLICO
A aplicação y = senh x é um homomorfismo estreitamente crescente de
em
.
y = senh x =
–
Dominio da função: (-∞, + ∞).
Imagem da função:(-∞, + ∞).
Figura 23: Gráfico da função seno hiperbólico de x
Fonte: Pino G. (2012, p. 8)
Dizemos que uma função é par se ao substituir x por –x, se cumpre que f (x) =
f (-x). E uma função y = f (x) é impar se ao substituir x por –x, se cumpre que f (–x) =
- f (-x). Fazendo assim para o seno, saberemos se ele é par ou impar.
senhα =
=
=
; senh(-α) =
32
=
= - senhα
Portanto, a função senhα é impar.
Operações com arcos
Demonstraremos, primeiramente, a soma dos arcos do seno hiperbólico e
posteriormente a diferença dos arcos do seno hiperbólico.
Em senh α =
–
, temos α = β + θ; Logo,
senh (β + θ) =
=
= cosh β + senh β;
= cosh β - senh β;
= cosh θ + senh θ;
= cosh θ - senh θ;
Substituindo estas esquivalencias em senh (β + θ):
senh (β + θ) =
β
β
θ
θ
β
β
θ
θ
Efetuando os produtos indicados e reduzindo termos semelhantes:
senh (β + θ) =
=
Assim,
senh (β + θ) = senh β cosh θ + senh θ cosh β
(12)
Para obtermos a diferença de arcos, temos:
Em senh (β + θ) = senh β cosh θ + senh θ cosh β, temos θ = - θ, assim:
senh [β + (- θ)] = senh β cosh (-θ) + senh (-θ) cosh β.
Como,
cosh (- θ) = cosh θ e senh (- θ) = - senh θ
Se tem,
senh (β - θ) = senh β cosh θ + (- senh θ) cosh β
logo,
senh (β - θ) = senh β cosh θ - senh θ cosh β
(13)
33
Fórmulas dos arcos duplos
A partir da soma de arcos obteremos a fórmula dos arcos duplos, logo:
Em senh (β + α) = senh β cosh α + senh α cosh β, temos β = α,
Assim,
senh (α + α) = senh α cosh α + senh α cosh α
Logo,
senh 2α = senh α cosh α
(14)
Fórmulas do arco metade
.
Da fórmula do arco duplo, obteremos a do arco metade. Assim:
Em cosh 2α = 1 + 2 senh² α, temos 2α = θ, na qual α =
θ
Assim,
coshθ = 1 + 2 senh²
coshθ – 1 = 2 senh²
θ–
senh
=
= senh²
θ
θ
θ
√
(15)
Fórmulas dos arcos triplos
Obteremos a fórmula do arco triplo, a partir da soma de arcos. Portanto:
Em senh (β + θ) = senhβ coshθ + senhθ coshβ, temos β = 2α e θ = α e
substituindo esses dados na formula do senh (β + θ):
senh (2α + α) = senh 2α cosh α + senh α cosh 2α
Substituindo senh 2α por 2 senhα cosh α e cosh 2α por 1 + 2 senh² α. Temos,
Senh 3α = (2 senh α cosh α) cosh α + senh α (1 + 2 senh² α)
Senh 3α = 2 senh α cosh² α + senh α + 2 senh³ α;
34
Substituindo cosh² α por 1 + senh² α, temos
Senh 3α = 2 senh α (1 + senh² α) + senh α + 2 senh³ α
Senh 3α = 2 senh α + 2 senh³ α + senh α + 2 senh³ α
senh 3α = 4 senh³ α + 3 senh α
(16)
Fórmulas de transformação em produto
A partir das fórmulas senh (β + θ), senh (β - θ) deduz:
a) senh β cosh θ.
b) senh θ cosh β.
