ELEMENTOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
AULA 01: INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
TÓPICO 02: REVENDO TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
VERSÃO TEXTUAL
Este tópico objetiva reapresentar as principais técnicas de
integração.
INTEGRAIS
Considerando integral como – embora nem toda integral tenha uma
primitiva, como ∫(senx/x)dx
Pela derivada de arctg(x)...
Pela derivada de argtgh(x)...
ALGUNS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1ª QUESTÃO
Se
SOLUÇÃO
2ª QUESTÃO
e p = 2a se x = a³/2, ache o valor de p quando x = 2a³.
Se a função de consumo é dada por y = f(x), onde y é o consumo
nacional total e x é a renda nacional total, então a tendência marginal ao
consumo é igual a derivada do consumo com relação a x. Supondo x = y +
s, onde s é a poupança, a tendência marginal à poupança é
(por
quê?).
a) Se a tendência marginal ao consumo (em bilhões de dólares) é
.
Quando a renda é igual a zero, o consumo é de 8 bilhões de dólares.
Ache a função de consumo.
b) A tendência marginal a poupança é 1/3. Quando a renda é igual a
zero, o consumo é de 11 bilhões de dólares. Ache a função de consumo.
SOLUÇÃO
Vamos justificar a fórmula...
Sendo x = y + s, derivando em relação à variável x...
(x)’ = (y + s)’ = (y)’ + (s)’
Daí, 1 = y’ + s’. Ou, s’ = 1 – y’.
Item a):
3ª QUESTÃO
A velocidade de uma partícula em M.H.S. é dada por v(t) = 4 .cos( t
+ /6). Qual é a equação horária, s(t), dado que s(0) = 2?
SOLUÇÃO
V = ds/dt .: ds = v.dt .:
s = ∫ 4 .cos( t + /6)dt = 4 .∫cos( t + /6)dt =
4 . (1/ ).sen( t + /6) + C = 4sen( t + /6) + C.: s(0) = 2 .: 2
= 4sen( /6) + C .: C = 0
4ª QUESTÃO
Calcule as integrais:
SOLUÇÃO
a) Seja u = 1 + 3e x. Daí, du/dx = 3e
du = 3e x.dx. Assim,
x
b) Vamos encontrar F(x), resultado da integral. Depois
fazemos F( /4) – F(0). (TEOREMA FUNDAMENTAL DO
CÁLCULO)
Lembrar que tgx = senx / cosx. Logo, seja u = cosx.: du = senx.dx. Daí,
Agora é só fazer a diferença.
c) Já que [ (ax + b) p]’ = p(ax + b)
Segue-se que
p–1
.a = ap(ax + b)
=
p–1
, onde a,
b e p são números reais e “a” diferente de zero.
Com efeito, se u = ax + b. Derivando ambos os membros da
igualdade em relação à variável x, temos:
.du = adx, daí, ∫u p(du/a) = (1/a). ∫u pdu ... (integração
conhecida! Retornar, após integrar, para variável x).
Assim,
d)
...
e) A ideia é imaginar a função “de dentro” da composição como
nova variável.
Seja v = 1 – 2x² .: dv = -4xdx, ou, de maneira equivalente,
xdx = -dv/4
Como a variável de partida é x... Retornar para ela:
Assim: -(1 – 2x²)
3/2
/6 + C
f) Novamente a ideia é imaginar a função “de dentro” da
composição como nova variável.
Seja k = 3x² - 1 .: dk = 6xdx, ou, de maneira equivalente, xdx
= dk/6
g) Notemos que x² - 4x + 4 = (x – 2)².
