Circunferência e Relações
Trigonométricas
PROF. MARCELO SANTOS
CICLO ou CIRCUNFERÊNCIA
TRIGONOMÉTRICA
y
B
P
+
1
A’
A
O
1
x
-
B’
• Circunferência de centro na origem do sistema, de raio
unitário r = 1;
• Arcos de origem ponto A (1,0);
• Medidas algébricas positivas no sentido anti-horário,
negativas sentido horário;
• Divisão dos quatros quadrantes sentido anti-horário
Radiano
• Radiano (1 rad) é o ângulo definido em um
círculo por um arco de circunferência com o
mesmo comprimento que o raio do círculo.
Imagem http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Circle_ra
dians.gif
SENO
SENO
• marcado no eixo Y
• varia de –1 até 1  -1  sen  1
y
• sinal do seno:
1 B
A’
A
O
-1 B’
x
COSSENO
COSSENO
• marcado no eixo X
• varia de –1 até 1  -1  cos  1
y
• sinal do cosseno:
B
A’
-1
A
1 x
O
B’
SENO E COSSENO
y
B
sen 
P
N

A’
O
A
M
x
cos 
B’
TANGENTE
y
t
B
P
M
tg 

A’
O
A
x
B’
TANGENTE
• marcada numa reta paralela ao
eixo y
• varia de –  até   -   tg  
y
• sinal da tangente:
B
A’
A
O
x
B’
SENO, COSSENO E TANGENTE
t
y
sen 
tg 

cos 
A
x
ARCOS NOTÁVEIS
sen
120°
90°
tg
60°
135°
45°
30°
150°
0°/360°
180°
0
cos
210°
225°
330°
315°
240°
300°
270°
SENO, COSSENO E TANGENTE DE ARCOS NOTÁVEIS DO 1º.
QUADRANTE
SIMETRIA DE ARCOS
150o
30o
1/2
3
2
210o
330o
SIMETRIA DE ARCOS
45o
135o
2
2
2
2
225o
315o
SIMETRIA DE ARCOS
60o
120o
3
2
1/2
240o
300o
GENERALIZANDO:
De um modo geral:
180o - 

A
180o + 
360o - 
RELAÇÕES FUNDAMENTAIS
sen2 x + cos2x = 1
sec2x = 1 + tg2x
csc2x = 1 + cotg2x
OUTRAS RELAÇÕES FUNDAMENTAIS
I. tg x =
II. cotg x =
III. sec x =
sen x
cos x
1
tg x
1
cos x
1
IV. sec x =
cos x
=
cos x
sen x
SOMA E DIFERENÇA DE ARCOS
a) cos (a + b) = cos a.cos b – sen a.sen b
b) cos (a - b) = cos a.cos b + sen a.sen b
c) sen (a + b) = sen a.cos b + sen b.cos a
d) sen (a - b) = sen a.cos b - sen b.cos a
SOMA E DIFERENÇA DE ARCOS
e) tg(a + b) =
tg a + tg b
1 - tg a.tg b
f)
tg(a - b) =
tg a - tg b
1 + tg a.tg b
MACETES
I) sen (a + b) = sen a.cos b + sen b.cos a
Minha terra têm palmeiras, onde canta o sabiá
SENO A COSENO B , SENO B COSENO A
II) cos (a + b) = cos a.cos b – sen a.sen b
Coça a, coça b, troca o sinal sem saber
MACETES
III) tg(a + b) =
tg a + tg b
tg(a - b) =
1 - tg a.tg b
tg a - tg b
1 + tg a.tg b
Tem gente que ama, mas tem gente que beija,
Humm! Tem gente que ama e beija.
OU
Tem gente no banheiro a, tem gente no banheiro B, Hmm! tem
gente no banheiro A e B
Acabou!!!
• A MATEMÁTICA É LINDA!!!!
• UHULL, VCS SÃO DEMAIS...
• GESIVAN SAPEQUINHA!