senh (β + θ) = senh β cosh θ + senh θ cosh β
(17)
senh (β - θ) = senh β cosh θ - senh θ cosh β
(18)
- Somando membro a membro (17) e (18):
senh (β + θ) + senh (β - θ) = 2 senh β cosh θ
[senh (β + θ) + senh (β - θ)] = senh β cosh θ
senh (β + θ) +
senh (β - θ) = senh β cosh θ
(19)
- Subtraindo membro a membro (17) e (18):
senh (β + θ) - senh (β - θ) = 2 senh θ cosh β
[senh (β + θ) - senh (β - θ)] = senh θ cosh β
senh (β + θ) -
senh (β - θ) = senh θ cosh β
(20)
Se pegarmos a equação da soma e subtração de arcos da função seno
hiperbólico, respectivamente, senh (β + θ) e senh (β – θ); Fazendo β + θ = A e β – θ
= B, Temos:
senh (β + θ) = senh β cosh θ + senh θ cosh β
(21)
senh (β - θ) = senh β cosh θ - senh θ cosh β
(22)
Sendo que,
β+θ=A
(23)
β–θ=B
(24)
35
Somando (23) e (24) se tem
2β = A + B
β=
Subtraindo (23) e (24) se tem
2θ = A – B
θ=
Substituindo em (21) e (22) β + θ por A, β – θ por B, β por
e θ por
:
senh A = senh (
) cosh (
) + senh (
)cosh (
)
(25)
senh B = senh (
)cosh (
) – senh (
) cosh (
)
(26)
Somando (25) e (26) se tem
senh A + senh B = 2 senh (
) cosh (
)
[senh A + senh B] = senh (
) cosh (
)
senh B = senh (
) cosh (
)
senh A +
(27)
Subtraindo (25) e (26) se tem
senh A – senh B = 2 senh (
) cosh (
)
[senh A – senh B] = senh (
) cosh (
)
) cosh (
)
senh A -
senh B = senh (
(28)
Função inversa do seno hiperbólico
Definição: A aplicação inversa de y = senh x se chama argumento seno
hiperbólico de x; se escreve arg senh x ou senh-1 x.
O dominio da função é o intervalo (- ∞, + ∞) =
intervalo (- ∞, + ∞) =
.
, e a imagem da função é o
36
y = argsenh x = senh-1 x
x = senh y
Gráfico: O gráfico se deduz a partir do gráfico de y = senh x por simétria com
respeito a bissetriz y = x.
Figura 24: Gráfico da função inversa seno hiperbólico de x
Fonte: Pino G. (2012, p. 25)
Pode-se expressar y = argsenh x com a ajuda da função logarítmica. Em
efeito y = argsenh x senh y = x y cosh² y = 1 + senh² y; E assim: cosh² y = 1 + x² ou
cosh y = √
. Por consequência e y = cosh y + senh y = √
ln e y = ln(√
+ x)
argsenh x = ln(√
y = ln(√
+ x; Onde:
+ x)
+ x)
3.1.2. COSSENO HIPERBÓLICO
A aplicação continua y = cosh x não é monótona em
. Sua restrição a
estritamente crescente,dessa restrição é um homomorfismo de
y = cosh x =
Dominio da função: (-∞, + ∞).
Imagem da função: [1, + ∞).
sobre [1, + ∞).
é
37
Figura 25: Gráfico da função cosseno hiperbólico de x
Fonte: Pino G. (2012, p. 8)
Dizemos que uma função é par se ao substituir x por –x, se cumpre que f (x) =
f (-x). E uma função y = f (x) é impar se ao substituir x por –x, se cumpre que f (–x) =
- f (-x). Fazendo assim para o cosseno hiperbólico, saberemos se ele é par ou impar.
; Cosh (-α) =
coshα =
=
=
= coshα
A função coshα é par.
Operações com arcos
Demonstraremos, primeiramente, a soma dos arcos do cosseno hiperbólico e
posteriormente a diferença dos arcos do cosseno hiperbólico.
Em cosh α =
, temos α = β + θ, por tanto:
cosh (β + θ) =
=
= cosh β + senh β;
= cosh β - senh β;
= cosh θ + senh θ;
= cosh θ - senh θ;
38
Substituindo estas esquivalencias em cosh (β + θ):
β
cosh (β + θ) =
β
θ
θ
β
β
θ
θ
Efetuando os produtos indicados e reduzindo termos semelhantes:
β
cosh (β + θ) =
β
=
θ
θ
β
β
θ
θ
Temos,
cosh (β + θ) = cosh β cosh θ + senh β senh θ
(29)
Demonstrando a fórmula da diferença de arcos, temos:
Em cosh (β + θ) = cosh β cosh θ + senh β senh θ, temos θ = - θ, assim:
cosh [β + (- θ)] = cosh β cosh (- θ) + senh β senh (- θ).
