Determinantes
Consideramos o conjunto das matrizes quadradas de elementos reais.
Seja M uma matriz de ordem n desse conjunto. Chamamos determinante
da matriz M o número que podemos obter operando com os elementos de
M da seguinte forma:
Determinante de ordem 1
M=
a11 
det M = a11
EXEMPLO:
A=
16
det A = 16
Determinantes
Determinante de ordem 2
 a11
M= 
 a21
a12 
a22 
det M = a11. a22 - a12. a21
EXEMPLO:
A=
 5 1
 7 3


det A = 5.3 - 1.7 = 8
Determinantes
Determinante de ordem 3
 a11
M =  a21

 a31
a12
a22
a32
a13  a11 a12
a23  a21 a22
a33  a31 a32
a13.a22.a31 a11.a23.a32 a12.a21.a33 a11.a22.a33 a12.a23.a31
det M =
a13.a21.a32
(a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32) – (a13.a22.a31 + a11.a23.a32 + a12.a21.a33)
Determinantes
Determinante de ordem 3
EXEMPLO:
 1 2 3  1 2
A= 

5
0
5
2
0


 3 1 4  3 1
3.5.3
1.2.(-1)
det A =
(-2).0.4
1.5.4
(-2).2.3
3.0.(-1)
(1.5.4 + (-2).2.3 + 3.0.(-1)) – (3.5.3 + 1.2.(-1) + (-2).0.4)
det A = - 35
Determinantes
Teorema Fundamental (Laplace)
• Menor Complementar
Dada uma matriz quadrada A, chamamos menor complementar do
elemento aij, e indicamos por Mij, o determinante da matriz quadrada de
ordem n – 1, que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j da matriz A.
 a11
a
A =  21
 a31
a12
a22
a32
a13 
a23 
a33 
 a22
M11 = 
 a23
a23 
a 33 
Determinantes
Teorema Fundamental (Laplace)
• Menor Complementar
Dada uma matriz quadrada A, chamamos menor complementar do
elemento aij, e indicamos por Mij, o determinante da matriz quadrada de
ordem n – 1, que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j da matriz A.
 a11
a
A =  21
 a31
a12
a22
a32
a13 
a23 
a33 
 a11
M23 = 
 a31
a12 

a32 
Determinantes
Teorema Fundamental (Laplace)
• Co-fator
Chamamos co-fator do elemento aij, e indicamos com Aij,
o número (–1)i+j · Mij, em que Mij é o menor complementar
de aij.
 a11
a
A =  21
 a31
a12
a22
a32
Aij =(-1)i+j.Mij
a13 
 a11

a23  A11 = (-1)1+1.M11 = (-1)2. 
a31

a33 
a12 

a32 
Determinantes
Teorema Fundamental (Laplace)
• Co-fator
 a11
A = a
 21
 a31
a12
a22
a32
Matriz co-fator
 A11
Cof A=  A21

 A31
Aij =(-1)i+j.Mij
a13 

a23 
a33 
A12
A22
A32
A13 
A23 
A33 
Determinantes
Teorema Fundamental (Laplace)
• Determinante de uma matriz de ordem n
O determinante de uma matriz quadrada de ordem n, , é a soma dos
o número (–1)i+j · Mij, em que Mij é o menor complementar
de aij.
 a11
a
A =  21
 a31
det A = a11.A11 + a21.A21 + a31.A31
a12
a22
a32
a13 
a23  det A = a21.A21 + a22.A22 + a23.A23
a33 
det A = a31.A31 + a32.A32 + a33.A33
Determinantes
Regra de Chió
Abaixamento de ordem de um determinante
Exemplo:
A=
B=
1 2 4
3 7 5

1 10 4

3 8 2
2
6 
5

3
 7  (3.2) 5  (3.4) 6  (3.2) 
10  (1.2) 4  (1.4) 5  (1.2) 


 8  (3.2) 2  (3.4) 3  (3.2) 
det A = det B
=
1 7 0 
 8 8 3 


 2 10 3