12 Vectores e Matrizes
12.1 Sistema de equações lineares
n → nº de incognitas
m → nº de equações
aij→ coeficiente da equação i da variavel j.
Caso geral:
⎧a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1
⎪
⎪
⎪
⎪a21 x1 + a22 x2 + … + a2 n xn = b2
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩am1 x1 + am 2 x2 + … + amn xn = bm
Um sistema de equações lineares pode:
1. Ter uma unica solução
2. Ter mais do que uma unica solução
3.Não ter solução
Obs.1.
No caso 1 e 2 diz-se que o sistema é
consistente (ou possivel) porque pode obter
pelo menos uma unica solução
No caso 3 diz-se que o sistema é
inconsistente (ou impossivel)
12.2 Vectores
Vector linha de dimensão n:
uma CL envolvendo os n-vectores:
x1a1 + x2a 2 + … + xna n = b ⇔
⎡ a1n ⎤ ⎡b1 ⎤
⎡ a11 ⎤
⎡ a12 ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ a ⎥ ⎢b ⎥
⎢ a21 ⎥
⎢ a22 ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⇔ x1 ⎢ ⎥ + x2 ⎢ ⎥ + … + xn ⎢⎢ 2 n ⎥⎥ = ⎢⎢ 2 ⎥⎥ ⇔
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ a ⎥ ⎢b ⎥
⎢a ⎥
⎢a ⎥
⎣⎢ m1 ⎦⎥
⎣⎢ m 2 ⎦⎥
⎣⎢ mn ⎦⎥ ⎣⎢ n ⎦⎥
⎡ x1a11 ⎤ ⎡ x2 a12 ⎤
⎡ xn a1n ⎤ ⎡b1 ⎤
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢ x a ⎥ ⎢b ⎥
⎢x a ⎥ ⎢x a ⎥
⇔ ⎢⎢ 1 21 ⎥⎥ + ⎢⎢ 2 22 ⎥⎥ + … + ⎢⎢ n 2 n ⎥⎥ = ⎢⎢ 2 ⎥⎥ ⇔
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ x a ⎥ ⎢b ⎥
⎢x a ⎥ ⎢x a ⎥
⎣⎢ 1 m1 ⎦⎥ ⎣⎢ 2 m 2 ⎦⎥
⎣⎢ n mn ⎦⎥ ⎣⎢ m ⎦⎥
⎧
⎪ x1a11 + x2 a12 + … + xn a1n = b1
⎪
⎪
⎪ x1a21 + x2 a22 + … + xn a2 n = b2
⇔⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ x1am1 + x2 am 2 + … + xn amn = bm
Regras de multiplicação e adição por escalares
a,b e c → n-vectores; o → vector nulo dimensão n
(a1 , a2 ,… , an )
Vector coluna de dimensão n:
⎡ a1 ⎤
⎛ ⎞
⎜a1 ⎟⎟
⎢ ⎥
⎢ ⎥ ou ⎜⎜⎜ ⎟⎟
⎢ ⎥
⎜⎜ ⎟⎟⎟
⎢a ⎥
⎜⎝an ⎠⎟
⎣ n⎦
Operações sobre vectores
α,β → escalares
Adição
(a + b) + c = a + (b + c) → associativa
a + b = b + a → comutativa
a + 0 = a → o é o elemento neutro da adição
a−a = 0
→ igualdade
(a1 , a2 ,… , an ) = (b1 , b2 ,… , bn )
Multiplicação por escalares
sse ai = bi , i = 1, 2,… , n
→ adição
(a1 , a2 ,… , an ) + (b1 , b2 ,… , bn ) = (a1 + b1 ,… , an + bn )
→ multiplicação de um vector por um
→ combinação linear entre n-vectores
⎡ a1n ⎤
⎡ a11 ⎤
⎡ a12 ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ a21 ⎥
⎢ a22 ⎥
⎢a ⎥
a1 = ⎢⎢ ⎥⎥ , a 2 = ⎢⎢ ⎥⎥ , … ,an = ⎢⎢ 2 n ⎥⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢a ⎥
⎢a ⎥
⎢a ⎥
⎣⎢ m1 ⎦⎥
⎣⎢ m 2 ⎦⎥
⎣⎢ mn ⎦⎥
x1 , x2 ,… , xn → escalares
escalar
é_um_numero_real
t (a1 , a2 ,… , an ) = (ta1 , ta2 ,… , tan )
(α + β ) a = αa + βa → distributiva adição escalares
α (a + b) = αa + αb → distributiva adição vectores
α (βa) = (αβ ) a → associativa
→ subtração
Sejam a e b vectores de dimensão n
O produto Escalar entre a e b é defenido como:
⎡ a1 ⎤ ⎡b1 ⎤ ⎡0⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥−⎢ ⎥ = ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ a ⎥ ⎢ b ⎥ ⎢ 0⎥
⎣ n⎦ ⎣ n⎦ ⎣ ⎦
→ combinação linear(CL) entre vectores a e b
a = (a1 , a2 ,… , an ); b = (b1 , b2 ,… , bn ) ou
⎡ a1 ⎤
⎡b1 ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
a = ⎢ ⎥; b = ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢a ⎥
⎢b ⎥
⎣ n⎦
⎣ n⎦
Uma combinação linear entre a e b é:
ta + sb, t e s são escalares
Obs. Seja A m×n e B r× p
-Igualdade
1. O Produto matricial AB está defenido apenas se
a = (a1 , a2 ,… , an )
Consideram-se as matrizes A = (aij )
O comprimento ou norma do vector a define-se como:
Tem-se A = B
a = aia
sse aij = bij , i = 1, 2.… , m; j = 1, 2,… , m
a = a12 + a2 2 +… + an 2
-Adição
aib = (a1 , a2 ,… , an )i(b1 , b2 ,… , bn )
aib = a1b1 +a2b2 +… +anbn
n
aib = ∑ a1b1
i=1
Observação:
Podemos concluir que:
1. a e b é um escalar (e não é um vector)
2.a e b só tá defenido qd a e b são da msm dimensão
Regras para o Produto Escalar
Sejam:
a, b e c vectores de dimensão n
0 o vector nulo de dimensão n
α escalar
a) aib = bia → comutativa
b) ai(b + c) = aib + aic → dist. em relação à (+) d v
c) (αa)ib = ai(αb) = α (aib) → associativa
d) aia > 0 ⇒ a ≠ 0
m×n
icaso n = 1 e a = α
Consideram-se as matrizes A = (aij )
a = α 2 = α → módulo
A adição é defenida como C = A + B
icaso n = 2 e a = (a1 , a2 )
onde C = (aij + bij )
a = a12 + a2 2 → Hipotenusa
⎛1 2⎞⎟ ⎛1 2⎞⎟ ⎛ 2 4⎞⎟
ex. ⎜⎜
⎟+ ⎜⎜
⎟ = ⎜⎜
⎟
⎝⎜3 4⎠⎟⎟ ⎝⎜3 4⎠⎟⎟ ⎝⎜6 8⎠⎟⎟
m×n
e B = (bij )
m×n
iDistância entre dois vectores
e B = (bij )
m×n
nº de colunas de C = nº de colunas de B
A m×n B n× p = Cm× p
iQuestão: Será verdade em geral AB = BA?
1. A e B não são matrizes quadradas
A m×n B n×m = Cm×m
-Multiplicação de uma Matriz por um escalar
Seja a = ( a1 , a2 ,… an ) e b = (b1 , b2 ,… , bn )
n = r → nº de colunas de A = nº de linhas de B
2. Suponha-se k AB ta bem defenido,i.e., n = r.
Então A m×n B r× p = Cm× p isto é:
nº de linhas de C = nº de linhas de A
m×n
B n×m A m×n = Dn×n
Logo AB ≠ BA
2. A e B são matrizes quadradas
A distância entre a e b define-se como:
Seja β um escalar e A = (aij )
a − b = (aib) − (aib)
β A = (β aij )
C e D tem a mesma dimensão.Mas neste caso pd ∃:
⎛1 2⎞⎟ ⎛2 1⎞⎟
⎟
ex. 2 ⎜⎜
⎟=⎜
⎜⎝3 4⎠⎟⎟ ⎝⎜⎜6 8⎠⎟⎟
AB = BA ou AB ≠ BA
iConc. Como ñ se pd garantir p/ qq matriz A e B k
-Matriz nula
⎛
⎞
⎜⎜0 … 0⎟⎟
⎟⎟⎟
0 = ⎜⎜
⎜⎜
⎟
⎜⎝0 … 0⎠⎟⎟
Se p/ 2 Matrizes concretas A e B ocorrer AB = BA
as Matrizes A e B dizem-se Matrizes Permutaveis.
iRegras para a Adição de Matrizes e (×) por escalares
Seja A, B, C matrizes de ordem m× n e α, β escalares
representa um sistema de equações linear com:
m×n
2
2
2
a − b = (a1 − b1 ) + (a2 − b2 ) +… + ( an − bn )
iDesigualdade de Cauchy-Schwarz
A desigualdade Cauchy-Schwarz estabelece
aib ≤ a i b
iDesigualdade triang pa td o a e b com dimensão n
a+b ≤ a + b
iOrtogonalidade
Dois vectores a e b dizem-se ortogonais sse
aib = o
a) ( A + B) + C = A + (B + C) → Associatividade
2
2
iInterpretação geometrica para n = 2
Se aib são vectores ortogonais (perpendiculares)
então o k se forma entre a e b é de 90º e, portanto,
estabelece-se um triângulo rectangulo onde:
2
2
Logo a + b = a − b
d) A − A = 0
Multiplicação por escalares
e) (α +β ) A = α A + β B → Distrib. adição Escalares
f) α ( A + B) = α A + αB → Distrib. adição Matrizes
colunas representa-se na forma
a1n ⎞⎟
⎟
a2 n ⎟⎟⎟
⎟ ou A = (aij )
ou A m×n
m×n
⎟⎟⎟
⎟⎟
amn ⎠⎟
Podemos escrever simplesmente A quando se sabe
ou está implicito que A tem m linhas e n colunas
Coluna 1 da Matriz
⎛ a11 ⎞⎟
Linha 1 da Matriz
⎜⎜ ⎟
a•1 = ⎜⎜ ⎟⎟⎟
a1• = ( a11 a12 … a1n )
⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎝am1 ⎠⎟
m equações n variaveis ou incognitas
ex.
⎛ a11 … a1n ⎞⎟
⎛ x1 ⎞⎟
⎛ b1 ⎞⎟
⎜⎜
⎜
⎜
⎟⎟⎟ , x = ⎜⎜ ⎟⎟⎟ , b = ⎜⎜ ⎟⎟⎟
A = ⎜⎜
⎜
⎜⎜ ⎟
⎟
⎟
⎜⎜
⎜⎜ ⎟⎟
⎟⎟
⎜ ⎟⎟
⎜⎝am1
amn ⎠⎟
⎝⎜ xn ⎠⎟
⎝⎜bn ⎠⎟
⎛ a11 … a1n ⎞⎛
x ⎞ ⎛b ⎞
⎜⎜
⎟⎟⎟⎜⎜ 1 ⎟⎟⎟ ⎜⎜ 1 ⎟⎟⎟
⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇔
Ax = b ⇔ ⎜⎜
⎜⎜⎜
⎟⎟⎟⎜⎜⎜ x ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜b ⎟⎟⎟
amn ⎠⎝
⎝am1
⎝ n⎠
n⎠
Sejam A m×n e B m×n . A multiplicação AB define-se
na seguinte forma
Sejam A, B e C matrizes
Defenição
2
A m×n x n×1 = b m×1
⎧a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1
⎪
⎪
⎪
⎪a21 x1 + a22 x2 + … + a2 n xn = b2
⇔⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪am1 x1 + am 2 x2 + … + amn xn = bm
⎪
⎩
12.8 Regras para a multiplicação de matrizes
12.7 Multiplicação de Matrizes
12.6 Matrizes e Operações elementares sobre Matrizes
A com m linhas e n
⎛ a11 a12 …
⎜⎜
⎜⎜ a
a21 …
A = ⎜⎜ 21
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎝am1 am1 …
iSistema de Equações na forma Matricial
b) A + B = B + A → Comutatividade
c) A + 0 = A → 0 é o elemento neutro da (×)
aib = 0 ⇒ a − b = a + b
B m×m A m×m = Dm×m
AB = BA conclui-se k a (×) d Mat. ñ é comutativa.