Como,
cosh (- θ) = cosh θ e senh (- θ) = - senh θ
Se tem,
cosh (β - θ) = cosh β cosh θ + senh β (- senh θ)
logo,
cosh (β - θ) = cosh β cosh θ - senh β senh θ
(30)
Fórmulas dos arcos duplos
A partir da soma de arcos, obteremos a fórmula do arco duplo, logo:
Em cosh (β + α) = cosh β cosh α + senh β senh α, temos β = α,
Assim,
cosh (α + α) = cosh α cosh α + senh α senh α
Logo,
cosh 2α = cosh² α + senh² α
(31)
Se sabe que cosh² α - senh² α = 1 e que
cosh² α = 1 + senh² α; senh² α = cosh² α – 1;
Substituindo cosh² α por 1 + senh² α em (16),
cosh 2α = 1 + senh² α + senh² α
cosh 2α = 1 + 2 senh² α
Substituindo em (31) senh² α por cosh² α – 1, temos,
(32)
39
cosh 2α = cosh² α + cosh² α – 1
cosh 2α = 2 cosh² α – 1
(33)
Fórmulas do arco metade
A fórmula do arco metade originasse da fórmula do arco duplo, portanto:
Em cosh 2α = 2 cosh² α – 1, temos 2α = θ, na qual α =
θ
Assim,
coshθ = 2 cosh²
θ
-1
coshθ + 1 = 2 cosh²
θ
cosh
=
= cosh²
θ
θ
√
(34)
Fórmulas dos arcos triplos
Obtemos a fórmula do arco triplo a partir da soma de arcos, temos:
Em cosh (β + θ) = cosh β cosh θ + senh β senh θ, temos β = 2α e θ = α e
substituindo esses dados na formula do cosh (β + θ):
cosh (2α + α) = cosh 2α cosh α + senh 2α senh α
Substituindo cosh 2α por 2 cosh² α - 1 e senh 2α por 2 senh α cosh α. Temos,
cosh 3α = (2 cosh² α - 1) cosh α + (2 senh α cosh α) senh α
cosh 3α = 2 cosh³ α - cosh α + 2 senh² α cosh α;
Substituindo senh² α por cosh² α - 1:
cosh 3α = 2 cosh³ α - cosh α + 2 (cosh² α – 1) cosh α
cosh 3α = 2 cosh³ α - cosh α + 2 cosh³ α – 2 cosh α
cosh 3α = 4 cosh³ α + 3 cosh α
Fórmulas de transformação em produto
A partir das fórmulas cosh (β + θ), cosh (β - θ) deduz:
a) cosh β cosh θ.
(35)
40
b) senh β senh θ.
cosh (β + θ) = cosh β cosh θ + senh β senh θ
(36)
cosh (β - θ) = cosh β cosh θ - senh β senh θ
(37)
- Somando membro a membro (36) e (37):
cosh (β + θ) + cosh (β - θ) = 2 cosh β cosh θ
[cosh (β + θ) + cosh (β - θ)] = cosh β cosh θ
cosh (β + θ) +
cosh (β - θ) = cosh β cosh θ (38)
- Subtraindo membro a membro (36) e (37):
cosh (β + θ) - cosh (β - θ) = 2 senh β senh θ
[cosh (β + θ) - cosh (β - θ)] = senh β senh θ
cosh (β + θ) -
cosh (β - θ) = senh β senh θ
(39)
Se pegarmos a equação da soma e subtração de arcos da função cosseno
hiperbolico, respectivamente, cosh (β + θ) e cosh (β – θ); Fazendo β + θ = A e β – θ
= B, Temos:
cosh (β + θ) = cosh β cosh θ + senh β senhθ
(40)
cosh (β – θ) = cosh β cosh θ – senh β senhθ
(41)
Temos,
β+θ=A
(42)
β–θ=B
(43)
Somando (42) e (43) se tem
2β = A + B
β=
Subtraindo (42) e (43) se tem
2θ = A – B
θ=
41
Substituindo em (40) e (41) β + θ por A, β – θ por B, β por
e θ por
:
cosh A = cosh (
) cosh (
) + senh (
) cosh (
)
(44)
senh B = cosh (
) cosh (
) – senh (
) senh (
)
(45)
Somando (44) e (45) se tem
cosh A + cosh B = 2 cosh (
) cosh (
)
[cosh A + cosh B] = cosh (
) cosh (
)
cosh B = cosh (
) cosh (
)
cosh A – cosh B = –2 senh (
) senh (
)
[cosh A – cosh B] = –senh (
) senh (
)
cosh A +
(46)
Subtraindo (44) e (45) se tem
cosh A –
cosh B = – senh (
) senh (
)
(47)
Função inversa do cosseno hiperbólico
Definição: A aplicação inversa da restrição a
+
se chama argumento
-1
cosseno hiperbólico de x, se escreve argcosh x = cosh x.
O dominio da função é o intervalo [1, + ∞), e a imagem é o intervalo [0, + ∞).
y = argcosh x = cosh-1 x
x = cosh y
Gráfico: O gráfico de y = argcosh x, se deduz a partir do gráfico de y = cosh x
por simétria com respeito a bissetriz y = x.
42
Figura 26: Gráfico da função inversa cosseno hiperbólico de x
Fonte: Pino G. (2012, p. 26)
Pode-se expressar y = argcosh x com a ajuda da função logarítmica: y =
= senhy; e y = cosh y
argcosh x cosh y = x y cosh² y - 1 = senh² y; E assim: √
+ senh y =x + √
.
ln e y = ln (x + √
)
logo,
y = ln (x +√
)
argcosh x = ln (x + √
)
3.1.3. TANGENTE HIPERBÓLICA
A aplicação contínua y = tanh x é estritamente crescente sobre
um homomorfismo de
sobre (-1, 1).
–
y = tanh x =
Dominio da função: (-∞, + ∞).
Imagem da função: (-1, 1).
=
=
–
; Por tanto é
43
Figura 27: Gráfico da função tangente hiperbólica de x
Fonte: Pino G. (2012, p. 9)
Dizemos que uma função é par se ao substituir x por –x, se cumpre que f (x) =
f (-x).Uma função y = f (x) é impar se ao substituir x por –x, se cumpre que f (–x) = - f
(-x). Fazendo assim para a tangente, saberemos se ela é par ou impar.
tanh α =
=
=
–
–
; tanh (-α) =
–
–
= - tanhα.
A função tanhα é impar.
Fórmulas operações com arcos
Demonstraremos, primeiramente, a soma de arcos da tangente hiperbólica e
posteriormente a diferença de arcos da tangente hiperbólica.
tanh (β + θ) =
β
θ
β
θ
=
β
θ
θ
β
β
θ
β
θ
Dividindo o numerador e o denominador por cosh β cosh θ:
tanh (β + θ) =
Assim,
β
β
β
β
θ
θ
θ
θ
θ
β
β
β
β
θ
θ
θ
44
tanh (β + θ) =
(48)
Demonstrando para a fórmula de diferença de arcos, temos:
β θ
tanh (β - θ) =
=
β θ
β
θ
θ
β
β
θ
β
θ
Dividindo o numerador e o denominador por cosh β cosh θ:
tanh (β - θ) =
β
β
β
β
θ
θ
θ
θ
θ
β
β
β
β
θ
θ
θ
Assim,
tanh (β - θ) =
(49)
Fórmula do arco duplo
A partir da soma de arcos, obtemos a fórmula do arco duplo. Logo:
Em tanh (β + α) =
β
α
β
α
,temos β = α,
Assim,
α
tanh (α + α) =
α
α
α
Logo,
tanh 2α =
(50)
²
Fórmulas do arco metade
Apresentaremos aqui a demonstração da fórmula do arco metade da função
tangente hiperbólica.
Pela definição,
√
tanh
=
=
√
45
tanh
=
√
tanh
=
√
(51)
Função inversa da tangente hiperbólica
Definição: A aplicação inversa de y = tanh x se chama argumento tangente
hiperbólica de x; Se escreve y = argtanh, x = tanh-1 x.
