A matemática não precisa ser uma tortura. Basta
entendê-la. Para isso: preste atenção!!!
SilvanaWBenvenutti
Turma:301
Determinantes
Determinante é um número real associado a uma matriz
quadrada.
Notação: det A ou |A|.
Determinante de uma Matriz Quadrada de 1ª Ordem.
Seja a matriz A = (a11). O determinante de A será o
próprio elemento a11.
A = ( 3 ) , logo | A | = 3
Determinante de uma Matriz Quadrada de 2ª Ordem.
Seja a matriz de 2ª ordem:
A=
a11
a12
a21
a22
O determinante associado à matriz A é o
número real obtido pela diferença entre o
produto dos elementos da diagonal
principal e o produto dos elementos da
diagonal secundária.
a11
a12
a21
a22
- (a12 · a21)
= a11 · a22 – a12 · a21
a11 · a22
Determinante de uma Matriz Quadrada de 2ª Ordem.
Ex: 1)
7 2 
A

3 5
7 2
3 5
-
= 7.5 - 2.3 = 29
+
Ex: 2)
2 3
 2.10  3.6  20  18  2
6 10
Determinante de uma Matriz Quadrada de 3ª Ordem.
Neste caso utilizamos um processo prático chamado
Regra de Sarrus.
Ex: 1)
2  1 3 2 1
5 2 1 5 2
3 1 4 3 1
16 – 3 + 15 –18 –2 + 20 = 28
Ex: 2)
10
6
2
0
1 10 0
2 0 6 2
1 1 0 1
20 + 0 + 6 + 4 + 0 + 0 = 30
Casos em que um determinante é igual a ZERO:
1 3 5
Ex: 1) 2  9 8  0
0 0 0
1 0 5
2) 2 0 8  0
5 0 16
• Quando todos os elementos de uma fila são nulos
Casos em que um determinante é igual a ZERO:
3)
1
2
9
0
8 1
1 2
3
9
2
0
0

1
9
8
3 9 6
4)  1 0  2  0
4 8 8
L1  L 3
2.C 1  C 3
• Quando possui duas filas paralelas iguais ou proporcionais
Casos em que um determinante é igual a ZERO:
1 6 9
5) 3 5 0  0
4 11 9
L1  L 2  L 3
1
3
5
0
6) 3
0
1
7
7
7
9
0
8
2.C1  C 2  C 3
7 5 9 0
Se uma linha (ou coluna) for combinação linear de
outras duas linhas(ou colunas)
Outras propriedades:
2 3
 18  12  6
Ex: 1)
4 9
a
2) Se x
r
b c
y z  10,
s t
2 4
 18  12  6
3 9
a
então b
c
• det(A)=det(At)
x r
y s  10
z t
Outras propriedades:
2 0 0
5 3 0  2.3.7  42
7 9 7
Ex: 1)
2 7 8 0
2)
0
0
5 8 6
 2.5.3.2  60
0 3 5
0
0 0 2
• O determinante de uma matriz triangular é igual ao
produto dos elementos da diagonal principal
Outras propriedades:
Ex: 1)
2 5
 18  15  3
3 9
a b c
2) Se x y z  5,
r s t
5 2
 15  18  3
9 3
r
então x
a
s
y
b
t
z  5
c
• Quando trocamos a posição de duas filas paralelas, o
determinante troca de sinal
Outras propriedades:
Ex: 1)
2 3
6
4 9
a
2)Se x
r
5 .2 3
 5.6  30
5 .4 9
b c
a
b
c
y z  10, então 7.x 7. y 7.z  7.10  70
s t
r
s
t
• Se uma fila for multiplicada por um no, então o
determinante também fica multiplicado por esse no
Outras propriedades:
Ex: 1)
2 3
6
4 9
5.2 5.4
 5 2 .6  150
5.3 5.9
2) Se A é 3x3 com det(A) 5, então
3
det(2.A) 2.det(A)
 8.5  40
• det(k.A)=kn.det(A), onde n é a ordem de A
Outras propriedades:
Ex:
3 2
 4 1
 e B  
.
Sejam A  
5 7
 2 3
Quantovaledet(A.B)?
detA  11
detB  10
det(A.B) 11.10  110
• det(A.B)=detA.detB
Consequênc
ia :
A.A-1  I
 det(A.A-1 )  det(I)
 det(A).det(A -1 )  1
 det(A-1 )  1/detA
 2 5
 é :
Ex: O determinante da inversade A  
 3 9
det(A-1 )  1/detA  1/3
• det(A-1)=1/detA
Para determinantes com ordem
n>3, usaremos o TEOREMA
DE LAPLACE.
Ele também serve para ordens
menores.
Menor Complementar (Dij)
É o determinante da matriz obtida após ser
eliminada a linha e a coluna do elemento aij
considerado.
Exemplo:Calcule D12
 0 1 2 


A   3 4 5
 2 7 1 


3 5
2 1
det = 3 + 10
det = 13
D12 = 13
V – Cofator
i j
Cij  (1) . Dij
Ex. Dada a matriz
21
 0 1 2 


A   3 4 5  , calcule C21
 2 7 1 


C21  (1) . D21
1 2
C21  (1) .
7 1
3
C21  (1) . [1 14]
C21  15
Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz A = (aij)n (n ≥ 2) é obtido
multiplicando-se cada elemento de uma das filas (linha ou coluna) da
matriz A pelo seu respectivo cofator e adicionando-se os resultados.
Exemplo:
1 5 2


A  2 4 1
5 6 3


Escolhemos a 1a linha para calcular os cofatores.