Adição
Neste caso escreve-se
a⊥b
Resultado
2
A m×m B m×m = Cm×m
m×n
a − b é a hipotenusa
(a1 , a2 ,… , an ) − (b1 , b2 ,… , bn ) = (a1 − b1 ,… , an − bn )
→ vector nulo} tdas as coordenadas são (=) a zero
(a1 , a2 ,… , an ) − (b1 , b2 ,… , bn ) = (0, 0,… , 0)
Operações Matriciais elementares:
a e b são os catetos
1a = a
12.4 Produto Escalar
⎡ 0⎤
⎢ ⎥
0 = (0, 0,… , 0)
0=⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ 0⎥
⎣ ⎦
_define-se da seguinte forma
iComprimento ou norma de vectores
Considere-se:
AB = Cm×n = (cij )m×n
A = ( aij )
m×n
cij = ai•b• j
n
, C = (cij )
p×q
c) ( A + B) C = AC + AB → Distributiva à direita
k =1
ex.
a12
a22
iPotências de Matrizes
⎛b11 b12 ⎞⎟
⎟
a13 ⎞⎟
⎜⎜
⎟⎟ ; B = ⎜⎜b21 b22 ⎟⎟⎟
⎜⎜
⎟
⎟
a23 ⎠
⎜⎝b31 b32 ⎠⎟⎟
A n = AA … A
n vezes
A 2×3B3×2 = C2×2
⎛a
AB = ⎜⎜ 11
⎜⎝a21
n× p
b) A (B + C) = AB + AC → distributiva à esquerda
cij = ∑ aik bkj
⎛a
A = ⎜⎜ 11
⎜⎝a21
, B = (bij )
a) ( AB) C = A (BC) → associativa
a12
a22
⎛b11 b12 ⎞⎟
⎟ ⎛a b
a13 ⎞⎟⎜⎜
⎟⎜⎜b21 b22 ⎟⎟⎟ = ⎜⎜ 1• •1
⎟
⎟ ⎜⎝a2•b•1
a23 ⎠⎟⎜⎜
⎜⎝b31 b32 ⎠⎟⎟
a1•b•2 ⎞⎟
⎟
a2•b•2 ⎟⎠⎟
iMatriz Identidade
⎛1 0 … 0⎞⎟
⎜⎜
⎟
⎜⎜0 1 … 0⎟⎟
⎟⎟⎟ → matriz quadrada de ordem n
I n = ⎜⎜
⎜⎜
⎟⎟
⎟
⎜⎜
⎜⎝0 0 … 1⎠⎟⎟
a1•b•1 = a11b11 + a12b21 + a13b31
Propriedades
a2•b•1 = a21b11 + a22b21 + a23b31
1.Seja A 1a matriz quadrada de ordem n (A n×n ). Então
m× n designa-se uma Matriz quadrada de ordem n
a1•b•2 = a11b12 + a12b22 + a13b32
iConsidera-se uma Matriz quadrada A = ( aij )
a2•b•2 = a21b12 + a22b22 + a23b32
AI = A IA = A
2. Seja A m×n . Então
Defenição
i Uma Matriz com tantas linhas quantas colunas,isto é,
n×n
A Diagonal principal de A é formada pelos elementos:
a11 , a22 ,… , ann
⎛ a b + a12b21 + a13b31
AB = ⎜⎜ 11 11
⎜⎝a21b11 + a22b21 + a23b31
a11b12 + a12b22 + a13b32 ⎞⎟
⎟
a21b12 + a22b22 + a23b32 ⎠⎟⎟
A m×n I n = A m×n
I m A m×n = A m×n
3. I é a unica matriz k verifica a propriedade AI = A
(p/ qq matriz A). I é o ele/ neutro da (×) de matrizes.
13.2 Determinates de ordem 3
⎛ a11 a12 a13 ⎞⎟
⎜⎜
⎟
A = ⎜⎜a21 a22 a23 ⎟⎟⎟
⎜⎜⎜a a a ⎟⎟⎟
⎝ 31 32 33 ⎠
iMatriz Idempotente
Ai A = A
i Notas finais
1. Pode existir ou não AB = BA.
2. AB = 0 não implica que A = 0 ou B = 0.
13.4 Regras para determinantes
Conside-se uma Matriz quadrada de ordem n
1. Se A possui pelo menos 1a linha ou 1a coluna
de zeros, então: A = 0
a a a + a13 a21a32 + a12 a23a31
A = 11 22 33
−a13a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23a32
2. A = A '
13.7 Formula Geral p/ a Inversa de 1a Matriz
Considere-se: A n×n ; Cij cofactor do el/ aij
Pode-se provar k:
⎧
⎪
⎪ A se k = i
ai1Ck 1 + ai 2Ck 2 + … + ainCkn = ⎨
⎪
⎪
⎩ 0 se k ≠ i
a11 a12 a13
ex. A = a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11
a12
a13
a21
a22
a23 = −1
a31
a32
a33
Mas A = 0 ou B = 0 ⇒ AB = 0
3. A ≠ 0; AB = AC não implica B = C
iRegra de Sarrus (apenas válida para n = 3)
4. A ≠ 0; AB = A não implica B = I
Hipotese 1:
5. Se impusermos certas condições(inversa)é possivel
trocar a exprexão ''ñ implica'' por ''implica'' em 2, 3, 4.
12.9 Transposição de Matrizes
B =α A
-termos positivos
ex.
a11 a12 a13
⎛a a ⎞
a a
A = ⎜⎜ 11 12 ⎟⎟⎟ ; α A = α 11 12
⎜⎝ a21 a22 ⎠⎟
a21 a22
Teor. Seja A n×n . Então
A = ai1Ci1 + ai 2Ci 2 + … + ainCin
-termos negativos
αa αa12
αa11 a12
ou
ou … = α A
B = 11
a21 a22
αa21 a22
a11 a12 a13
a21 a22 a23 → −a13 a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23 a32
4. A troca de uma linha por outra altera o sinal
do determinate. (O msm se aplica às colunas)
A = a1 j C1 j + a2 j C2 j + … + anj Cnj
a31 a32 a33
1 2
3 4
= −2;
=2
ex.
3 4
1 2
Matriz transposta de A → A ' ou A T
a21 a22 a23 → a11a22 a33 + a13a21a32 + a12 a23 a31
a31 a32 a33
caso geral de uma matriz A m×n
⎛ a11 a12 … a1n ⎞⎟
⎛ a11
⎟⎟
⎜⎜⎜
⎜⎜⎜
⎜⎜ a21 a22 … a2 n ⎟⎟
⎜a
⎟⎟ ⇒ A ' = ⎜⎜ 12
A =⎜
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎜
⎜⎝am1 am 2 … amn ⎠⎟
⎝⎜⎜a1n
3. Seja B a Matriz k se obtem de A apos se
(×) 1a qq linha (ou coluna) de A por α. Então
a21 … am1 ⎞⎟
⎟
a22 … am 2 ⎟⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟
a2 n … amn ⎟⎟⎠
Linha 1 de A passa a ser coluna 1 de A '…
Elemento ij de A = Elemento ji de A '
A m×n = A n×m
iRegras para a Transposição de Matrizes
a) ( A ') ' = A
b) ( A + B) ' = A '+ B ' (A e B tem dimensões iguais)
Hipotese 2
-termos positivos
-termos negativos
a11 a12 a13 a11 a12
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a23
a21 a22 a23 a21 a23
a31 a32 a33 a31 a32
+
+
+
a31 a32 a33 a31 a32
−
−
−
iRegra de Cramer (n = 3, A ≠ 0)
x1 =
i A = ai1Ck1 + ai 2Ck 2 +… + ainCkn = 0, k ≠ i
1. Considere-se a Matriz A
a11 a12 b1
a21 a22 b2
ex.
iMatrizes Simétricas
b3 a32 a33
a31 b3 a33
a31 a32 b3
a11 ka12
a a
= k 11 12 = 0
a11 ka12
a11 a12
A = (aij )
13.3 Determinantes de ordem n
P, Q são ortogonais ⇒ Produto é ortogonal
(PQ)'i(PQ)=I
iTraço de A (só matrizes quadradas)
n
tr ( A) = ∑ aii = a11 + a22 + … + a33
i =1
13 Determinantes e Inversão de Matrizes
13.1 Determinantes de ordem 2
⎛a a ⎞
= a11a22 − a12 a21
A = ⎜⎜ 11 12 ⎟⎟⎟ ⇒
A
⎝⎜a a ⎠⎟
22
determinante de A
Notas:
1. O determinante é um escalar
2. A não significa módulo de A
3. vectores coluna são colineares ⇒ A = 0
dem.
⎛a ⎞
⎛ ka ⎞
a•1 =⎜⎜⎜ 11 ⎟⎟⎟; a•2 = ka•1 =⎜⎜⎜ 11 ⎟⎟⎟
⎜⎝a21 ⎠⎟
⎝⎜ka21 ⎠⎟
⎛ a11 ka11 ⎞⎟
⎟⎟⇒ A = a11ka21 −ka11a21 =0
A =⎜⎜⎜
⎜⎝a ka ⎠⎟
21
21
4. vectores linha são colineares ⇒ A = 0
iRegra de Cramer (n = 2)
Considere-se o SEL m = 2 e n = 2
⎧ a11 x1 + a12 x2 = b1
⎛ a a ⎞⎛ x ⎞ ⎛ b ⎞
⎪
⎪
⇔ ⎜⎜ 11 12 ⎟⎟⎟⎜⎜ 1 ⎟⎟⎟ = ⎜⎜ 1 ⎟⎟⎟
⎨
⎟⎜ x2 ⎠⎟ ⎝⎜b2 ⎠⎟
⎪
⎪
⎩a21 x1 + a22 x2 = b2 ⎝⎜a21 a22 ⎠⎝
hipoteses de resolução:
-pelo método habitual
-pela regra de Cramer (supondo A ≠ 0)
b1 a12
x1 =
A
é simétrica sse aij = a ji para todo o i, j.
n×n
iP é ortogonal sse P 'iP = I
21
; x3 =
a11 b1
b2 a22
a b
; x2 = 21 2
A
A
Regras:
a) A é igual à soma n ! termos
b) Cada termo é formado pelo produto da
matriz A de acordo com a regra
a1r1a2 r 2 a3r 3 … anrn , r1 ≠ r 2 ≠ r 3 ≠ … ≠ rn
c) A cada termo é afecto o sinal + ou −
de acordo com a regra
1. Todos os pares são ligados por uma linha
2. Se o nº de linhas inclinada positiva/ for par
afecta-se o sinal positivo (0 tb é par).
Caso contrário afecta-se o sinal negativo
iDeterminante de uma Matriz triângular
1a Matriz triâng. é 1a Matriz quadrada em k
são nulos tdos os ele/s pa 1 dos lados da diagonal
Resultado:
⎛a11 a12 … a1n ⎞⎟
⎜⎜
⎟
⎜⎜ 0 a22 … a2 n ⎟⎟
⎟⎟ = a + a + … + a
⎜⎜⎜
11
22
nn
⎟⎟
⎟⎟
⎜⎜⎜
⎜⎝ 0 0 … ann ⎠⎟⎟
matriz triâng. inferior
Tdos os outros termos têm plo menos 1 ele/ nulo
ex.
⎛1 0 0⎞⎟
⎜⎜
⎟
A = ⎜⎜4 2 0⎟⎟⎟ = 1× 2×3 = 6
⎜⎜⎜5 6 3⎟⎟⎟
⎝
⎠
matriz triâng. superior
Considere-se o SEL (n equações e n incognitas)
⎧ a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1
⎪
⎪
⎪
⎪a21 x1 + a22 x2 + … + a2 n xn = b2
⎪
⇔
⎨
⎪
………………………………
⎪
⎪
⎪
+
+
+
=
…
a
x
a
x
a
x
b
⎪
n2 2
nn n
n
⎩ n1 1
⇔ A n×n X n×1 = b n×1 ; A ≠ 0. Então
A = 0 + 1×(−3) + 2×1 = −1
a11 b1 a13
A
13.8 Regra de Cramer
1 2 3
A=0 1 2=
0C21 + 1C22 + 2C23
ou …
3 5 6 expansão de A em função dos el/s da 2ª linha
2+ 2
2+ 3
a21 b2 a23
; x2 =
ex.
C23 = (−1)
b1 a12 a13
A
iExpansão de A em função dos el/s da coluna j
a11 a12
=0
a11 a12
b2 a22 a23
x1 =
iExpansão de A em função dos el/s da linha i
⎛ a11 a12 … a1n ⎞⎟⎛C11 C21 … Cn1 ⎟⎞ ⎜⎛ A 0 … 0 ⎞⎟
⎜⎜
⎟
⎟⎜
⎟
⎜⎜a21 a22 … a2 n ⎟⎟⎜⎜⎜C12 C22 … Cn 2 ⎟⎟ ⎜⎜⎜ 0 A … 0 ⎟⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎟⎟⎟⎜⎜
⎟⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟
⎟⎜
⎟ ⎜
⎜⎜
⎜⎝ an1 an 2 … ann ⎠⎟⎟⎜⎜⎝C1n C2 n … Cnn ⎟⎠⎟ ⎜⎝⎜ 0 0 … A ⎠⎟⎟
A
AI
(C+ )'=adj(A)
adj( A ) → é a transposta do cofactor de A
Teor.
Seja uma Matriz quadrada tal k A ≠ 0. Então
1
A −1 =
adj( A )
A
C22 = (−1)
d) ( AB) ' = B ' A ' (A m×n e B n× p )
A matriz A diz-se simétrica sse A = A '
a21 a23
a31 a33
5. Se duas linhas ou colunas são iguais
o determinanta é igual a zero
ex.