O domínio da função é o intervalo (- 1, 1) e a imagem é o intervalo (- ∞, + ∞) =
.
x = tanh y
y = argtanh x
A aplicação y = argtanh x é um homomorfismo estritamente crecente de (- 1,
1) sobre
.
Gráfico: O gráfico se deduz a partir do gráfico de y = tanh x por simétria com
respeito a bissetriz y = x.
Figura 28: Gráfico da função inversa tangente hiperbólica de x
Fonte: Pino G. (2012, p. 27)
Se pode expressar y = argtanh x por meio da função logarítmo. Em efeito, y =
arg tanh x:
46
x = tanh y =
=
x(
+ 1) =
x
+x=
x
–
=
–1
–1
=–1–x
(x – 1) = – (1 + x)
=
ln
=
–
= ln (
)
2y = ln (
)
ln (
)
y=
argtanh x =
ln (
)
3.1.4. COTANGENTE HIPERBÓLICA
A função continua y = coth x é estritamente decrescente no intervalo (-∞, 0) e
(0, + ∞), onde se define. A restrição a
sua restrição a
é um homomorfismo de
sobre (1, + ∞).
é tambem um homomorfismo de
Dominio da função: (-∞, 0)
(0, + ∞).
Imagem da função: (-∞, -1)
(1, + ∞).
y = coth x =
=
=
sobre (-∞,-1) e
47
Figura 29: Gráfico da função cotangente hiperbólica de x
Fonte: Pino G. (2012, p. 9)
Função inversa da cotangente hiperbólica
Definição: A aplicação inversa de y =coth x se chama argumento cotangente
hiperbólica de x, se escreve y = arg coth x = coth-1 x.
A função y = argcoth x é um homomorfismo de (-∞,-1)
(1, + ∞) sobre
*
.
Gráfico: O gráfico de y = argcoth x se obtêm a partir do gráfico de y = coth x
por simétria com respeito a bissetriz y = x.
Figura 30: Gráfico da função inversa cotangente hiperbólica de x
Fonte: Pino G. (2012, p. 28)
48
A função y = argcoth x se pode expressar por meio da função logarítmo. Em
efeito:
x = tanh y =
=
x(
1) =
x
x=
–
x
=
+1
+1
=1+x
(x – 1) = 1 + x
=
ln
= ln (
)
2y = ln (
)
ln (
)
y=
arg coth x = ln (
)
3.1.5. SECANTE HIPERBÓLICA
A aplicação continua y = sech x não é monótona em R. Sua restrição a
estritamente decrescente; Dessa restrição éuma aplicação de
y = sech x =
Dominio da função: (-∞, + ∞).
Imagem da função: (0, 1].
=
=
sobre (0, 1].
é
49
Figura 31: Gráfico da função secante hiperbólica de x
Fonte: Pino G. (2012, p. 10)
Função inversa da secante hiperbólica
Definição: A aplicação inversa da restrição em
se chama argumento
secante hiperbólico de x, se escreve y = argsech x = sech-1 x.
O dominio da função é o intervalo (1, 0] e a imagem é o intervalo [0, + ∞).
Gráfico:
Figura 32: Gráfico da função inversa secante hiperbólica de x
Fonte: Pino G. (2012, p. 29)
Se pode expressar y = argsech x com a ajuda da função logarítmo. Em efeito,
50
x = sech x =
=
x(
+ 1) = 2
x
=
√
+
=
ln
+x=0
√
=(
y = ln (
√
=
√
√
)
√
argsech x = ln (
=
)
√
).
3.1.6. COSSECANTE HIPERBÓLICA
A aplicação continua y = cosech x é estritamente decrescente no intervalo (-∞,
0)
(0, + ∞),onde se define; Sua imagem é (-∞, 0)
y = cosech x =
=
(0, + ∞).
=
Figura 33: Gráfico da função cossecante hiperbólico de x
Fonte: Pino G. (2012, p. 10)
51
Função inversa da cossecante hiperbólica
Definição: A aplicação inversa de y = cosech x se chama argumento
cossecante hiperbólica de x, se escreve: y = arg cosech x.
