Curso de Álgebra Linear
Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis
Resumo Teórico 09 – Transformações Lineares
IV – Matriz de uma TL
MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
Considerando, sobre IR, os Espaços Vetoriais U de dimensão n e V de dimensão m.
Considerando também uma Transformação Linear F: U →V.
Consideremos também as Bases B={ u1 , u2 , u3, …… un} de U e C={ v1 , v2 , v3, …… vm} de V.
Desta forma cada um dos vetores, imagens de ui , F(u1), F(u2), F(u3), …….., F(un), está em V e
consequentemente é combinação Linear dos vetores da Base C.
Assim teremos:
F(u1) = a11 v1 + a21 v2 + a31 v3 +…… am1 vm
F(u2) = a12 v1 + a22 v2 + a32 v3 +…… am2 vm
F(u3) = a13 v1 + a23 v2 + a33 v3 +…… am3 vm
-----------------------------------------------F(un) = a1n v1 + a2n v2 + a3n v3 +…… amn vm
a11 a12 a13…… a1n
a21 a22 a23…… a2n
A matriz mxn sobre IR: a31 a32 a33…… a3n
-----------------am1 am2 am3…… amn
que se obtém dos aij reais, conforme acima, é
definida como Matriz da Transformação Linear F, em relação as Bases B e C .
Notamos esta matriz de Transformação Linear por : (F) B,C .
Proposições:
a) Se F é um Operador Linear e considerando B=C, diremos apenas matriz de F em relação à
Base B, para referir a Matriz do Operador Linear e utilizaremos apenas a notação (F).
b) Sempre que não houver dúvidas, quanto ao par de bases que estamos considerando,
escreveremos também apenas (F), para indicar a Matriz da Transformação Linear F em
relação a este par de Bases.
c) Considerando, sobre IR, os Espaços Vetoriais U de dimensão n e V de dimensão m e as
Bases B={ u1 , u2 , u3, …… un} de U e C={ v1 , v2 , v3, …… vm} de V, a Aplicação F →(F) que a
cada F∈ L(U,V) associa a matriz de F em relação as bases B e C é uma Aplicação Bijetora.
d) Dados os espaços vetoriais U e V sobre IR, ambos de Dimensão Finita e fixadas uma base B
de U e uma base C de V, a Aplicação F →(F) é um Isomorfismo do Espaço Vetorial L(U,V)
no Espaço Vetorial das matrizes Mmxn (IR). Assim a Dimensão de L(U,V) = m•n.
e) Fórmula de Mudança de Base para um Operador Linear: (F)C = M-1 • (F)B • M , onde M é a Matriz
Mudança de Base de B para C.
Exemplo:
Determinar a Matriz da Transformação Linear F: IR3 → IR2 dada por F(x, y, z) = (x+y, y+z) em
relação as Bases B={ u1 , u2, u3 }={(1,0,0); (0,1,0), (0,0,1)} e C={ v1 , v2 }={(1, 0); (1, 1)}.
Solução: Considerando que F(u) = F(x, y, z)= (x+y, y+z), determinando as imagens F(ui) dos
vetores da base B, teremos:
F(u1) = F(1,0,0) =(1+0 , 0+0) = (1 , 0 )
F(u2) = F(0,1,0) =(0+1 , 1+0) = (1 , 1 )
F(u3) = F(0,0,1) =(0+0 , 0+1) = (0 , 1 )
Escrevendo as imagens F(ui) dos vetores da base B, como Combinação dos vetores vi da base C
teremos:
F(u1) = (1 , 0 ) = a11 v1 + a21 v2= a11 (1,0) + a21 (1, 1) Î a11 = 1 e a21=0
F(u2) = (1 , 1 ) = a12 v1 + a22 v2= a12 (1,0) + a22 (1, 1) Î a12 = 0 e a22=1
F(u3) = (0 , 1 ) = a13 v1 + a23 v2= a13 (1,0) + a23 (1, 1) Î a13 =-1 e a23=1
Assim teremos:
F(u1) = 1v1 + 0 v2
F(u2) = 0v1 + 1 v2
F(u3) = -1v1 + 1 v2
Logo (F) B,C =
1
0
-1
0
1
1
MATRIZ DA TRANSFORMAÇÃO COMPOSTA
Considerando, sobre IR,
dimensão p.
os Espaços Vetoriais U de dimensão n , V de dimensão m e W de
Considerando também as Bases B={ u1 , u2 , u3, …… un} de U , C={ v1 , v2 , v3, …… vm} de V e
D={ w1 , w2 , w3, …… wp} de W.
Considerando as Transformações Lineares F:U →V∈ L(U,V), G:V →W∈ L(V,W) e que (F) B,C= aij
e (G) C,D = bki , obtemos a Matriz da Transformação Linear Composta (GoF) B,D.
Para esta matriz teremos a Igualdade: (GoF) B,D= [(G) C,D] • [(F) B,C] .
Exemplo: Considerando os Operadores Lineares do IR2 , F: IR2 → IR2 dado por F(x, y) = (x, x-y)
e F: IR2 → IR2 dado por G(x, y) = (x+y, 2x). Determinar FoG em relação a Base Canônica
B={(1,0), (0,1)}.
Solução:
(FoG)(1,0)=F(G(1,0))=F(1+0,2 •1)=F(1,2)=(1, 1-2)=(1,-1)
(FoG)(0,1)=F(G(0,1))=F(0+1, 2 •0)=F(1,0)=(1,1-0)= (1,1)
Logo Î(FoG) =
1
1
-1
1
Centro Universitário da FSA
Prof.: Anastassios H.K.