6. Se duas linhas ou colunas são proporcionais
o determinanta é igual a zero
c) (α A) ' = α A ' (α é escalar)
1+2
C12 = (−1)
1 3
= −3
3 6
1 2
=1
3 5
iRegra de Cramer envolve o valor D j k se calcula:
i A = a1 j C1k + a2 j C2 k +… + anj Cnk = 0, k ≠ j
2. Troca-se a coluna j da Matriz A plo vector b
3. Seja D j o determinante da Matriz k se obtêm
7. Se a uma linha ou coluna for somada outra
linha ou coluna multiplicada por uma constante
( ≠ 0) o determinate não se altera
ex.
13.6 Matriz Inversa
iDef. M n×n ; I n
a11 a12
a a α
a11
a12
= 11 12 =
a21 a22
a21 a22 ↵ a21 + αa11 a22 + αa12
é invertivel e X escreve-se A−1. Ou seja:
Se existir uma Matriz X tal k AX = XA = I
então X é a Matriz Inversa de A ⇒ Diz-se k A
pode-se utilizar esta regra pa triâng. Matrizes
AA−1 = A−1A = I
1 2 1 2 −3
1
2
=
=
=
3 4 3 4 ↵
3 − 3×1 4 − 3× 2
iTeor. A Matriz tem Inversa sse A ≠ 0
1 2
= 1×(−2) = −2
0 −2
Se A = 0 →A designa-se Matriz singular
ex.
⎧ a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1
⎪
⎪
⎪
⎪a21 x1 + a22 x2 + … + a2 n xn = b2
⎪
⇔
⎨
⎪
………………………………
⎪
⎪
⎪
+
+
+
=
a
x
a
x
a
x
b
…
⎪
n2 2
nn n
n
⎩ n1 1
⎛ a11 a12 … a1n ⎞⎛
x ⎞ ⎛b ⎞
⎟⎟⎟⎜⎜ 1 ⎟⎟⎟ ⎜⎜ 1 ⎟⎟⎟
⎜⎜⎜
⎜a a … a2 n ⎟⎟⎜⎜⎜ x2 ⎟⎟ ⎜⎜⎜b2 ⎟⎟
⎟⎟⎜ ⎟⎟ = ⎜ ⎟⎟
⇔ ⎜⎜ 21 22
⎜⎜
⎟⎟⎟⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟⎜⎜ xn ⎠⎟⎟ ⎝⎜⎜bn ⎠⎟⎟
⎜⎝an1 an 2 … ann ⎠⎝
Se A ≠ 0 →A designa-se Matriz ñ singular
8. AB = A B
9. Considere-se A n×n , α ∈
αA = α n A
aplicação da regra 3 n vezes
iInversa: caso n = 2
⎛a b ⎞⎟
1 ⎛⎜ d −b⎞⎟
⎟ ⇒ A−1 =
⎟, A ≠ 0
A = ⎜⎜
⎜
⎜⎝ c d ⎠⎟⎟
A ⎝⎜−c a ⎠⎟⎟
ex.
⎛αa αa12 ⎞⎟
αa αa12
⎟ ; α A = 11
=
α A = ⎜⎜ 11
⎜⎝αa21 αa22 ⎟⎠⎟
αa21 αa22
iResolvendo equações através da Inversa
a a
= α 11 12
a21 a22
a) AX = B ⇔ X = A−1B
2
Matriz A ao valor:
i+ j
Se A ≠ 0 então:
x1 =
D1
D2
b1 a12 … a1n
a11 b1 … a1n
b2 a22 … a2 n
a21 b2 … a2 n
bn an 2 … ann
a b … ann
; x2 = n1 n
;
a11 a12 … a1n
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2 n
a21 a22 … a2 n
an1 an 2 … ann
an1 an 2 … ann
A
A
Dn
b) YA = C ⇔ Y = CA−1
10. A é involutiva sse A 2 = I n , (A n×n )
13.5 Expansão através dos cofactores
Considere-se uma Matriz A quadrada de ordem n
Def. Designa-se cofactor do elemento aij da
Cij = (−1)
D1
D
D
; x2 = 2 ; … ; xn = n
A
A
A
D, onde D é o determinate da
submatriz que se obtem depois de se eliminar
a linha i e a coluna j.
a11 a12 … b1
a21 a22 … b2
iPropriedades da Inversa
A e B são matrizes ñ singulares.
−1
a) A−1 é invertivel e ( A−1 ) = A
−1
b) AB é invertivel e ( AB) = B−1A−1
c) A ' é invertivel e ( A ') = ( A−1 ) '
; …; xn =
an1 an 2 … bn
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2 n
−1
−1
d) (α A ) = α−1A−1 , α ≠ 0 é escalar
an1 an 2 … ann
A
Def.Os vectores {a1 , a 2 , … , an } são LD
Def.
Um menor d ordem k d A é o determinante
duma submatriz de A c/ k linhas e k colunas.
se ∃ pelo menos 1 escalar c1 , c2 , … , cn tal k:
ex.
14.1 Indepêndencia Linear e S.E.L
Indepêndencia linear
c1a1 + c2a 2 + … + cnan = 0
S esta eq. s verificar apenas p/ c1 = c2 = … =
= cn = 0, os vectores {a1 , a 2 , … , an } são LI
ex.
⎡1⎤
⎡ 2⎤
a1 = ⎢ ⎥ ; a 2 = ⎢ ⎥ → sist. pos. inderteminado
⎢⎣ 2⎥⎦
⎢⎣ 4⎥⎦
⎡1⎤
⎡ 2⎤ ⎡ 0 ⎤
c1a1 + c2a 2 = 0 ⇔ c1 ⎢ ⎥ + c2 ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⇔
⎢⎣ 2⎥⎦
⎢⎣ 4⎥⎦ ⎢⎣ 0⎥⎦
⎧
⎧
⎪ c1 + 2c2 = 0
⎪c1 = −2k
,k ∈
⇔⎪
⇔…⇔ ⎪
⎨
⎨
⎪
⎪
2
4
0
c
c
+
=
2
⎪ 1
⎪ c2 = k
⎩
⎩
R: Os vectores são LD pk c1 ≠ c2 ≠ 0.
12
≠0
02
imenores d ordem 3 → ∃ um ( A )
imenores d ordem 2 → ∃ 9
imenores d ordem 1 → ∃ 12
Teor. r (A) é igual à ordem do menor de maior
dimensão que não se anula.
⎡1⎤
⎡ 2⎤
a1 = ⎢ ⎥ ; a 2 = ⎢ ⎥ → sist. pos. derteminado
⎢⎣ 2⎥⎦
⎢⎣ 0⎥⎦
⎡1⎤
⎡ 2⎤ ⎡ 0 ⎤
c1a1 + c2a 2 = 0 ⇔ c1 ⎢ ⎥ + c2 ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⇔
⎢⎣ 2⎥⎦
⎢⎣ 0⎥⎦ ⎢⎣ 0⎥⎦
⎧ c1 + 2c2 = 0
⎧c2 = 0
⎪
⎪
⇔⎪
⇔…⇔ ⎪
⎨
⎨
⎪2c1 + 0c2 = 0
⎪ c1 = 0
⎪
⎪
⎩
⎩
R: Os vectores são LI pk c1 = c2 = 0.
Teor. Consideram-se n vectores a1 , a 2 , … , an
de
m
(m dimensões)
a1 , a 2 , … , an são LD sse pelo menos um deles
poder ser escrito como uma CL dos restantes v.
Dem.
a) a1 , a 2 ,… ,an são LD ⇒ plo (−) 1 v é CL
b) plo (−) 1 v é CL ⇒ a1 , a 2 ,… ,an são LD
Forma eficiente para calcular r ( A) :
-Triangulizando
Troca de Linhas ou colunas
não altera a caracteristica da Matriz pk o determinate não se anula,
apenas muda de sinal.
Notação: A ~ B significa r (A)=r (B)
⎡ 1 1 2⎤
⎥
⎢
ex. r ( A) = ? A = ⎢ 2 0 1⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣ 2 1 1⎦
⎡1 1 2⎤ −2 −2
⎡1 1 2 ⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
A = ⎢ 2 2 1⎥ ↵
~ ⎢0 0 3 ⎥ ~
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ 2 1 1⎥
⎢0 −1 −3⎥
↵
⎣
⎦
⎣
⎦
Troca da 2ª pela 3ª linha
⎡1 1 2 ⎤
⎢
⎥
~ ⎢0 −1 −3⎥ = − 3; r ( A) = 3
⎢
⎥
⎢0 0 3 ⎥
⎣
⎦
c1 =−1
c2 =1
c3 =− 1
4
1
R: a1 é uma CL de a 2 − a3
4
⎛ a11 … a1n ⎞⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎟⎟ = ( a•1 a•2 … a• n )
Teor. A = ⎜⎜
⎜⎜
⎟
⎜⎝am1 amn ⎠⎟⎟
2. Se r ( A) = r ( A b ) = k ⇒ SEL é consistente :
a) S k = n o SEL tem apenas 1a única solução.
b) S k < n o SEL tem 1a infini // d soluções;
gl = n − r ( A) .
ex.(ponto1)
⎧ x1 = 1 ⎛10⎞⎟
⎛1⎞
⎪
⎪
⎜⎜ ⎟⎟⎛ x1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟⎟
⎪
⎨ x1 = 2 ⇔ ⎜⎜⎜10⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟⎟⎟ = ⎜⎜⎜2⎟⎟
⎪
⎜ ⎟⎟⎜⎝ x2 ⎠ ⎜⎜1⎟⎟⎟
⎪
⎪
⎝ ⎠
⎪
⎩ x2 = 1 ⎝⎜01⎠⎟
temos m = 3 ; n = 2
14.3 Principais Resultados sobre SEL
Representação de um SEL:
⎧
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1
⎪
⎪
⎪
⎪ a21 x1 + a22 x2 + … + a2 n xn = b2
⎪
i⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩am1 x1 + am 2 x2 + … + amn xn = bm
i Ax = b
i x1a1 + x2a 2 + … + x2a 2 = b; (ai = a•i )
Seja:
Teor. Suponha-se r ( A) = r ( A b ) < m.
Então ∃ m − r ( A ) eq. supérfluas ou redundantes
que podem ser eliminadas do sistema
ex.(ponto2a)
⎧ x1 = 1 ⎛1 0⎞⎟
⎛ ⎞
⎪
⎜⎜ ⎟⎛ x ⎞ ⎜⎜1⎟⎟
⎪
⎪
⎟ 1
⎟
⎨ x2 = 2 ⇔ ⎜⎜⎜01⎟⎟⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟⎟ = ⎜⎜⎜2⎟⎟
⎪
⎜⎜1 0⎟⎟⎟⎝ x2 ⎠ ⎜⎜1⎟⎟⎟
⎪
=
1
x
⎪
⎝
⎠
⎝
⎠
⎪
⎩ 1
temos m = 3 ; n = 2
⎧
x1 = 1− k
⎪
⎪
, k∈
⎨
⎪
⎪
⎩ x2 = k
sistema possivel c/ infinitas soluções
i Caso Cy + Rz = b *
⎛1 −1 1 2
⎜⎜
⎝⎜0 1 0 1
1⎞⎟ r ( A ) = 2
⎟
1⎠⎟⎟ r ( A b ) = 2
sistema possível
⎛1 0 1⎞⎟
r ( A ) = 2;
⎜⎜
⎟⎟ ⎛1 0 1⎞⎟⎟
⎜⎜⎜0 1 2⎟⎟ ~ ⎜⎜⎜
⎟⎟ ⎝01 2⎠⎟⎟
⎜
r ( Ab ) = 2
⎝⎜0 0 0⎠⎟
3ª linha é uma
eq. supérflua
Como r ( A ) = 2 < m = 3 ⇒ ∃ uma eq. supérflua
pk m − r ( A) = 1. Podemos eliminá-la.
r ( A ) = 2 = r ( Ab ) = 2 ⇒ SEL é consistente
R
y
gl = 4 − 2 = 2
∃ duas variaveis determinaveis
Logo C é do tipo 2×2. Vem:
b*
z
⎛ x ⎞ ⎛1 1⎞⎛
1⎞⎟ ⎛⎜1 1⎞⎛
1 2⎞⎟⎛⎜ x3 ⎞⎟
⇔ ⎜⎜ 1 ⎟⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟⎜ ⎟−
⎟⎟⎟⎜⎜
⎟ ⎟⇔
⎜⎝ x2 ⎠⎟ ⎜⎝0 1⎠⎝
⎟⎟⎜⎜1⎠⎟⎟ ⎝⎜⎜0 1⎠⎝
⎟⎜0 1⎠⎟⎟⎝⎜⎜ x4 ⎠⎟⎟
b*
C−1
R
z
⎛ x ⎞ ⎛ 2 − x3 − 3x4 ⎞⎟
⎟
⇔ ⎜⎜ 1 ⎟⎟⎟ = ⎜⎜
⎝⎜ x2 ⎠⎟ ⎝⎜ 1− x4 ⎠⎟⎟
solução: x1 = 1; x2 = 2.
i Caso r ( A) = r ( Ab ) = n
SEL tem apenas uma única solução
Como A é quadrada e r ( A) = n tem-se A ≠ 0 ,
→ "método habitual"(método substituição)
b)a•1 , a•2 ,… ,a• n são LI ⇒ A ≠ 0
Teor.
O SEL é consistente, i.e., tem pelo
→ x = A−1b
14.2 Caracteristica de uma Matriz
Def.
A característica duma matriz A m×n representa
menos uma solução sse r ( A ) = r ( Ab )
A tem inversa
o SEL Ax = b tem apenas uma solução.
Metodos de resolução:
→ (Regra de Cramer) xi =
só se aplica em matrizes quadradas
→ Por condensação
Di
A
i Resolução de SEL através de Condensação
ex.
⎧
⎛ 1 2⎞⎟⎛ x1 ⎞⎟ ⎛2⎞⎟
⎪ x1 + 2 x2 = 2
⎪
⇔ ⎜⎜
⎟⎜⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
⎨
⎜−2 1⎠⎟⎟⎝⎜ x2 ⎠⎟⎟ ⎝⎜⎜0⎠⎟⎟
⎪
−
+
=
2
0
x
x
⎝
1
2
⎪
⎩
2⎞⎟ 2 ⎛⎜1 2 2⎞⎟ r ( A) = 2
⎟ ~⎜
⎟
0⎠⎟⎟ ↵ ⎝⎜0 5 4⎠⎟⎟ r ( Ab ) = 2
sistema possivel
gl = 2 − 2 = 0
sistema determinado
⎛1 2 2⎞⎟
⎜⎜
⎟
⎜⎝0 5 4⎠⎟⎟
⎛1 2 2 ⎞⎟ ï
~ ⎜⎜
~
⎟
⎝⎜0 1 4/5⎠⎟⎟−2
divisão da 2º linha por 5
~
⎛1 0 2 / 5⎞⎟
⎜⎜
⎟
⎜⎝0 1 4/5 ⎠⎟⎟
transformar a Matriz numa
Matriz identidade
f ( x1 , x2 ) = ln ( x1 + x2 ) ,
D = {( x1 , x2 ) ∈
: x1 + x2 > 0}
2
in = 3 f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 −1 +
3
x3 + 2
,
x3 + 3
: x2 −1 ≥ 0, x + 3 ≠ 0}
Notas:
(1) No caso n = 2 → notação (geral/ ) f ( x, y );
No caso n = 3 → (geral/ ) f ( x, y, z ) .
No caso n > 3 → f ( x1 , x2 , ..., xn )
(2) ln ( x) = log ( x) (por def) ⇔ log ( x ) = log e ( x )
Uma função linear é uma função do tipo
f ( x1 , ..., xn ) = b + a1 x1 + ... + an xn
ex de funções linearizáveis
aplicação das regras dos logaritmos
ln F ( K , L) = ln A + a1 ln K + a2 ln L
f
b
x1
x2
f ( x1, x 2) = b + a1 x1 + a2 x2
logarítmica designa-se por função log - linear.
y
⎛1 2
⎜⎜
⎝⎜−2 1
D = {( x, y ) : ( x ≥ 0 ∧ y ≥ 0) ∨ ( x ≤ 0 ∧ y ≤ 0)}
in = 2
1a função k é linearizável após a transformação
possível
r ( A ) = 2 = n ⇒ SEL só tem uma soluçao
f ( x, y ) = xy
ln F ( K , L) = ln AK a1 La 2
posso tb resolver em relação a z
C−1
f ( x) = x2 , D =
in = 2
F ( K , L) = AK a1 La 2 (Função Cobb-Douglas)
⇔ y = C−1b * −C−1Rz ⇔
y
in = 1
D = {( x1 , x2 , x3 ) ∈
⎛ x1 ⎞⎟
⎜⎜ ⎟
⎟
⎧
⎛
⎞
−
+
+
=
2
1
x
x
x
x
−
1
1
1
2
⎪
⎜⎜⎜ x2 ⎟⎟ ⎛⎜1⎞⎟
1
2
3
4
⎪
⎟
⎜
⎟⎟ = ⎜ ⎟
⇔
⎟
⎨
⎜⎜
⎜
⎟
⎟
⎪
x2 + x4 = 1
⎝0 1 0 1⎠⎜⎜ x3 ⎟⎟ ⎝⎜1⎠⎟⎟
⎪
⎩
⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎝ x4 ⎠⎟
C
resulta: r ( A) ≤ r ( A b ) ≤ r ( A ) +1
o nº máximo d colunas (ou linhas) LI.
⎧ x1 + x2 = 1
⎪
sol:⎪
⇔
⎨
⎪
⎪
⎩ x2 = k
⎛1 −1⎞⎟⎛ x1 ⎞⎟ ⎛1 2⎞⎟⎛ x3 ⎞⎟ ⎛1⎞⎟
⎜
⎟⎜ ⎟ + ⎜
⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⇔ Cy + Rz = b *
⎜⎜⎝0 1 ⎠⎟⎟⎜⎜⎝ x2 ⎠⎟⎟ ⎝⎜⎜0 1⎠⎟⎟⎝⎜⎜ x4 ⎠⎟⎟ ⎝⎜⎜1⎠⎟⎟
a) A ≠ 0 ⇒ a•1 , a•2 ,… ,a• n são LI
- r ( A ) = r ( A b ) ⇒ O SEL tem solução
ex.
sistema possivel: r ( A )=r ( Ab )
Ab
Dem.
- O SEL tem solução ⇒ r ( A ) = r ( A b )
f ( x1 , ..., xn ) é único e esta bem definido.
Chamamos a f ( D) o contradominio.
nº de linhas nº de colunas
⎛1 0 1⎞⎟−1
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜⎜0 1 2⎟⎟ ~
⎟
⎜⎜⎝1 0 1⎠⎟⎟ ↵
p/ cada x = ( x1 , ..., xn ) ∈ D ⊆ R n o valor
⎛x ⎞
x1 + x2 = 1 ⇔ (1 1)⎜⎜ 1 ⎟⎟⎟ = 1
⎜⎝ x2 ⎠⎟ b
ex.
(caso r ( A) = r ( Ab ) < m)
f ( D) = { f ( x1 , ..., xn ) : x = ( x1 , ..., xn ) ⊆ D}.
ex.(ponto2b)
Ab
Equações Supérfluas ou Redundantes
é uma regra que associa a cada
O dominio de uma função é um conjunto D tal k
gl = n − r ( A) = 2 −1 = 1 ( variavel livre)
ìmpossivel
n
Diz-se q o sistema tem n − k graus de liberdade.
(1 1 1); r ( A) = 1; r ( Ab ) = 1 < n = 2
r ( A ) = 2 < r ( A b ) = 3 ⇒ SEL é inconsistente
dominio D ⊆
ele/ do conjunto D um e um só ele/ de
x
⎛1 0 1⎞⎟ r ( A ) = 2;
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜⎜1 0 2⎟⎟
⎟⎟
⎜⎜
⎝0 1 1⎠⎟ r ( A b ) = 3
15.1 Funções de Duas ou Mais Variáveis
Def. Uma função f de n variaveis x1 , … , xn c/
variáveis q podem ser escolhidas livre/ e k
variáveis q são determinadas de forma única.
A
⎛ a11 … a1n b1 ⎞⎟
⎜⎜
⎟⎟⎟
A b = [ A b ] = ⎜⎜
⎜⎜
⎟⎟⎟
⎝⎜am1 amn b2 ⎠⎟
Os vectores a•1 , a•2 ,… ,a• n são LI sse A ≠ 0
Teor.
r ( A) = r ( A b ) < n. Então, ∃ n − r ( A ) = n − k
gl
nº de linhas nº de colunas
Ab
ex.
⎡1⎤
⎡ 2⎤
⎡ 4⎤
a1 = ⎢ ⎥ ; a 2 = ⎢ ⎥ ; a 3 = ⎢ ⎥
⎢⎣ 2⎥⎦
⎢⎣ 4⎥⎦
⎢⎣ 8⎥⎦
c1a1 + c2a 2 + c3a3 = 0 ⇔ c2a 2 + c3a3 = a1
Graus de Liberdade
Ab
ex.
15 Funções de varias variáveis I
i Caso r ( A ) = r ( A b ) < n
ìmpossivel
possivel
⎛1 2 3⎞⎟
⎜⎜
⎟
A = ⎜⎜0 2 4⎟⎟⎟; A = 0 ⇒ r (A)=3 ;
⎜⎜
⎟
⎟
⎜⎝0 0 0⎠⎟
r (A)=2 pk
1. Se r ( A) < r ( A b ) ⇒ SEL é inconsistente
⎧
⎪ x1 = 2 / 5
⇔⎪
⎨
⎪
⎪
⎩ x2 = 4/5
15.2 Representação Grafica de Funções
de Varias Variavéis
iContinuidade
iFuncoes de uma Variavel y = f ( x)
lim f ( x) = f (a)
Gráfico: {( x, y ) ∈
2
: y = f ( x)}
ex. f ( x, y ) = x3 y + 2 y 2
Def. Uma funcao f :
no ponto x = a se
→
é continua
Uma funcao f é continua num intervalo I
iFunções de duas Variavel z = f ( x, y )
se f for continua em tds os pontos de I .
Gráfico:{( x,y,z) ∈
i N caso geral f : n → tem-s a seguint regra.
Regra Qq função de n variáveis k seja o result.
3
:z = f ( x, y )}
iCurvas de Nível de z = f ( x, y )
C.N .
da adição, (−) , (×) e (÷) de funções continuas
ou de composição de funções continuas é ainda
e o gráfico é projectado no plano xy. A projecção
no plano xy é designada por C.N.
Analiticamente, a curva de nível de cota c da
função f é representada pela expressão:
{( x, y ) ∈
: f ( x, y ) = c}
conjunto de tds os pontos ( x , y ) tais k o valor da função é c
ex.
f ( x, y ) = ln (1− x 2 − y 2 )
⎛1⎞
curva de nível de cota c = ln ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ?
⎜⎝ 2 ⎠
1º → determinar a expressão analitica da C.N.
⎧
⎫
⎛ 1 ⎞⎪
⎪
⎪
( x, y ) ∈ : ln (1− x 2 − y 2 ) = ln ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟⎬⎪
⎨
⎪
⎝ 2 ⎠⎪
⎪
⎪
⎩
⎭
2º → Simplifique-se a expressão
⎛1⎞
ln (1− x 2 − y 2 ) = ln ⎜⎜ ⎟⎟⎟
⎜⎝ 2 ⎠
1
x2 + y 2 =
2
⎛1⎞
→ C.N. d cota ln ⎜⎜ ⎟⎟⎟ é
⎜⎝ 2 ⎠
⎧
⎪
⎨( x, y ) ∈
⎪
⎪
⎩
1⎫
⎪
: x2 + y 2 = ⎬
⎪
2⎭
⎪
circunferência de raio
1
b) (Derivadas Parciais de 2ª Ordem) Suponha-se k
f xi′′x j xk ( x) = f x′′j xi xk ( x)
i, j = 1, 2,… , n
são funções continuas n1 certo conjunto aberto S .
Entao f xi′′x j xk ( x ) = f x′′j xi xk ( x ), ∀x ∈ S
Def.
i f designa-se 1a função C2 s tods as derivadas
icaso n = 1, y = f ( x )
parciais de 2a ordem são contínuas.
Questão: como é k y varia qd x varia?
iEm geral, f designa-se 1a função Ck s tods
as derivadas parciais de ordem k são contínuas
f ( x + h) − f ( x )
dy
= lim
dx h→ 0
h
representa a derivada de f no ponto x (genérico)
15.8 Formas Quadráticas
15.8.1 Introdução e Definições
icaso n = 2, z = f ( x, y )
Uma forma quadrática (FQ) com n variáveis é
Q: cmo é k z varia qd x varia e y constante?
uma função da forma
calcula-se a derivada parcial de z em ordem a x (y é tratada cmo uma constante)
∂z ∂f ( x, y ) ∂ f
=
=
= f x′( x, y ) = f x′ = f1′= …
∂x
∂x
∂x
f ( x + h, y ) − f ( x, y )
= lim
h→ 0
h
Q: cmo é k z varia qd y varia e x constante?
f (2, 4) = 2
f (3,1) = 4
i No ponto P: f x′(2, 4) > 0
f y′(2, 4) < 0
i
∆+ x⇒∆+ z
i No ponto Q: f x′(3,1) < 0
∆+ x⇒∆− z
calcula-se a derivada parcial de z em ordem a y (x é tratada cmo uma constante)
∂ z ∂ f ( x , y ) ∂f
=
=
= f y′ ( x, y ) = f y′ = f 2′ = …
∂y
∂y
∂y
= lim
f ( x , y + h ) − f ( x, y )
h→ 0
conclusão
∂f ⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
∂x ⎪
⎪
⎪ Derivadas parciais de
z = f ( x, y )
⎬
⎪
1ª ordem
⎪
∂f ⎪
⎪
⎪
∂y ⎪
⎪
⎭
ex. z = x 3 y + 2 y 2
∂f
∂f
= 3 x 2 y;
= x3 + 4 y
∂x
∂y
Derivadas parciais de ordem superior
∂f
∂x
∂2 f
∂x 2
2
∂ f
∂y∂x
z = f ( x, y )
2
provar k f ( x , y ) é constante
( x, y ) ∈ C.N. de cota k sse f ( x, y ) = k
∂f
∂y
f ( x, y ) = x 2 + y 2 − x 2 − y 2 + 2 ⇔
∆+ y ⇒∆− z
f y′(3,1) > 0
∆+ y ⇒∆+ z
i y = ?, qd f x′(3, y ) = 4. R: y = 4 e y = 1
imax y f (2, y ) = 6
−6
∂ f
∂x∂y
∂2 f
∂y 2
Notação
f ( x , y ) é constante c.q.m.
∂2 f
∂f ∂f
=
= f x′2 =
∂x 2
∂x∂x
⎛ ∂f ⎞
∂ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟
⎝ ∂x ⎠
∂x
⎛ ∂f ⎞⎟
⎜⎜ ⎟
∂
⎜⎝ ∂x ⎠⎟
∂2 f
∂f ∂f
=
= f xy′ =
∂y
∂y∂x ∂y∂x
1º deriva-se em ordem a x ;
2º deriva-se em ordem a y
⎡ a11 … a1n ⎤ ⎡ x1 ⎤
⎢
⎥⎢ ⎥
⎥⎢ ⎥=
Q ( x1 , ..., xn ) = [ x1 … xn ] ⎢
⎢
⎥⎢ ⎥
⎢a
⎥⎢ ⎥
x′
a
nn ⎦ ⎣ xn ⎦
⎣ n1
A
x
= a11 x12 + a12 x1 x2 + … + aij xi x j + … + ann xn2
Obs. No caso r ( A) = k < n deve-se assegurar k
Dk ≠ 0. Qd isto ñ sucede deve-se trocar linhas e
colunas, conservando a simetria, até k Dk ≠ 0.
i caso particular n = 2
⎡ a b⎤ ⎡ x ⎤
⎥⎢ ⎥
Q ( x, y ) = [ x y ] ⎢
⎢⎣ b c ⎥⎦ ⎢⎣ y ⎥⎦
escalar
Podemos escrever uma FQ na forma
Q ( x) = x ′Ax
pk qd x= 2 a cota max é 6
Nota:
h
Mostre que x 2 + y 2 = 6 é C.N. de
6
j i
15.3 Derivadas Parciais - Duas Variáveis
2
⇔ f ( x, y ) = 6 − 6 + 2
i j
são funções continuas n1 certo conjunto aberto S .
Entao f xi′′x j ( x) = f x′′j xi ( x), ∀x ∈ S
i f designa-se 1a função C1 s tods as derivadas
parciais de 1ª ordem são contínuas;
ex.
f ( x, y ) = x 2 + y 2 − x 2 − y 2 + 2
15.4 Derivadas Parcias - Interpretação Gráfica
ex.
Teorema de Young
a) (Derivadas Parciais de 2ª Ordem) Suponha-se k
f x′′x ( x) , f x′′x ( x) i, j = 1, 2,… , n
uma função continua onde estiver definida.
f ′ ( x) =
O gráfico é cortado por um plano horizontal
paralelo ao plano xy. A intersecção entre o plano
∂ (3x 2 y)
=
= 6 xy
∂x
∂x
⎛ ∂f ⎞⎟
∂ ⎜⎜⎜ ⎟⎟ ∂ 3x 2 y
( )
∂2 f
⎝ ∂x ⎠
= f xy′ =
=
= 3x 2
∂y∂x
∂y
∂y
∂2 f
= f xx′ =
∂x 2
x→ a
⎛ ∂f ⎞
∂ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟
⎝ ∂x ⎠
A é simétrica (s a FQ inicial envolver A ñ
Plano Tanjente
O plano tanjente z=f ( x, y ) no ponto
( x0 , y0 , z0 ) , c/ z0 = f ( x0 , y0 ) é:
z − z0 = f x′( x0 , y0 )( x − x0 ) + f y′( x0 , y0 )( y − y0 )
15.5 Derivadas Parciais com Várias Variáveis
iidêntico ao ponto 15.3 - Derivadas parciais de
ordem superior - , mas c/ (+) variaveis:
simétrica passamos a FQ inicial p/ outra
equivalente com A simétrica)
ex.
⎡ 1 2⎤ ⎡ x ⎤
Q ( x1 , x2 ) = [ x1 x2 ] ⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎥ = x12 + 6 x22 + 6 x1 x2
⎢⎣ 4 6⎥⎦ ⎢ x2 ⎥
⎣ ⎦
ñ é simétrica
iTransformação numa Matriz simétrica:
f x1′ …
⎡1
Q ( x1 , x2 ) = [ x1 x2 ] ⎢
⎢⎣3
f xn′ …
Questão Fundamental :
z = f ( x1 , x2 ,…, xn )
3⎤
⎥
6⎥⎦
2+4
2
⎡ x1 ⎤
⎢ ⎥ = x12 + 6 x22 + 6 x1 x2
⎢ x2 ⎥
⎣ ⎦
já é simétrica
Def. Designa-se Hessiana (ou matriz Hessiana)
Qual o sinal da FQ Q ( x) qd x varia em
\ {0}
Def. A forma quadratica Q ( x) = x ′Ax designa-se
x = ( x1 , ..., xn ) ) à matriz
i
H ( x) = H ( x1 , ..., xn ) =
i
⎛ f ′′2 ( x) f x′′x ( x) … f x′′x ( x)⎞⎟
1 2
1 n
⎟⎟
⎜⎜⎜ x1
⎜⎜ f ′′ ( x) f ′′2 ( x) … f ′′ ( x)⎟⎟
⎟
x2 x1
x2 xn
x2
⎜
= ⎜⎜
⎟⎟⎟
⎟⎟
⎜⎜
⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜⎝ f x′′n x1 ( x) f x′′n x2 ( x) … f x′′n2 ( x) ⎠⎟⎟
H ( x):matriz ds derivadas parciais d 2ª ordem.
s Q ( x) > 0 p/ ∀x ≠ 0
Definida Positiva
s Q ( x) ≥ 0 p/ ∀x ≠ 0
SDP
Semidefinida Positiva
i
s Q ( x) < 0 p/ ∀x ≠ 0
DN
Definida Negativa
i
SDN
s Q ( x) ≤ 0 p/ ∀x ≠ 0
Semidefinida Negativa
i Ind
s ∃ 2 pares d valores x e y tais k
Indefenida
Q ( x) < 0 e Q ( y ) > 0.
⎡ 1 3⎤ ⎡ x ⎤
ex.Q ( x, y ) = [ x y ] ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =
⎢⎣3 6⎥⎦ ⎢⎣ x⎥⎦
= x2 + y2 > 0, ∀ ( x, y ) ≠ (0, 0) ⇒ Q é DP
⎧DP se D1 >0, D2 >0
⎪
⎪
⎪SDP se D1 >0, D2 =0
⎪
⎪DN se D <0, D >0
Q( x , y ) é⎨
1
2
⎪SDN se D
⎪
1 <0, D2 = 0
⎪
⎪
⎪
⎩Ind. se D2 <0
iex.
⎡1
⎢
⎢0
A = ⎢⎢
⎢1
⎢
⎣⎢ 3
0 1 3⎤
⎥
0 0 0⎥⎥
0 2 7⎥⎥
⎥
0 7 4⎥⎦
cadeia de menores principais é:
D1 = 1; D2 = 0; D3 = 0; D4 = 0
Ñ é possível classificar x ′Ax através dos menores principais acima calculados
n
no ponto x = ( x1 , ..., xn ) (ou avaliada no ponto
DP
cadeia dos menores principais:
a b
D1 = a; D2 =
= A = ac − b2
b c
n = 4; r ( A) = 3 ⇒
⎡1
⎢
⎢0
⎢
⎢1
⎢
⎢3
⎣
0
0
0
0
D3 ≠ 0
mas D3 =0⇒ temos k modificar
a matriz p/ k D3 ≠0
r ( A)=n<k
1
0
2
7
3⎤ ⎡1
⎥ ⎢
0⎥ ⎢ 3
⎥~⎢
7⎥⎥ ⎢⎢1
4⎥⎦ ⎢⎣0
3
4
7
0
1
7
2
0
0⎤
⎥
0⎥
⎥
0⎥⎥
0⎥⎦
trocou-se linhas por colunas.
P/ conservar a simetria da matriz os ele/s a negrito devem voltar à diagonal
Designe-se a nova matriz por B.
B ≠ A, mas x′Ax = z ′Bz ⇒ a classif. da FQ
é equivalente. Classific. de z ′Bz
D1 = 1; D2 = −5; D3 = −21; D4 = 0
n = 4; r ( A) = 3 e D3 = −21 ≠ 0
Classif. z ′Bz é Ind.⇒ x ′Ax tb é Ind
iex. Classifique FQ
⎡ 3 2 −2⎤ ⎡ x ⎤
⎢
⎥⎢ ⎥
Q ( x, y , z ) = [ x y z ] ⎢ 0 8 4 ⎥ ⎢ y ⎥
⎢
⎥⎢ ⎥
⎣⎢−2 2 4 ⎦⎥ ⎣⎢ z ⎦⎥
1º Transformar A numa matriz simétrica
⎡ 3 2 −2⎤ ⎡ 3 1 −2⎤
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢ 0 8 4 ⎥=⎢ 1 8 3 ⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢⎣−2 2 4 ⎥⎦ ⎢⎣−2 3 4 ⎥⎦
2+0 4+2
;
1
2
2º Cadeia dos menores principais
D1 = 3; D2 = 23; D3 = 21
n = 3; r ( A) = 3 = n; D1 > 0; D2 > 0; D3 > 0
Classif. FQ é DP.
16. Funções de varias variaveis II
16.1 Derivada da Função Composta
16.1.1 Caso → 2 →
iProblema:
dz
Determinar
sabendo
dt
z = F ( x, y ); x = f (t ); y = g (t )
-Método 1
ex. z = x2 + y + 1; x = t + 2; y = t 2 − t
z = U ( x, y ); y=h ( x ) ,
∂z
∂z
= ?;
=?
∂x
∂y
O ponto c = (c1 ,… , cn ) ∈ S é
suponha-se k z é def. implicita/ pela eq.:
F ( x, y , z ) = c
∂z ∂F ( x, y ) ∂x ∂F ( x, y ) ∂y
=
+
∂t
∂x
∂t
∂y
∂t
(substitui-se no fim x por f (t , s ) e y por g (t , s ))
16.1.3 Caso
m
→
n
→
Problema: Sabendo z = F ( x1 , x2 ,… , xn )
x1 = f1 (t1 ,… , tm );… ; xn = f n (t1 ,… , tm )
1
z = z ( x, y ) significa k z depende de x e y
⋅ Aplica-se a regra da f. composta
funções C - cond. suficiente) então
∂z ∂F ∂x1 ∂F ∂x2
∂F ∂xn
=
+
+… +
,
∂t j ∂x1 ∂t j ∂x2 ∂t j
∂xn ∂t j
j = 1, 2,… , n
(substitui-se no fim xi por f i (t1 ,… ,tm ) ).
16.2 Derivadas d Funções Def. Implicita/
Hip. Tds as funções desta secção são C1.
16.2.1 Função Implícita Depende d 2 Variáveis
ex.
i y = x2 +1
i y − x2 = 1
y função implicita de x
dy
= 2x
dx
dy
=?
dx
n
) ou;
Defenições:
i ponto máximo global de f em S se
maximizante global
i ponto máximo local d f em S s ∃ 1 r > 0 tal k
maximizante local
f ( x ) ≤ f (c) , ∀x ∈ S c/ x − c < r
Alternativa: c = (c1 ,… , cn ) ∈ S é ponto máximo
local de f em S se ∃ um ε > 0 tal k
f (c+h ) ≤ f (c) , p/ ∀c+h ∈ S e h < ε
ex. Caso n = 1
du ∂F ( x, y ) ∂F ( x, y ) dy
=
+
=0⇔
∂x
∂y
dx
dx
⎧ ∂u ∂F ( x, y , z ) ∂F ( x, y, z ) ∂z
⎪
⎪
=
+
=0
⎪
⎪ ∂x
∂x
∂z
∂x
⎪
⇔
⎨
⎪
∂u ∂F ( x, y , z ) ∂F ( x, y, z ) ∂z
⎪
=
+
=
0
⎪
⎪
∂y
∂z
∂y
⎪
⎩ ∂y
⎧
,
,
F
x
y
z
∂
⎪
(
)
⎪
⎪
F′
⎪ ∂z
∂x
⎪
=−
=− x
⎪
⎪
F
x
y
z
∂
,
,
(
)
x
Fz′
∂
⎪
⎪
⎪
∂z
⎪
⇔⎨
⎪
∂F ( x , y , z )
⎪
⎪
⎪
Fy′
∂z
∂y
⎪
=−
=−
⎪
⎪
∂F ( x , y , z )
Fz′
∂y
⎪
⎪
⎪
⎪
∂z
⎩
∂F ( x , y )
≠0
∂y
y n = xm →
ex.
dy
=?
dx
i1º metodo
Supondo
1
1
m
y n = x m ⇔ ( y n ) n = ( x m )n ⇔ y = x n
m
−1
n
dy m
= x
dx n
i2º metodo
F ( x, y ) = c ⇔ y n − x m = 0
−mx m−1 m m−1
dy
F ′x
=−
=−
= x .
dx
F ′y
ny n−1
n
(y )
substitui-se y por x
−1
m n−1
n
⎞⎟
m m−1 −nmn + mn
⎟
=
⎟⎟ = n x .x
⎠⎟
⎞⎟
⎟⎟
⎠⎟
m m−1− mnn + mn m mnn −1nn − mnn + mn m mn −1
= x
= x
= x //
n
n
n
i3º metodo
( y n )′ = ( x m )′
⇔ ny n−1 y ′ = mx m−1 x ′ ⇔
derivar ambos os menbros
y′ =
mx m−1
ny n−1
por y ′ em evidencia e resolver
⇔ y′ =
m mn −1
x //
n
∂z
⎧
⎪c é ponto máximo global
Conclui-se:⎪
⎨
⎪
⎪
⎩c é ponto máximo local
De igual forma se define:
i ponto mínimo global
i ponto mínimo local
i ponto extremo (ponto mínimo ou ponto máximo)
≠0
ise c é ponto máximo global (local)
f (c) é o valor máximo global (local)
ise c é ponto mínimo global (local)
f (c) é o valor mínimo global (local)
ise c é ponto extremo
f (c) é o valor extremo
n−1 −1
m
y= x n
⎛⎛
m
⎜
= x m−1.⎜⎜⎜⎜⎜ x
⎜
n
⎜⎝⎝⎜
∂F ( x , y , z )
⎧ ∂z
−2 x
⎪
⎪ =−
= 2x
⎪
⎪
∂x
1
⎪
⎨
−1
⎪ ∂z
⎪
=−
=1
⎪
⎪
1
⎪
⎩ ∂y
//
Teor. Sob certas condições (por ex., f i e F são
1
Ñ ∃ restrições (S =
interior do conjunto S
f ( x ) ≤ f (c) , ∀x ∈ S
admite-se z = z ( x, y ). → resolução
−2 x
dy
=−
= 2 x//
1
dx
y função explicita de x
dy
>0
dx
17.1 Optimização livre}∃ restrições, f tem um optimo no
⋅ Considere a f. aux. u ( x, y ) = F ( x, y, z ( x )) = c
supondo
= Fx′ ( x , y )× f s ′ (t , s)+ Fy ′ ( x , y )×g s ′ (t , s)
dz
⇔ = 4t + 3//
dt
Dem.Substituindo x e y plas respectivas funções,
z depende apenas d t. Podems assim reescrever z:
z − x2 − y = 1
z− x 2 − y
⋅ Aplica-se a regra da f. composta
∂F ( x, y )
F ′( x, y )
dy
⇔
= − ∂x
=− 1
∂F ( x, y )
dx
F2′( x, y )
∂y
= Fx ′ ( x , y )× ft ′ (t , s)+ Fy ′ ( x , y )×gt ′ (t , s )
substituição do x
por t +2
define z como uma função explicita de x e y
17 Optimização Multivariada
∂z
∂z
= 2 x;
=1
∂x
∂y
∂z
×2 xy
∂u
16.1.2 Caso 2 → 2 →
i Problema: Sabendo
z = F ( x, y ); x = f (t , s ); y = g (t , s )
Determinar:
∂z ∂ z
e
∂t
∂s
∂z ∂F ( x, y ) ∂x ∂F ( x, y ) ∂y
=
+
∂s
∂x
∂s
∂y
∂s
ex. anterior
∂F ( x, y ) ∂z
=
= Fx′ ( x, y ) = 2 x;
∂x
∂x
∂F ( x, y ) ∂z
=
= Fy′ ( x, y ) = 1
∂y
∂y
dx
dy
= 1;
= 2t −1
dt
dt
dz ∂F ( x, y ) dx ∂F ( x, y ) dy
=
+
dt
dt
dt
∂x
∂y
dz
= 2 x ×1 +1×( 2t −1) = 2 (t + 2) + 2t −1 ⇔
dt
z = x2 + y +1
define z como uma função implicita de x e y
1
note-se u ( x)=c⇒u ′( x)=0
dz
= 4t + 3//
dt
-Método 2
Teor. Sob certas condições (por ex., f , g e F
são funções C1 - cond. suficiente) então
dz ∂F ( x, y ) dx ∂F ( x, y ) dy
=
+
dt
∂x
dt
∂y
dt
z = Φ (t )
ex.
pela eq.: F ( x, y ) = c → resolução
i
y = y ( x) significa k y depende de x
dz ∂U ∂U dy
=
+
= U x′ ( x, y ) + U y′ ( x, y )× h ′ ( x)
dx ∂x
∂y dx
∂z
ex. Z = f ( x2 y) →
∂x
∂z ∂z du
f ( x2 y) = f (u ) →
=
= f x′ (u )×u ′ ( x)
∂x ∂u dx
2
z = F ( x, y ) = F ( f (t ) , g (t ))
i
⋅ Considere a f. auxiliar u ( x ) = F ( x, y ( x )) = c
⇔ z = (t + 2) + (t − t ) + 1 = 2t + 3t + 5//
2
16.2.2 Função Implícita Depende de 3 Variáveis
dy
dp calcular
dx
2º metodo → suponha-se k y é def. implicita/
y−x 2
z = F ( x, y ) = F (t + 2, t 2 − t ) ⇔
2
1º metodo → resolver a eq em ordem a Y ;
1
⇔ y ′ = mx m−1.ny−n+1 ⇔ …
16.2.3 F. implicita depende de n + 1 variaveis
suponha-se k z é def. implicita/ pela eq.:
F ( x1 ,… , xn , z ) = c
Admite-se z = z ( x1 ,… , xn ) → resolução
⋅ Considere a função auxiliar
u ( x1 ,… , xn ) = F ( x1 ,… , xn , z ( x1 ,… , xn )) = c
ex.Usando a def. mostre k o ponto c = (1,3) é
um ponto mínimo global da função
2
2
f ( x, y ) = ( x −1) + ( y − 3) + 10
Basta verificar k
f ( x, y ) ≥ f (1,3) = 10, ∀ ( x, y ) ∈
2
z = z ( x1 ,… , xn ) significa k z depende d x,… , xn
⋅ Aplica-se a regra da f. composta
→ Transformação da Função Objectivo (FO)
g ( x ) = F ( f ( x )) = − f ( x )
∂u ∂F ∂F ∂z
=
+
= 0 ⇔, i = 1,… , n
∂xi ∂xi ∂z ∂xi
composição
de funções
∂F
Fx ′
∂x
∂z
=− i =− i
⇔
∂F
∂xi
Fz ′ //
∂z
− f ( x ) ≥ − f ( c ) ⇔ g ( x ) ≥ g ( c ) , ∀x ∈ S
f ( x ) ≤ f (c ) , ∀x ∈ S . Então
c é ptº máximo global
c é ptº mínimo global
Conc. (×) a FO por − k (k > 0) transformams
1 problema de máx num problema de mín
Teor. 17.2 Seja f ( x ) = f ( x1 ,… , xn ) def. em
S∈
n
→ )
e F uma f. duma variavel (i.e. F :
def. sobre o contradominio d f , f ( S ).
f ( x, y ) = 4 x + 3 y −12 xy
Entao:
Se F é crescente e c = (c1 ,… , cn )
F ′≥0 se F for diferenciavel
em f ( S ) ou da classe C1 em f ( S )
f em S , entao c tb
máximiza
mínimiza
g em S
b) S F é estrita/ crescente então c = (c1 ,… , cn )
temos k combinar as 2 eq.
Ptº s de estacionarie // são :
F ′>0 se F for diferenciavel
em f ( S ) ou da classe C1 em f ( S )
máximiza
mínimiza
f em S sse c
máximiza
mínimiza
2
⎧
⎪
⎪ ∂f (c ) = 0
⎪
⎧ f x′( x, y ) = 0
⎪
⎪
∂x
⎪
⎪
rsp ⎨
⇔⎨
⇔
⎪
⎪
f
c
∂
(
)
⎪
⎪ f y′ ( x, y ) = 0
=0 ⎩
⎪
⎪
⎪ ∂y
⎩
⎧
⎧
⎪12 x 2 −12 y = 0
⎪x = 0 ∨ x = 2
⎪
⇔⎨
⇔⎪
⎨
⎪
⎪
6
12
0
y
x
−
=
⎪
⎩ y = 2x
⎪
⎩
g ( x1 ,… , xn ) = F ( f ( x1 ,… , xn ))
máximiza
mínimiza
ex.a)Determine os ptº de estacionarie // *
3
Defina-se g sobre S da seguinte forma:
a)
s
( x, y ) = (0, 0) ∨ ( x, y ) = (2, 4)
b)Verificar de o ptº (0, 0) é ptº de estacion.
g em S
(
− x2 + y2
ex. c = (0, 0) é ptº máximo de f ( x, y ) = e
Mostre k c = (0, 0) é tb ptº máx da f.
)
⎧
⎧
⎪12 x 2 −12 y = 0
⎪12.02 −12.0 = 0
⎪
⇔⎪
⎨
⎨
⎪
⎪6.0 −12.0 = 0
6
y
−
12
x
=
0
⎪
⎪
⎩
⎩
Substituir nas derivadas parciais
Logo é ptº de estacinarie//
g ( x, y ) = F ( f ( x, y )) = −( x 2 + y 2 ) ?
1
>0
u
Como F é extrita/ crescente, então pelo
Obs. Se f é 1a f. C o teor. 17.4 permite concluir:
ise c é ptº extremo de f ⇒ c é ptº d estacionari //
Teor. 17.2 o ptº c = (0, 0) tb é max de g ( x, y )
io facto de c ser ptº d estac. ⇒ k c é ptº extremo
i F (u ) = ln u ⇒ F ′ (u ) =
1
global ou local
pode ser ponto sela
is x0 ñ é ptº d estac. ⇒ x0 ñ pode ser 1 ptº extremo
17.4 Pontos Extremos Locais
17.4.1 Condição de Primeira Ordem
Teor. 17.4 A cond. necessaria p/ k 1a f.
diferenciavel f ( x1 ,… , xn ) possua um máximo
ou mínimo
no ptº c = (c1 ,… cn ) interior do dominio de f é
⎧
⎪
∂f (c )
⎪
=0
⎪
⎪
∂x1
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪∂
f (c )
⎪
=0
⎪
⎪ ∂x
⎪
n
⎩
este sistema pode escrever-se na forma f x′i (c )=0, i =1,…, n
Def. O ptº c designa-se 1 ptº de estacionari //
f x′i (c)= 0 , i =1,…, n
n
→
se
Pontos extremos Globais
Mostre k c = (0, 0) é um ptº sela da função
ex. Considere f ( x1 , x2 ) = θ1 x1 + θ2 x2
17.5 Conjuntos Convexos
Mostre k a função é côncava e convexa?
f ( x, y ) = x 2 − y 2
Def. Um conjunto S é convexo se
c=(0,0) é ptº de estac.
Def.(ptº sela) O ptº c designa-se 1 ptº sela
→ se:
da funcao f :
ic é 1 ptº d estacionari // e
n
ic ñ é ptº extremo local.
ñ é máx nem é mín
Analitica/ O ptº c designa-se 1 ptº sela
da funcao f : n → se:
i f x′ (c) = 0, i = 1,… , n
i
i ∀ε > 0, ∃h, k tal k h < ε, k < ε e
f ( c + h ) − f (c ) > 0
f ( c + k ) − f (c ) < 0
f (c+k ) -f (c) = f ((0, 0) + (k1 , k2 )) -f (0, 0) <0
17.4.2 Condição de Segunda Ordem
2
f ( x) = x
3
i f ′ ( x) = 3x 2 = 0 ⇔
x=0
c =0 é ptº de estac.
iconsidere-se h > 0, k < 0. Tem-se
17.6 Funções Côncavas e Convexas
→ Definicoes
Def. Seja f ( x ) = f ( x1 ,… , xn ) a função def. n1
conjunto convexo S . Considere-se
a) Se H (c) é DP ⇒ c é 1 ptº local mínimo
is f ((1− λ ) x 0 + λx1 ) ≥ (1− λ ) f (x 0 ) + λ f (x1 )
∈ S . Então:
x 0 ,x1
são vectores de
f é côncava
is f ((1− λ ) x 0 + λx1 ) > (1− λ ) f (x 0 ) + λ f (x1 )
⎧
⎪1 ptº local minimo
d) Se H (c ) é SDP ⇒ c é ⎪
⎨
⎪
⎪
⎩ou ptº sela
⎧
⎪1 ptº local máximo
e) Se H (c) é SDN ⇒ c é ⎪
⎨
⎪ou ptº sela
⎪
⎩
e x 0 ≠ x1 → f é estrita/ côncava
f ( x, y ) = 4 x 3 + 3 y 2 −12 xy
Passo 1:Determinar ptº s d estacionari //
θ1( a ,b)
θ2 (c , d )
e x 0 ≠ x1 → f é estrita/ convexa
A=B
is f ((1− λ ) x + λx ) = (1− λ ) f (x ) + λ f (x
1
0
f é linear (é côncava e convexa)
0
1
)
Teor.17.6 Sejam f e g funções def. n1 conjunto
S⊆
ex.
n
convexo e F 1a f. d1a variavel. Então
a)se f e g sao côncavas e a a ≥ 0, b ≥ 0 ⇒
⇒ af ( x ) + bg ( x) é côncava em S
b)se f e g sao convexas e a a ≥ 0, b ≥ 0 ⇒
⇒ af ( x ) + bg ( x) é convexa em S
cond 2ª ordem
c)se f e côncava e F é côncava e crescente ⇒
Como: f x′ = 12 x 2 −12 y, f y ′ = 6 y −12 x
⇒ U ( x ) = F ( f ( x )) é côncava em S
⎛ 24 x −12⎞⎟
⎜⎜ ′′
f xy′′ ⎟
f xx
⎟⎟
H ( x, y ) = ⎜⎜⎜
⎟
6 ⎟⎟⎟
⎜⎜−12
matriz hessiana
⎟
⎜⎝ f yx′′
f yy′′ ⎠
f (c + k ) − f (c ) = f (0 + k ) − f (0) < 0
= (1− λ )(θ1a + θ2b) + λ (θ1c + θ2 d ) =
= θ1 ⎡⎣(1− λ ) a + λc⎤⎦ + θ2 ⎡⎣(1− λ ) b + λd ⎤⎦ = B
Passo 2:Classificar os ptº s d estacionari //
D1 = 48>0, D2 =144>0⇒ H (0,0) é DP⇒ ptº (2,4) é ptº mínimo local
B
(1− λ ) f (x0 ) + λ f (x1 ) = (1− λ ) f (a, b) + λ f (c, d ) =
f é convexa
(0, 0) , (2,4)
f (c + h ) − f ( c ) = f ( 0 + h ) − f (0 ) > 0
agr utilizar a expressão: θ1 x1 +θ2 x2
= θ1 ⎡⎣(1− λ ) a + λc⎤⎦ + θ2 ⎡⎣(1− λ ) b + λd ⎤⎦ = A
is f ((1− λ ) x 0 + λx1 ) < (1− λ ) f (x 0 ) + λ f (x1 )
resolvido no ptº anterior*
D1 = 0, D2 =−144<0⇒ H (0,0) é ind.⇒ptº (0,0) é ptº sela
⎛
⎞⎟
⎜
⎟
f ((1-λ ) x 0 +λ x1 ) = f ⎜⎜⎜(1-λ ) a +λc , (1-λ ) b +λd ⎟⎟ =
⎟
⎜⎜⎝
⎠⎟
x1
x2
agr utilizar a expressão: θ1 x1 +θ2 x2
is f ((1− λ ) x 0 + λx1 ) ≤ (1− λ ) f (x 0 ) + λ f (x1 )
cond 1ª ordem
Classificação no ptº (2, 4) :
= ((1− λ ) a + λc, (1− λ ) b + λd )
n
c) Se H (c) é indefinida ⇒ c é 1 ptº sela
⎛ 48 −12⎞⎟
H (2, 4) = ⎜⎜
⎟
6 ⎠⎟⎟
⎝⎜−12
Rsp. c = 0 é um ptº sela
A
λ ∈ (0,1) e p/ td o
b) Se H (c ) é DN ⇒ c é 1 ptº local máximo
B
x1 = (c, d )
(1− λ ) x0 + λx1 = (1− λ )(a, b) + λ (c, d ) =
= ((1− λ ) a, (1− λ ) b) + (λc, λd ) =
Teor Seja f :
→ 1a funcao C e c 1 ptº
d estacionari // de f . Entao:
n
⎛ 0 −12⎞⎟
H (0, 0) = ⎜⎜
⎟
6 ⎠⎟⎟
⎝⎜−12
ex. Caso n = 1
A
x 0 = (a, b );
f (c+h ) -f (c) = f ((0, 0) + (h1 , h2 )) -f (0, 0) >0
Classificação no ptº (0, 0) :
é 1 ptº máximo
f ((1− λ ) x 0 + λ x1 ) = (1− λ ) f ( x 0 ) + λ f ( x1 )
1
iex. h1 , k1 = 0; h2 , k2 > 0
Rsp. c = (0, 0) é um ptº sela
→
Temos de mostrar k:
Por outras palavras:1 conjunto S é convexo se dados dois qsq ptºs
de S a linha k os une ∈ a S .
ex.
2
D=
x ∈ S , y ∈ S ∧ λ ∈ [0,1] ⇒ (1− λ ) x + λ y ∈ S
⎧
⎧
⎪ f x′( x, y ) = 2 x
⎪ f x′(0, 0) = 0
i⎪
⇔⎪
⎨
⎨
⎪ f y′ ( x, y ) = −2 y ⎪
⎪ ′
⎪
⎩
⎩ f y (0, 0) = 0
ex.a)determine os ptº s extremos locais (caso ∃)*
é 1 ptº mínimo
da função f :
⎧ ∂f (c )
⎪
⎪
=0
⎪
⎪
∂x1
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪∂
f (c )
⎪
=0
⎪
⎪ ∂x
⎪
n
⎩
ex. Caso n = 2
d)se f e convexa e F é convexa e crescente ⇒
⇒ U ( x ) = F ( f ( x )) é convexa em S
f é estrita/ côncava em [ a, b ]
f é estrita/ convexa em [b, c ]
f é côncava e convexa em [c, d ]
Linear
f é convexa em [b, d ]
Corolário17.19 Seja f 1a f. linear def. n1
conjunto S ⊆
n
convexo e F 1a f. d1a variavel.
a)S F é côncava ⇒ U ( x ) =F ( f ( x )) é côncava em S
a)S F é convexa ⇒ U ( x ) =F ( f ( x )) é convexa em S
− f ( x , y)
ex.Mostre k − e
é côncava (f ( x, y ) é côncava)?
f ( x, y ) é côncava ⇒ − f ( x, y ) é convexa
u = − f ( x, y ); eu é convexa e crescente
(eu )′ >0
(eu )′′ >0
− f (x , y)
e
− f ( x , y)
é convexa ⇒ −e
é côncava c.q.m.
ex. Classifique: f ( x, y ) = x + y − e x − e x+ y ?
x + y → f. linear
g ( x)=−e x → f. côncava
f ( x)=−e x+ y → f. côncava (pk −eu → f. côncava e u f. linear)
rsp. Pelo teor. 17.6 a)→se f e g são côncavas⇒f+g é côncava.
ex. Examine a concavi // /convexi // das funções:
a)
f ( x, y , z ) = x 2 + y 2 + z 2
Pelo teor. 17.6 b) f é 1a f. convexa pk é a (+) d 3 f. convexas
b)g ( x, y, z ) = e x
2
+ y2 +z2
F (u ) = eu
n
e seja x um ptº interior de S .
0
a)S f é côncava(ou estrita/ côncava)então x0 é 1 ptº
f ( x, y, z ) = x + y + z → convexa
2
Teor.17.8 Suponha-se k f ( x ) é 1a f. C1 n1 conj.
convexo S ⊆
g ( x, y, z ) = F ( f ( x, y, z )) onde
2
17.6.2 Pontos Extremos Globais
2
→ convexa e crescente
F ′(u )=eu >0→crescente
F ′′(u )= eu >o→ convexa
Pelo teor. 17.6 d) g é convexa
⎛
⎞⎟
⎜
c)h ( x, y ) = ln ⎜⎜⎜ ax + by ⎟⎟⎟ , ax + by > 0
⎜⎜⎝u= f ( x)→linear ⎠⎟⎟
2º passo:f ( x, y ) = xy
mínimo global d f em S sse x0 é 1 ptº d estacionari // .
= 100 x − 2 x 2
ex. Caso n = 1
3º passo
φ ′ ( x ) = 0 ⇔ 100 − 4 x = 0 ⇔ x = 25
φ ′′ ( x) = −4 < 0 ⇒ x = 25 é ptº máximo
100−2.25=50⇒ y =50 é ptº máximo
( x, y ) = (25,50) é ptº máx d f dada a restrição
Resolver o Problema de Optimização Livre
Obs.13(Críticas ao Método) 2 Críticas:
f é estrita/ côncava;
f ′ ( x0 ) = 0
x0 é ptº de estacionarie //
então pelo teor. 17.9 x0 é ptº máximo global
obs.
iSe f é 1a f. C 2 podemos utilizar o teste
s
da Hessiana p/ identificar ptº extremos globais.
ex.f xi′ ( x0 )= 0,(i =1,…, n )∧ H ( x ) é SDN p/ ∀x∈ S ⇒ f é 1a f. côncava(Teor.17.3+17.4) ⇒
⇒ x0 é ptº máximo global de f em S (Teor. 17.8)
i f ′′ ( x ) ≤ 0, ∀ x ∈ S ⇔ f é côncava em S
i Num problema d optimização pode ∃ r (+) do k
um ptº extremo global.
i f ′′ ( x ) < 0, ∀ x ∈ S ⇒ f é estrita/ côncava em S
iSuponha k x0 , x1 e x2 são os únicos ptº s máximos locais
i f ′′ ( x ) ≥ 0, ∀ x ∈ S ⇔ f é convexa em S
e f ( x0 ) < f ( x1 ) < f ( x2 ). Ñ se pode concluir k x2 é ptº
i f ′′ ( x ) > 0, ∀ x ∈ S ⇒ f é estrita/ convexa em S
máximo global pk a f. pode tender p/ +∞
ex. Identifique os extremos locais e globais
∗Caso n > 1
2
Teor.17.13+17.14 Seja f 1a f. C def. n1 conj.
convexo e H a matriz Hessiana de f . Tem-se
i H ( x ) é SDN ∀ x ∈ S ⇔ f é côncava em S
i H ( x ) é DN ∀ x ∈ S ⇒ f é estrita/ côncava em S
i H ( x ) é SDP ∀ x ∈ S ⇔ f é convexa em S
i H ( x ) é DP ∀ x ∈ S ⇒ f é estrita/ convexa em S
ex.Analise a concavi // /convexi // da função
1 3 1 3
x + y + xy em \ {(0,0 )} ?
6
6
3
3
f x′ = x 2 + y; f y′ = y 2 + x
6
6
⎛ x 1 ⎞⎟
H ( x , y ) = ⎜⎜
⎟ , D1 = x , D2 = xy − 1
⎝⎜ 1 y ⎠⎟⎟
f ( x, y ) =
i Se D1 = x< 0, D2 = xy −1= 0 ⇒ H ( x , y ) é SDN no conj.
⎧
⎫
1⎪
S1 =⎪
⎨( x , y ): x< 0, y = ⎬ pelo k f é côncava nesse conj..
⎪
⎪
x⎭
⎪
⎪
⎩
i Se D1 = x< 0, D2 = xy −1> 0 ⇒ H ( x , y ) é DN no conj.
⎧
⎫
1⎪
⎪
S1 =⎨( x , y ): x< 0, y > ⎬ pelo k f é estrita/ côncava nesse conj..
⎪
⎪
x⎭
⎪
⎪
⎩
i Se D1 = x> 0, D2 = xy −1= 0⇒ H ( x , y ) é SDP no conj.
⎧
⎫
1⎪
S1 =⎪
⎨( x , y ): x> 0, y = ⎬ pelo k f é convexa nesse conj..
⎪
⎪
x⎪
⎪
⎩
⎭
i Se D1 = x> 0, D2 = xy −1> 0 ⇒ H ( x , y ) é DP no conj.
⎧
⎪( x , y ): x> 0, y> 1 ⎫
⎪
S1 =⎨
⎬ pelo k f é estrita/ convexa nesse conj..
⎪
⎪
x⎭
⎪
⎪
⎩
obj: classificar o ptº de estacionarie //
i x 0 é ptº estremo local?
⎛
⎞⎟
0
⎜⎜ 2 0
⎟⎟
0
H ( x, y , z ) = ⎜⎜⎜0 2
⎟⎟⎟
⎜⎜
⎟
2
2
⎜⎝0 0 2e z + 4 z 2 e z ⎠⎟⎟
⎛ 2 0 0⎞⎟
⎜⎜
⎟
H (x 0 ) = H (0, 0, 0) = ⎜⎜0 2 0⎟⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝⎜0 0 2⎠⎟
D1 > 0; D2 > 0; D3 > 0⇒ H (0,0,0) é DP ⇒ x 0 é 1 ptº mínimo local
i x 0 é ptº estremo global?
⎛2 0
⎞⎟
0
⎟⎟
⎜⎜
0
H ( x, y , z ) = ⎜⎜⎜0 2
⎟⎟⎟
⎜⎜
⎟
z2
2 z2 ⎟
⎝⎜0 0 2e + 4 z e ⎠⎟
2⎞
⎛ 2
D1 > 0; D2 > 0; D3 = 4⎜⎜⎜ 2 e z + 4 z 2 e z ⎟⎟⎟> 0⇒ H ( x , y , z ) é DP em S = 3 ⇒ f é estrita/
⎝
⎠
convexa (Teor.17.3+17.4). Logo x 0 =(0, 0,0) é 1 ptº mínimo global (Teor.17.8)
ptº s candidatos a extremos locais condicionados.
Importa agr definir regras k possam decidir se
Passo 1:
determinado ptº é mínim ∨ máxim (condicionad)
L ( x, y ) = f ( x , y ) − λ ( g ( x, y ) − c)
→ Duas Variáveis, Uma Restrição
Passo 2:
⎧L ′x ( x, y ) = f x′( x, y ) − λ g x′ ( x, y ) = 0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨L ′y ( x, y ) = f y′ ( x, y ) − λ g ′y ( x, y ) = 0 (C1O')
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ g ( x, y ) = c
Resolver o sistema em ordem a x , y e λ
Obs.14: 1.Os ptº s k satisfazem o sistema C1O'
satisfazem tb as cond. C1O anterior/ estabelecids
tem 1a imp. interpretação ec.
1º passo:
A cond. necexária p/k 1 ptº ( x0 , y0 ) resolv o probl.
L ( x, y ) = xy − λ ( y + 2 x −100)
d optimização,max(min) f ( x, y ) s.a g ( x, y ) = c é
2º passo:
⎧L ′x ( x, y ) = y − 2λ = 0 ⎧
⎪
⎪ y = 2λ
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔
⎨L ′y ( x, y ) = x − λ = 0 ⇔ ⎨ x = λ
⎪
⎪
⎪
⎪
2
2
100
λ
λ
+
=
⎪
⎪
2
100
+
=
y
x
⎪
⎩
⎪
⎩
⎧
y = 50
⎪
⎪
⎪
⇔ ⎨ x = 25
⎪
⎪
⎪λ = 25
⎪
⎩
λ = 25
( x, y ) = (25,50)
f ( x, y ) = xy s.a y + 2 x = 100
⎧ f x′ g x′
⎪
⎧
y 2
⎪
⎪
⎧
⎪
⎪ ′= ′
⎪
⎪x = 1
⎪
⎪ y = 2x
fy gy ⇔ ⎨
C1O ⎨
⇔⎨
⎪
⎪
⎪
4 x = 100
⎪
⎩
⎪
⎪
y
x
2
100
+
=
⎪ g ( x, y ) = c ⎪
⎩
⎪
⎩
⎧
⎪
⎪ y = 50
⇔⎨
⎪
⎪
⎩ x = 25
g ( x , y )=c
c=1250→ valor máx da função
∂g ( x 0 )
∂x1
∂x2
δ2 ( x0 ) =
L ′′x2 ( x0 )
L′′x1x2 (x 0 )
L ′′x2 x1 (x 0 )
L′′x2 (x 0 )
∂g (x 0 )
∂x1
1
∂g (x 0 )
∂x2
2
ise δ2 (x ) > 0 ⇒ x é ptº máximo local cond.
0
0
ise δ2 (x 0 ) < 0 ⇒ x0 é ptº mínimo local cond.
x0 é um vector de dimensão 2
ex.Determinar os ptº s extremos locais de
2
∆ 25 uni // ao valor optimo da função
100→101(c∆1uni // )⇒1250→1300(c∆ 25uni // )
f ( 25,50)=1250=c
→ nVariáveis, m Restrições
(
Cond. 1ª Ordem
⎧
⎧
⎪1− 2λ ( x + 1) = 0
⎪L ′x = f x′ − λ g x′ = 0 ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
C1O' ⎨L′y = f y′ − λ g ′y = 0 ⎨1− 2λ y = 0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ y 2 + ( x + 1)2 = 2
⎪
⎪
⎩ g ( x, y ) = c
⎪
⎩
…
( x, y ) = (−2, −1), λ = −
( x, y ) = (0,1), λ =
Cond. 2ª Ordem
0
s.a
g 2 ( x, y , z ) = 2 x − y − 3 z = 2
Passo 1
L ′x ( x , y , z )= x 2 + y 2 + z 2 −λ1( x + 2 y + z−1)−λ2 (2 x− y−3 z−2)
δ2 (−2, −1) = −2
−2
2y
−2λ
0
0
−2λ
i ptº ( x, y ) = (−2, −1) , λ = −
g1 ( x, y , z ) = x + 2 y + z = 1
⎧
⎪
L ′x = 2 x−λ1 −2λ2 =0
⎧x=2 / 3
⎪
⎪
⎪
⎪
L ′y = 2 y −2λ1 +λ2 = 0
⎪ y =1/ 3
⎪
⎪
⎪
⎪ z =−1/ 3
⎪L ′ = 2 z−λ +3λ =0 ⇔…⇔⎨
⎨
z
1
2
⎪λ =8 /15
⎪x +
2
1
⎪
⎪
+
=
y
z
1
⎪
⎪
⎪λ2 = 2 / 5
⎪
2 x− y −3 z = 2
⎪
⎪
⎩
⎪
⎩
2 ( x + 1)
2y
ex.Determine o(s) ptº (s) k satisfazem as cond. d 1ª
ordem do probl. d optimização c/ restrições
Passo 2
1
2
1
2
δ2 ( x, y ) = 2 ( x + 1)
1º→ L( x)=f ( x )-λ1 ( g1( x )-c1 )-…-λm ( g m ( x )-cm )
⎧L ′x ( x )=0
⎪
⎪ 1
⎪
⎪
⎪
⎪L ′ ( x )=0
⎪
2º →⎨ xn
(C1O')
⎪
g1( x)=c1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
=
g
x
c
⎪
⎪
⎩ m( ) m
f ( x, y , z ) = x 2 + y 2 + z 2
2
0
m<n
)
2
L ( x, y ) = x + y − λ y + ( x + 1) − 2
Método Multiplicador de Lagrange
i
∂g (x 0 )
0
f ( x, y ) = x + y, s.a y 2 + ( x + 1) = 2?
nº Restrições<nº Variáveis
( x, y ) = (25,50) ⇒ f (25,50) = 25×50 = 1250
ptº máx d f dada a restrição
C1O'. Considere-se a Hessiana Orlada
2.λ designa-se o multiplicador de Lagrange.
f ( x, y ) = xy s.a y + 2 x = 100
(cond. 1ª ordem) do problema
Teor. Seja x 0 1 ptº k satisfaz as cond. d 1ª ordem
C1O'=C1O
18.1.1 Condição de Primeira Ordem
→ Duas Variáveis, Uma Restrição
⎧
f x′( x0 , y0 ) g x′ ( x0 , y0 )
⎪
⎪
=
⎪
⎪
f
⎨ y′ ( x0 , y0 ) g ′y ( x0 , y0 ) (C1O)
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ g ( x0 , y0 ) = c
ex. Determinar o ptº k satisfaz as cond. necessárias
18.2 Condição de Segunda Ordem
O método da f. Lagrangeana permite obter
max(min) f ( x, y ) s.a g ( x, y ) = c
18.1 Pontos Extremos Locais Condicionados
g ( x , y )=c
//
P/ encontrar as soluções do probl.
ex. Determinar o ptº k satisfaz as cond. necessárias
(cond. 1ª ordem) do problema através C1O'
2
Cond. 2ª ordem (Cond. suficiente)
duas variáveis uma restrição
iE se a restrição for não linear
i Não fornece os multiplicadores de Lagrange
f ( x, y , z ) = x 2 + y 2 + e z ?
Cond. 1ª ordem (Cond. necessária)
⎧ ′
⎪
⎪ f x ( x, y , z ) = 0
⎧
⎪
⎪
2x = 0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ f y ′ ( x, y , z ) = 0 ⇔
⎨2 y = 0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ ′
⎪ 2 ze z 2 = 0
⎪
⎪
f z ( x, y , z ) = 0
⎩
⎪
⎪
⎩
ptº de estacionarie é x 0 =(0,0,0)
18.1.2 Método Multiplicador de Lagrange
Construir a função Lagrangeana
Substituir a expressão obtida em f ( x , y )
Pelo corol. 17.19 h é 1a f. côncava
reviões
Resolver a restrição em ordem a y , por ex.
φ ( x) = f ( x,100 − 2 x ) = x (100 − 2 x ) =
1
u
1
F ′(u )=− 2 <0→ f. côncava
u
estudo das derivadas de 2ª ordem.
∗ Caso n = 1
y = 100 − 2 x
1º passo:
b)S f é convexa(ou estrita/ convexa)então x0 é 1 ptº
F ′(u )=
S f é 1a f. C 2 def. n1 conj. S convexo podems
ainda analisar a concavi // /convexi // a partir do
Resolução do Prob. Optimiz. pelo Método da Substituição
f ( x, y ) = xy s.a y + 2 x = 100?
máximo global d f em S sse x é 1 ptº d estacionari // .
0
ln (ax + by ) = F (u ) = F ( f ( x )) = ln u
i Teste Hessiana
18. Optimização com restrições de igualdade
ex.
Obter o máximo global de
1
2
−2 −2
0 = −8 < 0
1
1
0
δ2 (−2,−1)<0⇒(−2,−1) é ptº mínimo local cond.
i ptº ( x, y ) = (0,1) , λ =
0
2
δ2 (0,1) = 2 −1
2
0
1
2
2
0 =8> 0
−1
δ2 (−2,−1)>0⇒(−2,−1) é ptº máximo local cond.
→ Três Variáveis, Uma Restrição g
Seja x 0 1 ptº k satisfaz as cond. de 1ª ordem C1O'.
Considere-se
( )
0
( )
δ2 x0 =
( )
∂g x
( )
∂g x
L ′′x1x2 x0
( )
L ′′x2 x2 x0
0
∂x1
( )
∂g x 0
∂x2
( )
∂g x 0
∂x3
( )
( )
( )
∂g x
0
∂x1
( )
∂g x
( )
L ′′x2 x1 x0
∂x2
( )
∂x2
L ′′x1x1 x 0
∂x1
( )
δ3 x0 =
∂g x0
∂x1
0
∂g x0
0
( )
∂g x0
( )
∂g x 0
0
∂x2
∂x3
( )
L ′′x1x2 x0
( )
L ′′x2 x2 x 0
( )
L ′′x3x2 x0
L ′′x1x1 x0
L ′′x2 x1 x0
L ′′x3x1 x 0
( )
L ′′x1x3 x0
( )
L ′′x2x3 x0
( )
( )
L ′′x3x3 x0
( )
( )
ise δ2 (x 0 ) >0 e δ3 (x0 ) <0 ⇒ x 0 é ptº máx local cond.
ise δ2 (x 0 ) <0 e δ3 (x0 ) <0 ⇒ x 0 é ptº mín local cond.
→ Três Variáveis, Duas Restrição g1 , g 2
Seja x 0 1 ptº k satisfaz as cond. de 1ª ordem C1O'.
Considere-se
0
0
( )
δ3 x0 =
( )
∂g1 x0
∂g 2 x 0
∂x1
∂x1
( )
∂g1 x
0
∂x2
( )
∂g1 x
∂x3
∂x2
∂x3
( )
( )
∂g 2 x0
∂g 2 x0
∂x1
∂x2
∂x3
0
( )
L ′′x1x2 x0
( )
L ′′x2 x2 x
( )
L ′′x3x2 x0
0
L ′′x3x1 x 0
∂x3
( )
∂g1 x 0
∂g 2 x 0
L ′′x2 x1 x
( )
∂g 2 x
∂g1 x 0
∂x1
L ′′x1x1 x0
( )
∂g 2 x 0
∂x2
0
∂g1 x0
( )
0
( )
( )
( )
0
( )
L ′′x1x3 x0
( )
L ′′x2x3 x0
( )
L ′′x3x3 x0
0
( )
( )
( )
ise δ3 (x 0 ) <0 ⇒ x 0 é ptº máximo local cond.
ise δ3 (x 0 ) >0 ⇒ x 0 é ptº mínimo local cond.
→ Caso Geral
Seja x0 1 ptº k satisfaz as cond. de 1ª ordem C1O'.
Considere-se
( )
δ j x0 =
0
0
0
0
( )
( )
∂g1 x0
∂g m x 0
∂x1
∂x1
( )
( )
∂g1 x0
∂g m x 0
∂x j
∂x j
( )
( )
∂g1 x0
∂g1 x0
∂x1
∂x j
( )
( )
∂g m x0
∂g m x0
∂x1
∂x j
( )
L ′′x1x j x0
( )
L ′′x j x j x0
L ′′x1x1 x0
L ′′x j x1 x0
( )
( )
Calculem-se os seguintes determinantes:
δm+1 (x 0 ) , δm+2 ( x0 ) ,… , δn ( x0 )
iSe (−1) δ j ( x0 ) >0 p/ j = m + 1,… , n
j
⇒x0 é um ptº máximo local cond.
iSe (−1) δ j ( x0 ) >0 p/ j = m + 1,… , n
m
⇒x0 é um ptº mínimo local cond.
Criado por: NUNO BRUNO
Data: 02/07/2004