A função y = argcosech x é um homomorfismo de (-∞, 0)
(0, + ∞) sobre
*
.
Gráfico:O gráfico de y = argcosech x se obtem a partir do gráfico de y =
cosech x por simetría com respeito a bissetriz y = x.
Figura 34: Gráfico da função inversa cossecante hiperbólica de x
Fonte: Pino G. (2012, p. 31)
O dominio da função é (-∞, 0)
(0, + ∞) e a imagem é (-∞, 0)
(0, + ∞). Se
pode expressar y = argcosech x por meio da função logarítmo. Em efeito,
x = sech x =
x(
x
=
=
- 1) = 2
-
√
-x=0
=
ln
+
=(
y = ln (
√
√
√
=
)
)
√
52
argcosech x = ln (
√
).
3.1.7. IDENTIDADES HIPERBÓLICAS FUNDAMENTAIS
São equações quese verificam para quaquer valor ou valores de variável ou
variaveis que contem, sempre que para estes valores estão definidos ambos
membros.
A partir de x² - y² = 1, sendo x = cosh α e y = senh α, se deduz que
cosh² α – senh² α = 1(52)
Dividindo ambos membros de (52) por cosh² α:
²α
²α
²α
²α
-
=
²α
1 – tanh² α = sech² α(53)
Dividindo ambos os membros de (52) por senh² α:
²α
²α
-
²α
²α
=
²α
coth² α - 1 = cosech² α
(54)
53
4.
COMPARAÇÃO
DA
TRIGONOMETRIA
HIPERBÓLICA
PARA
A
TRIGONOMETRIA CIRCULAR
Nesta sessão apresentaremos a comparação das fórmulas e gráficos entre
funções hiperbólicas e circulares, após a análise do trabalho de Pino G. (2012) e
Iezzi (2004), que estudam, respectivamente, a trigonometria hiperbólica e a
trigonometria circular.
4.1. COMPARAÇÃO DAS FÓRMULAS ENTRE FUNÇÕES TRIGONOMETRICAS
HIPERBOLICAS E TRIGONOMETRICAS CIRCULARES
Nesta subseção apresentaremos a comparação das fórmulas das funções
trigonometricas hiperbolicas e trigonometricas circulares. A maioria das fórmulas
usadas na trigonometria circular é análoga às da hiperbólica.
Relação Fundamental e originadas a partir dela
Na trigonometria hiperbólica, a relação fundamental surge a partir da equação
da hipérbole, que é x² - y² = 1. Já na trigonometria circular surge a partir da equação
do circulo unitário, representado por x² + y² = 1. Da relação fundamental aparecem
mais duas equações A seguir mostra um quadro comparando ambas as
trigonometrias.
Quadro 01: Relações fundamentais e originadas da trigonometria hiperbólica e circular
Trigonometria hiperbólica
Trigonometria circular
cosh² α – senh² α = 1
cos² α + sen² α = 1
1 – tanh² α = sech² α
1 + tg² α = sec² α
coth² α - 1 = cosech² α
cotg² α + 1 = cossec² α
Funções
A seguir mostra um quadro com as funções tangente, cotangente, secante e
cossecante, na trigonometria hiperbólica e trigonometria circular.
54
Quadro 02: Funções da trigonometria hiperbólica e circular
Trigonometria hiperbólica
α
tanh α =
cothα =
Trigonometria circular
tgα =
α
α
α
α
cossecα =
α
sechα =
α
cotgα =
α
cosechα =
α
α
sec α =
α
α
Operação com arcos
No quadro abaixo especificamos as equações das operações com arco das
funções seno, cosseno e tangente, tanto na trigonometria hiperbólica como na
trigonometria circular.
Quadro 03: Operações com arcos das funções na trigonometria hiperbólica e circular
Trigonometria hiperbólica
Trigonometria circular
cosh (β + θ) = cosh β cosh θ + senh β
cos (β + θ) = cosβ cosθ - senβ senθ
senh θ
senh (β + θ) = senh β cosh θ + senh θ
sen (β + θ) = sen β cos θ - sen θ cos β
cosh β
tanh (β + θ) =
β
θ
β
θ
cosh (β - θ) = cosh β cosh θ - senh β
tg (β + θ) =
β
θ
β
θ
cos (β - θ) = cos β cos θ + sen β sen θ
senh θ
senh (β - θ) = senh β cosh θ - senh θ
sen (β - θ) = sen β cos θ + sen θ cos β
cosh β
tanh (β - θ) =
β
θ
β
θ
tg (β - θ) =
β
θ
β
θ
55
Arco duplo e triplo
Neste apresentamos as equações dos arcos duplos e triplos das funções
hiperbólicas e circulares, como mostra o quadro abaixo.
Quadro 04: Equações dos arcos duplos e triplos das funções hiperbólicas e circulares
Trigonometria hiperbólica
Trigonometria circular
senh 2α = senh α cosh α
sen 2α = 2 sen α cos α
cosh 2α = cosh² α + senh² α
cos 2α = cos² α – sen² α
α
tanh 2α =
α
tg 2α =
²α
²α
senh 3α = 4 senh³ α + 3 senh α
sen 3α = 3 sen α – 4 sen³ α
cosh 3α = 4 cosh³ α + 3 cosh α
cos 3 α = 4 cos³ α – 3 cos α
Arco metade
A equação do arco metade pode ser obtida a partir do arco duplo, como vimos
anteriormente. Assim, apresentamos no quadro abaixo as equações do arco metade
das funções hiperbólicas e trigonométricas circulares.
Quadro 05: Equações do arco metade das funções hiperbólicas e circulares
Trigonometria hiperbólica
Trigonometria circular
senh
=
√
sen =
√
cosh
=
√
cos =
√
tanh
=
√
tg
√
=
56
Transformação em produto
As equações de transformação em produto originam-se da equação de soma
e diferença de arcos. A seguir apresentamos no quadro as Equações de
transformação em produto das funções hiperbólicas e trigonométricas circulares.
Quadro 06:Equações de transformação em produto das funções hiperbólicas e circulares
Trigonometria circular
Trigonometria hiperbólica
senh A +
senh B = senh (
(
senh A -
cosh A +
cosh A –
) cosh
sen A -
)
) cosh
cos A +
)
sen B = sen(
cos A –
)
cos B = cos (
)
)
cos B = – sen (
(
)
)
cos(
)
)
)
cos(
cosh B = –senh (
senh (
sen B = sen (
cos(
cosh B = cosh (
(
sen A +
)
senh B = senh (
(
) cosh
) sen
)
4.2. COMPARAÇÃO DOS GRÁFICOS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
HIPERBÓLICAS E TRIGONOMÉTRICAS CIRCULARES
Nesta subseção apresentaremos a Comparação dos gráficos das funções
trigonométricas hiperbólicas e trigonométricas circulares. O gráfico varia devido à
função trigonométrica circular ser referente ao circulo unitário enquanto a hiperbólica
é alusiva à hipérbole, na qual o circulo é uma curva fechada e periódica, onde se
repete a cada 2π, diferentemente da hipérbole.
57
Função seno circular e seno hiperbólico
Figura 35: Gráfico das funções seno circular e seno hiperbólico
Função cosseno circular e cosseno hiperbólico
Figura 36: Gráfico das funções cosseno circular e cosseno hiperbólico
Função tangente circular e tangente hiperbólico
Figura 37: Gráfico das funções tangente circular e tangente hiperbólico
58
Função cotangente circular e cotangente hiperbólico
Figura 38: Gráfico das funções cotangente circular e cotangente hiperbólica
Função secante circular e secante hiperbólico
Figura 39: Gráfico das funções secante circular e secante hiperbólica
Função cossecante circular e cossecante hiperbólico
Figura 40: Gráfico das funções cossecante circular e cossecante hiperbólica.
59
5.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A catenária possui um papel importante tanto na história da matemática
quanto em sua utilidade em obras de engenharia e arquitetura, além de ter sido
fundamental para o surgimento da trigonometria hiperbólica.