Daí, ∫(x – 2)
-2
dx = C + 1/(2 – x)
h) Seja u = 1 + x³. Daí, derivando em relação à variável x,
temos:
du = 3x²dx. Assim,
Organizando as integrais e usando o fato de que a integral de
uma diferença é a diferença das integrais, resolvendo as integrais e
retornando para a variável x, temos:
i) Seja u = x². Daí, du = 2xdx e a integral fica: ∫cos(x²)xdx =
∫cos(u).du/2 = ½.sen(u) + C
Voltando para a variável x... sen(x²)/2 + C
j) Notemos que a integral equivale a ∫dx/sen²x = ∫cosec²xdx =
-cotgx + C
SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E HIPERBÓLICAS
Resolver
SOLUÇÃO
Erro frequente: achar que ‘sempre’ mudar a variável
considerando-a como a função “de dentro” da composição resolve.
Note que, neste caso, se m = x² - 3, dm = 2xdx. Daí, torna-se
necessário multiplicar numerador e denominador por x, para que
apareça dm. Aparece, todavia vamos gerar um “ciclo”. Faça as
contas!
Assim, pensando um pouco mais, se N for a raiz em questão, N² =
x² - 3 ou, N² + 3 = x² (somas de quadrados... Pitágoras... Triângulo
retângulo... Trigonometria). Lembre-se que “3” é o quadrado da raiz
quadrada de 3.
Deste modo ou recordamos as derivadas das funções
trigonométricas inversas para esta integral ou vamos recordar a
técnica de integração conhecida como substituição trigonométrica.
Todavia, nada nos impede de trabalhar com substituições
hiperbólicas. As relações são parecidas:
• cosh²(X) – senh²(x) = 1;
• Dividindo por cosh²(x): 1 – tgh²(x) = sech²(x);
• Dividindo por senh²(x): cotgh²(x) – 1 = cosech²(x).
Neste caso, resolveremos inicialmente por substituição
hiperbólica. Como temos o “hábito” de operar com o “1” na raiz,
colocaremos o “3” em evidência:
Se quisermos melhorar ainda mais a visualização, faremos
mudança de variável. Seja
a expressão dentro dos parênteses,
daí, derivando ambos os membros da igualdade me relação à variável
x,
A integral fica:
Organizando:
De cosh²z – senh²z = 1, ajeitando, temos: senh²z = cosh²z – 1.
Nova mudança de variável, seja u = coshz. Por conseguinte, du =
senhz.dz e a integral fica:
=
Estamos usando a definição de cosh(z). Desenvolvendo a escrita,
isto é, e-z = 1/ez e usando o quociente de frações, temos:
Já não há resistência... Seja b = ez daí, db = ezdz. Caímos na
integral de db/(b² + 1) que fornece o arctg(b). É “só” fazer as voltas...
Caso façamos
anteriormente...
substituição
INTEGRANDO TENDO
Assim, seja x =
trigonométrica,
pelo
exposto
FAÇA
POIS
.au = b.tgx
E, du =
(b/a).sec²x.dx
.(au)² = b².tg²x
.: a²u² + b² =
b².sec²x
.au = b.secx
E, du =
(b/a).secx.tgx.dx
.(au)² = b².sec²x
.: a²u² – b² =
b².tg²x
.au = b.senx
E, du =
(b/a).cosx.dx
.(au)² = b².sen²x
.: b² – a²u² =
b².cos²x
de onde dz =
Por conseguinte,
Fazendo as devidas substituições na integral, temos:
EXERCITANDO
Agora é com vocês. Resolver as integrais usando, quando necessário,
uma substituição trigonométrica (ou hiperbólica):
1.
SOLUÇÃO
Notemos que e2x = (ex)². Assim, seja u = ex, por conseguinte, du
= exdx
Desta feita, e2x – 1 = u² - 1.
Logo,
Lembremos que k = k.1 = k.(u/u), desde que u não seja igual
a zero. Assim, multiplicamos tanto o numerador quanto o
denominador por ex.
2.
SOLUÇÃO
Dado que (lnx)’ = 1/x, fazendo u = lnx, com du = dx/x, temos:
∫du/u = ln|u| + C = ln|lnx| + C
Erro frequente: não perceber as derivadas envolvidas. Neste
caso, repetimos: (lnx)’ = 1/x.
3.