A trigonometria hiperbólica, introduzida por Vincenzo Riccati, a partir da
equação da catenária, possui um papel importante no cálculo, pois ela é útil na
avaliação de algumas integrais indefinidas, e na física, quando a função hiperbólica
surge em movimentos vibratórios dentro de sólidos elásticos, mais principalmente
nos caso que a energia mecânica é pouco a pouco absorvida pelo meio ambiente.
A existência de algumas analogias nas fórmulas da trigonometria circular e da
trigonometria hiperbólica é devido à equação do circulo unitário ser semelhante à
equação da hipérbole retangular. Segundo em Maor (2003) nas funções hiperbólicas
o parâmetro 𝜑 não pode ser interpretado como ângulo, diferentemente das funções
circulares.
Trabalhos futuros que poderão surgir são a comparação da trigonometria
hiperbólica com a trigonometria esférica.
Assim, incentivar estudos nesta área é muito importante para somar
conhecimentos e aprimorar novos profissionais. Estudo este que obteve grande
valor para minha formação acadêmica.
60
REFERÊNCIA
ANTON, H; BIVENS, I; DAVIS, S. Cálculo. 8 ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. 1 v.
p. 496 – 509.
FERATTI, L; BELTRAME, A. M. Funções hiperbólicas e cabos pendentes. Série:
Ciências Naturais e Tecnológicas, S. Maria, v. 5, n. 1, p. 139-162, 2004. Disponível
em:
https://www.yumpu.com/pt/document/view/14334801/funcoes-hiperbolicas-ecabos-pendentes1-. Acessado em: 18 Dez. 2013 às 16 h.
G PINO, C. H. Trigonometría Hiperbólica. 2012. Disponível em:
http://cmap.upb.edu.co/rid=1151611180535_1484584217_4021/TRIGONOMETR%C
3%8DA%20HIPERB%C3%93LICA.pdf. Acessado em: 18 Dez. 2013 às 18h.
IEZZI, G. Fundamentos de Matemática Elementar: Trigonometria. 8 ed. São
Paulo: Atual editora, 2004. 3 v.
MAOR, E. e: A história de uma número. Tradução de Jorge Calife – Rio de janeiro:
Record, 2003. P. 151 – 190.
O´CONOR, J.J; ROBERTSON, E.R. Vincenzo Riccati. 2012. Disponível em:
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Riccati_Vincenzo.html. Acesso em:
20 Set. 2013 às 10 h.
SIMMONS, G. F. Cálculo com geometria analítica. V. 1. Tradução SeijiHariki;
Revisão técnica Rodney Carlos Bassanezi, Silvio de Alencastro Pregnolatto. São
Paulo: Pearson MakronBooks, 1987. P. 611.
SANTOS, C. P; C. P; PEDRO NETO, J; SILVA, J. N. Sucessão de Fibonacci +
‘Missing Square’. Editora Norprint, 2007. P. 6 - 14. Disponível em:
http://jnsilva.ludicum.org/hm2008_9/Livro4.pdf. Acesso em: 19 Set. 2013 às 21 h.
SUA
PESQUISA.
Bibliografia
de
Galileu
Galilei.
Disponível
em:
http://www.suapesquisa.com/biografias/galileu/. Acessado em: 20 Set. 2013 às 14 h.
TALAVERA, L. M. B. Parábola e Catenária: história e aplicações. 2008.
Dissertação (mestrado em educação) coordenadoria de pós-graduação,
Universidade
de
São
Paulo.
P.
41
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47.
Disponível
em:
www.teses.usp.br/teses/.../48/.../tde.../DissertacaoLedaMariaTalavera.pdf.
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UZÊDA, D. D. Tópicos em Mecânica Clássica. 2011. Dissertação (mestrado em
ensino de Física) coordenadoria de pós-graduação, Universidade Federal do Rio de
Janeiro.
P.
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Disponível
em:
http://www.if.ufrj.br/~pef/producao_academica/dissertacoes/2011_Diego_Uzeda/diss
ertacao_Diego_Uzeda.pdf. Acesso em: 17 Set. 2013 às 22 h.
61
Universidade do Estado do Pará
Centro de Ciências Sociais da Educação
Departamento de Matemática, Estatística e Informática
Curso Licenciatura em Matemática
Tv Djalma Dutra, (91) 3244-8957
Belém-PA