SOLUÇÃO
Tentativa inicial: mudança de variável sendo a nova variável a
função “de dentro” da composição. Façamos v = ex + 1. Assim sendo,
dv = exdx. Por conseguinte, ∫v-1/2dv = 2(ex + 1)1/2 + C.
4.
SOLUÇÃO
Conforme observamos, há composição. Assim, seja v = e-x
Por conseguinte, dv = - exdx = -dx/ex.
Logo, ficamos com: ∫coshv(-dv) = -senh(v) + C = -senh(e-x) + C
5.
SOLUÇÃO
Consideremos v = lnx (pois está “dentro” da composição).
Daí, dv = dx/x.
Assim, ∫dv/senh²v = ∫cosech²vdv = -cotgh(v) + C = -cotgh
(lnx) + C...
Neste caso, podemos até desenvolver um pouco mais!
6.
SOLUÇÃO
Inicialmente, consideremos x ≠ -1 (por quê?)
Como o numerador tem grau maior que o denominador, vamos
dividir polinômios.
Obs.: Caso precisemos, podemos usar a soma de integrais.
Neste caso em particular, lembrar produtos notáveis: x³ + 1 =
x³ + 1³.
Como a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²), segue-se que x³ + 1 = (x +
1)(x² - x + 1).
Por conseguinte, (x³ + 1)/(x + 1) = x² - x + 1.
Logo a integral fica: ∫( x² - x + 1)dx = x³/3 – x²/2 + x + C
7.
SOLUÇÃO
Aparecendo lnx no integrando e x no denominador... Fazemos z
= lnx e dz = dx/x.
Assim a integral fica:
.
Estratégias:
i. Dividir polinômios.
ii. Mexer com a expressão: notemos que 2 – z² = 1 + (1 – z²) = 1
+ (1 – z)(1 + z).
Daí, 2 – z² ao ser dividido por 1 + z equivale a:
Comparemos o resultado obtido em cada uma das estratégias...
é o mesmo!
Assim, a integral resulta em ln|1 + z| + z – z²/2 + C = ln|1 +
lnx| + lnx – (lnx)²/2 + C
Erro frequente: não perceber a mudança u = lnx.
8.
SOLUÇÃO
Notemos que x² - 2x + 2 = x² - 2x + 1 + 1 = (x – 1)² + 1.
Fazendo z = x – 1, temos que dz = dx.
Por conseguinte,
Obs.: Acrescentaremos “C” só no final...
A integral da direita do “+” é 2.arctgz = 2.arctg(x – 1).
Já a da esquerda, se u = z² + 1, então du = 2zdz e ficamos com
∫du/2u = ½.ln|u|
Voltando para z: ½.ln|z² + 1| - o módulo pode ser retirado...
Por qual motivo?
Voltando para x: ½.ln|(x – 1)² + 1| = ½.ln|x² - 2x + 2|
Por fim, ½.ln|x² - 2x + 2| + 2.arctg(x – 1) + C
Erro frequente: não desenvolver expressões para usar as
fórmulas das tabelas.
9.
SOLUÇÃO
Vamos desenvolver...
Diante da composição mais interna, seja u = ex, por
conseguinte, du = exdx.
Assim,
Faremos agora substituição trigonométrica: u =
. Com
efeito, 2 – u² = 2 – 2sen²v = 2cos²v.
Além disso, du =
Por conseguinte,
10.
SOLUÇÃO
Como há raiz quadrada e raiz sexta e o m.m.c. entre “2” e “6” é
“6”, seja x = z6. Por conseguinte, dx = 6z5dz.
Daí,
Por fim,
Lembrando que fizemos divisão de polinômios, ou, de maneira
equivalente, reescrevemos o numerador como z² + 1 – 1.
Voltando para a variável x...
0k = ln1/2 = - ln2...
PARADA OBRIGATÓRIA
Vamos, no próximo tópico, definir equações diferenciais.
FONTES DAS IMAGENS
1. http://www.adobe.com/go/getflashplayer
Responsável: Professor Jorge Carvalho Brandão
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual